Integer Programmming (pemrograman bilangan bulat) Masalah pemrograman bilangan bulat murni IP dengan semua variabelnya bil bulat Masalah pemrograman bilangan bulat campuran IP dengan beberapa variabelnya bulat Masalah pemrograman 0-1 (biner) IP dengan variabel bulat, hanya 0 dan 1

Contoh-contoh model dengan Variabel “Bilangan Bulat”

Beberapa Model : Capital Budget ( anggaran dr modal ) Multiperiod Capital Budgeting ( meng-anggar-kan modal dalam periode yang berbeda) Knapsack Problem ( masalah Knapsack) Set Covering ( penutup himpunan )

Capital Budgeting Punya uang utk investasi Rp 14.000.000. Ada 4 jenis kesempatan investasi : Investasi 1 : butuh Rp 5.000.000 , akan berkembang mjd Rp 8.000.000 Investasi 2 : butuh Rp 7.000.000 , akan berkembang mjd Rp 11.000.000 Investasi 3 : butuh Rp 4.000.000 , akan berkembang mjd Rp 6.000.000 Investasi 4 : butuh Rp 3.000.000 , akan berkembang mjd Rp 4.000.000

Capital Budgeting Model IP : xi = investasi ke i , i=1,2,3,4 Xi = 0 jika tidak mengambil investasi i = 1 jika mengambil investasi i Maks : Z = 8x1 + 11x2 + 6x3 + 4x4 Kendala : 5x1 + 7x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 14 xi  {0,1} , i = 1,2,3,4 ( dalam juta rupiah )

Capital Budgeting Apabila ditambah kendala : Model matematikanya : Kita hanya dapat membuat paling banyak dua investasi Jika investasi 2 diambil, maka investasi 4 juga diambil Jika investasi 1 diambil, maka investasi 3 tidak dapat diambil Model matematikanya : ( x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 2 ) ( x2 – x4 ≤ 0 ) ( x1 + x3 ≤ 1 )

Multiperiod Capital Budgeting Dipunyai 3 jenis dana utk investasi sebesar Rp 14.000.000 , Rp 12.000.000 dan Rp 15.000.000 selama 4 periode. Kita identifikasi 4 kali kesempatan investasi : Investasi 1 : Rp 5.000.000 , Rp 8.000.000 dan Rp 2.000.000 dalam bln 1, bln 2, bln 3 akan menjadi Rp 8.000.000 Investasi 2 : Rp 7.000.000 dan Rp 10.000.000 dalam bln 1dan bln 3 akan menjadi Rp 11.000.000

Multiperiod Capital Budgeting Investasi 3 : Rp 4.000.000 dan Rp 6.000.000 dalam bln 2 dan bln 3 akan menjadi Rp 6.000.000 Investasi 4 : Rp 3.000.000 , Rp 4.000.000 dan Rp 5.000.000 dalam bln 1, bln 2, bln 3 akan menjadi Rp 5.000.000 Bagaimana keputusan dari pemodal ?

Multiperiod Capital Budgeting Model IP : Maks : Z = 8x1 + 11x2 + 6x3 + 5x4 Kendala : 5x1 + 7x2 + 3x4 ≤ 14 8x1 + 4x3 + 4x4 ≤ 12 2x1 + 10x2 + 6x3 + 5x4 ≤ 15 xi  {0,1} , i = 1,2,3,4 ( dalam juta rupiah )

Knapsack Problem Secara tradisional ada Knapsack ( karung / tempat) dengan kapasitas 14. Ada sejumlah barang katakanlah 4 jenis barang. Tiap barang mempunyai ukuran dan nilai , sbb : Tujuan : memaks. nilai total brg dlm knapsack ! Barang ke- 1 2 3 4 Ukuran 5 7 Nilai 8 11 6

Knapsack Problem Model IP : Maksimumkan : Z = 8x1 + 11x2 + 6x3 + 4x4 Kendala : 5x1 + 7x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 14 xi  {0,1} , i = 1,2,3,4

Set Covering Amati masalah penempatan dalam suatu lokasi. Suatu kota akan mempertimbang-kan lokasi stasiun pemadam kebakaran. Stasiun pemadam kebakaran itu akan efektif bila dia dapat menjangkau lokasi daerahnya sendiri dan daerah tetangga sekitarnya yang berbatasan. Tujuannya adalah meminimumkan banyak stasiun pemadam kebakaran yang dibangun serta dapat melayani semua daerah !

Set Covering Misal peta daerahnya adalah sbb :

Set Covering Model IP : Minimumkan : Kendala : Z = x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11 Kendala : (1) x1+x2+x3+x4 ≥ 1 (2) x1+x2+x3+x5 ≥ 1 (3) x1+x2+x3+x4+x5+x6 ≥ 1 (4) x1+x3+x4+x6+x7 ≥ 1

Set Covering xi  {0,1} , i = 1,2,3, ….. ,11 (5) x2+x3+x5+x6+x8+x9 ≥ 1