Pembangkitan Proses Kedatangan Pertemuan 08 Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392)

Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392) Proses Poisson Proses ini menggambarakan munculnya suatu kejadian pada titik-titik waktu secara acak. Contoh Kedatangan nasabah suatu bank Munculnya item cacat pada proses pemeriksaan Masuknya pesan SMS pada handphone anda Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392)

Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392) Proses Poisson Model pelayan bank: nasabah datang (secara acak), kemudian dilayani, nasabah meninggal bank Perlu memodelkan proses kedatangan dan proses kepergian ini Antrian, Kasir Proses Kepergian Proses Kedatangan Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392)

Sifat-sifat Proses Poisson Katakanlah kita mendapatkan sepuluh sms dalam rentang satu jam Kita ketahui bahwa Waktu kedatangan setiap sms adalah bebas satu dengan yang lain Waktu kedatangan sms tersebut menyebar seragam dalam rentang satu jam tersebut Peluang mendapatkan dua sms dalam waktu yang persis sama adalah nol Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392)

Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392) Proses Poisson Jadi proses poisson adalah proses pencacahan banyaknya kedatangan selama suatu selang waktu tertentu sebagai suatu p.a. poisson N(t) : Banyaknya titik kedatangan dalam (0,t] N(s,t) : Banyaknya titik kedatangan dalam (s,t] t0 adalah titik awal mulai pencacahan, t1 adalah titik waktu kedatangan sms ke-1, t2 adalah titik waktu kedatangan sms ke-2, dst Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392)

Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392) Proses Poisson x1 = t1 – t0, adalah waktu antar kedatangan (interarrival time) sms 1 x2 = t2 – t1, adalah waktu antar kedatangan sms 2, dst Xi ini adalah p.a. yang menyebar exponensial dengan rate , Xi ~ Exp( ) Sedangkan N(t) ~ Poisson() Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392)

Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392) Grafik Proses Poisson Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392)

Pembangkitan Proses Poisson Prosses poisson dibangkitkan dengan membangkitkan watu antar kedatangan Xi Xi = -(ln Ui)/  dan ti = ti-1 + Xi. Ui adalah bilangan acak. Jika kita ingin membangkitkan T unit waktu pertama dari proses poisson, digunakan prosedur di atas, dengan berturut-turut membangkitkan waktu antar kedatangan (Xi). ti dihitung dengan mengakumulasi nilai-nilai Xi, pembangkitan berhenti jika ti melebihi T. Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392)

Algoritma Pembangkitan Proses Poisson dengan laju  t = 0, I = 0 Bangkitkan bilangan acak U t = t-(ln U)/ . Jika t > T, stop I = I + 1, S(I) = t Kembali ke langkah 2 S(I) adalah waktu kedatangan entiti ke I, sedangkan nilai akhir dari I merupakan jumlah peristiwa yang terjadi hingga waktu T. Proses poisson di atas mengasumsikan bahwa  adalah konstan  proses poisson homogen/stasioner Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392)

Algoritma Pembangkitan Proses Poisson dengan laju (t) Laju kedatangan  tidak perlu konstan, dapat berubah bersama waktu  coba beri contoh? Laju kedatangan seperti ini disebut dengan fungsi intensitas (t)  nilai  berubah-ubah menurut waktu Cara pembangkitan proses poisson seperti ini dengan pendekatan thinning, yaitu dengan memilih nilai  terkecil yang memenuhi kondisi, (t)   untuk semua t  T. Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392)

Algoritma Pembangkitan Proses Poisson dengan laju (t) Proses Poisson ini dibangkitkan dengan membangkitkan Xi berdasarkan nilai  yang dipilih. ti = ti-1 + Xi diterima sebagai waktu kedatangan S(I) dengan peluang (t)/ . Jadi proses peristiwa yang dihitung akan merupakan proses poisson tak-homogen /tak-stasioner dengan fungsi intensitas (t). Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392)

Algoritma Pembangkitan Proses Poisson dengan laju (t) t = 0, I = 0 Bangkitkan bilangan acak U t = t – (ln U)/ . Jika t > T, Stop Jika U  (t)/ , set I = I + 1, S(I) = t Kambali kelangkah 2. Proses Poisson yang dibangkitkan ini dinamakan dengan proses poisson tak-homogen/tak-stasioner. Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392)

Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392) Kedatangan Batch Dalam sistem nyata, pelanggan bisa datang dalam kelompok atau batch dalam satu titik waktu tertentu. Jadi ada sifat proses poisson yang dilanggar. Misal kedatanggan sekelompok orang di sebuah restoran. Sekarang N(t) didefinisikan sebagai # batch kedatangan dalam (0, t]  dibangkitkan dengan cara yang sama seperti sebelum-nya. Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392)

Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392) Kedatangan Batch Bila X(t) menyatakan banyaknya kedatangan individual dalam (0, t] dan Bi adalah ukuran batch pada kedatangan ke-i, maka Bi merupakan p.a. diskret. Bi~Poisson(*) Jadi ukuran Bi dibangkitkan melalui pembangkitan p.a. Poisson dengan laju *. Teknik Simulasi, I G.A. Anom Yudistira (D1392)