Pertemuan 18 Aplikasi Simulasi Matakuliah : D0174 / Pemodelan dan Sistem Simulasi Tahun : 2005 Versi : 1 Pertemuan 18 Aplikasi Simulasi

Tiga langkah penting Simulasi Monte carlo; APLIKASI SIMULASI Tiga langkah penting Simulasi Monte carlo; Analisis Data Historis Cari dari permasalahan model matematik Kembangkan Variabel pokok Kumpulkan data berdasar selang waktu penelitian Analisis Peluang dan Distribusi Tentukan peluang dan distribusi peluang Buat harga kumulatif distribusi Pembangkitan Bilangan Acak Tentukan Pola peubah acak yang dipergunakan Validasi Hubungan Bilangan acak dengan Distribusi peluangnya

Analisis Data Historis Tentukan Model Matematik, contoh masalah pasien gawat darurat, Ruang tunggu dokter, Assembling line pabrik mobil, Perawatan mesin industri, dll Variabel pokok; Skema proses berdasar distribusi misal Poisson, exponensial, dsb. Data tahun lalu dibuat untuk menentukan parameter yang menghubungkan setiap variabel Tentukan peluang dan distribusi peluang Masukan data awal Kembangkan Variabel pokok; Tentukan peluang dan distribusi peluang; fungsi diskrit atau Kontinue Tentukan fungsi distribusi peluang apa yang akan dipakai eksekusi dengan bilangan acak. Kumpulkan data berdasar selang waktu penelitian Tentukan parameter, konstanta yang diperlukan

Analisis Peluang Dalam Kasus Pseudo Random 1. Teori Peluang Peluang adalah suatu probabilitas (ukuran kecenderungan atas munculnya/terjadinya suartu peristiwa/kejadian/event. 2. Nilai probabilitas antara 0 dan 1 3. Komponen peluang; Event, Ruang sample,dan sample.

Ringkasan Distribusi Peluang Distribusi exponensial; Rata rata = ß= 1/ λ Variansi = ß 2 Distribusi Normal Rata rata = µ Variansi = σ2 Distribusi bernoulli; Rata rata = P Variansi = P(1-P) 3. Distribusi binomial; Rata rata = nP Variansi + nP(1-P) 4. Distribusi Poisson; Rata rata = λ Variansi = λ 5. Distribusi Uniform; Rata rata = (B+A)/2 Variansi = (B-A)2 / x

D.P diskrit contohnya adalah D.P. Poisson. Variabel X = jumlah kejadian pada interval waktu tertentu. (Mis. 1 hari terjual mobil 2 mobil,dst). Bila rata2 banyaknya kejadian perinterval waktu = λ. Jadi P(X)= λx e -λ / x! contoh; jumlah mobil terjual setiap harinya akan mengikuti distribusi Prob. Poisson.

HUBUNGAN X vs P(X) Disini hubungan D.P nya adalah Kontinyu dan berdistribusi Normal, dimana nilai P(X) dinyatakan untuk mewakili nilai variabel random X. P(X) f{P(X)} 0.20 0.15 0.10 0.05 X a1 a2 a3 a4 m b4 b3 b2 b1 f{P(X)}= 1/(2πσ2)1/2 e -(x-µ)2/2σ2

Pembangkitan Bilangan Acak Random Number Generator Definisi; Suatu algoritma yang digunakan untuk menghasilkan uruta-urutan angka angka random baik secara hitungan manual maupun komputasi elektronik (komputer) Bilangan acak disesuaikan dengan besar probabilitas yaitu antara 0 s/d 1.0 dan berdistribusi seragam. Syarat Pembangkitan Bilangan acak; Bersifat random Tidak ber-ulang (Degenerative) Perioda ulang biasanya munculnya sangat panjang

Metoda Pembangkitan Bilangan Acak Manual Sederhana; dengan lempar koin, ambil bola pingpong dalam keranjang secara acak, lempar dadu, putaran roullete. Tabel bilangan acak. Berupa daftar angka acak yang sudah diakui kebenaran acak-nya Menggunakan Komputer.; Menggunakan algoritma komputer yang diprogram Jenis bilangan acak Murni; acak langsung dipergunakan contoh peristiwa simulasi Monte Carlo penjualan sepatu . Tidak Murni (Pseudo random); dihasilkan acak dengan rumusan matematik, atau bilangan acak diperoleh berdasar hitungan distribusi statistik tertentu, Misal Poisson, Eksponensial, dsb.

Jenis Bilangan Acak Midsquare Method Prosedur; Tentukan Seed; angka random awal dari 4 digit angka random Kuadratkan Ambil empat digit yang ditengah Kembali ke langkah 2 Ulang sebanyak bilangan acak yang di-inginkan Contoh: Seed= 7812, (7812)2 , 51581124, (5811)2

Bentuk Tabulasi Midsquare method Zi U Bilangan acak terpilih Zi2 7182 - 51581124 5811 0.5811 33767721 7677 0.7677 58936329 9363 0.9363

Random Number Generator Linear Conguential Generator (LCG) Rumus; Zi = (a Zi-1 + c ) mpd m Dimana a = multiplier, c = increment, Zo = Seed Zi = Sisa hasil bagi random number , m = angka modul; Syarat konstanta; harga a > √m atau ; m/100 < a < m - √m Harga c harus ganjil, tidak merupakan kelipatan dari angka m Modul m harus bilangan yang tdak dapat dibagi (Bilangan prima) Harga Seed harus angka integer ganjil dan besar. Ui = Zi /m

Random Number Generator Multiplicative Congruential Generator (MCG) Rumus: Zi = (a Zi-1) mod m Mixed Congruential Generator (Linier Congruential Random Number Generator); Rumus; Zn = an Zo + (an – 1)/(a – 1). C (mod m)

Linier Congruential Random Number Generator Persyaratan Persyaratan; N integer > 0, C = Bilangan prima Bila C bilangan prima terhadap n berarti pembagi umum yang terbesar dari c dan m adalah 1. .a= 1 (mod q) untuk setiap faktor prima q dari m berarti a – q (a/q) = 1, bila k = (a/q) maka a = 1 + q k, dimana q adalah faktor prima dari m .a = 1 (mod 4) bila 4 adalah faktor dari m berarti a = 1 + 4k, bila m/4 = integer (bila m dibagi 4, hasilnya bulat)

Cara Pemilihan mod m Definisi; m angka integer terbesar hasil dari perkalian awal yang sebagai pembagi dengan angka integer lain. Contoh: Zo = 7, a = 5 c = 3 Berdasar metoda Multiplicative Congruential Generator) ; Zi = (a Zi-1) mod m Z1 = (5x7+3) mod m, m = angka integer Angka m dihasilkan dari 38 dibagi 2 angka prima nya adalah 16. Z1 = 6, Z2 = (5x6+3) mod 16 , Z2 = 33 mod 16 =1 , Z3 = (5x1+3) mod 16 , z3 = 8 mod 16 = 8, Z4 = (5x8+3) mod 16 = 43 mood 16 = 11 Bilangan random ; U1 = 6/16, U2 = 1/16, U3=8/16, U4= 11/16

Validasi Bilangan Acak Pengujian dimaksudkan untuk melihat distribusinya, urutan ke-acakan-nya. Metoda pengujian ; Uji empiris; dilakukan dengan uji statistik; Chi-Square test; Uji keseragaman Run test; Ujui keacakan UJi teoritis; dilakukan uji parameter pembangkit untuk pembangkitan secara menyeluruh. Spectral test Lattice test

Frekuensi Bilangan acak Chi Square test Dibangkitkan 100 bilangan acak yang akan dikelompokkan dalam 10 kelompok kelas probabilitas. Kelas Frekuensi Bilangan acak Fo Frekuensi harapan Fe (Fo-Fe)2/Fe Chi-sqre. 0.0 – 0.09 0.1 – 0.19 0.2 – 0.29 0.3 – 0.39 0.4 – 0.49 0.5 – 0.59 0.6 – 0.69 0.7 – 0.79 0.8 – 0.89 0.9 – 1.00 9 12 10 11 8 7 0.1 0.4 0.0 0.9 100 2.4

Nilai Chi-square tabel = 16.919 Chi Square test Pengujian: Ho = data/acak terdistribusi seragam H1 = Tidak terdistribusi seragam Selang kepercayaan α = 0.05 (5%) Nilai Chi-square tabel = 16.919 Chi-square hitung = 2.4 artinya < nilai tabel Kesimpulan terima Ho

Run Test Urutan ke-acak-an diuji Cara uji; Bilangan acak dalam urutannya bila harganya naik beri satu tanda +, sdebaliknya tanda -, seterusnya sampai seluruh bilangan acak. Contoh; 40 bilangan acak sbb; 0.43;0.32;0.48;0.23;0.90;0.72;0.94;0.11;0.14;0.67;0.61;0.25;0.45;0.56;0.87;0.54;0.01;0.64;0.65;0.32;0.03;0.93;0.08;0.58;0.41;0.32;0.03;0.18;0.90;0.74;0.32;0.75;0.42;0.71;0.66;;0.03;0.44;0.99;0.40;0.55. Total run x = 26 (26 tanda + dan -) Nilai harapan total run; μ = (2n – 1)/3 = ((2x40)-1)/3 = 26.33 Variansi jumlah run; σ2 = (16n – 29)/90 = ((16x40)-29)/90= 6.79 Standar deviasi σ = 2.61 Pengujian dengan distribusi normal; Ho : μ = 26.33, H1 = bukan μ Z = (a – μ)/ σ = (26 – 26.33)/ 2.61 = - 0.13 Batas selang-kepercayaan -1.96 s/d 1.96., berartyi harga Z ada didalamnya Terima Ho