TEORI PGB. KEPUTUSAN TEORI ANTRIAN Ari Darmawan, Dr. SAB. MAB

PENDAHULUAN Dikembangkan oleh A. K. Erlang  seorang insinyur dari Denmark yang bekerja pada perusahaan telepon di Kopenhagen pada tahun 1910. Eksperimen tentang fluktuasi permintaan fasilitas telepon yang berhubungan dengan automatic dialing equipment Erlang menerbitkan bukunya yang terkenal berjudul, Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in Automatic Telephone Exhange

DEFINISI Sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan (loket) serta suatu aturan yang mengatur kedatangan pelanggan dan pemrosesan masalah pelayanan antrian dimana dicirikan oleh lima buah komponen yaitu: Pola kedatangan para pelanggan Pola pelayanan Jumlah pelayanan Kapasitas fasilitas untuk menampung para pelanggan Aturan dalam mana para pelanggan dilayani.

APLIKASI SISTEM ANTRIAN 1. Sistem pelayanan komersial Sistem pelayanan komersial merupakan aplikasi yang sangat luas dari model-model antrian, seperti: restoran, kafetaria, toko-toko, salon, butik, supermarket, dan sebagainya. 2. Sistem pelayanan bisnis-industri Sistem pelayanan bisnis-industri mencakup sistem produksi, sistem material, handling, sistem pergudangan, dan sistem-sistem informasi komputer.

APLIKASI SISTEM ANTRIAN 3. Sistem pelayanan transportasi 4. Sistem pelayanan sosial Sistem pelayanan sosial merupakan sistem-sistem pelayanan yang dikelola oleh kantor-kantor dan perusahaan-perusahan lokal maupun nasional, seperti kantor registrasi SIM dan STNK, kantor pos, rumah sakit, puskesmas, dan lain-lain

KOMPONEN UTAMA SISTEM ANTRIAN 1. Kedatangan 2. Pelayanan 3. Antrian

KOMPONEN UTAMA SISTEM ANTRIAN Garis Tunggu Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil, panggilan telepon untuk dilayani, dan lain-lain. Unsur ini sering dinamakan proses input. Proses input meliputi: sumber kedatangan atau biasa dinamakan calling population, dan cara terjadinya kedatangan yang umumnya merupakan variabel acak. Karakteristik dari populasi yang akan dilayani dapat dilihat menurut: 1) ukurannya, 2) pola kedatangan, dan 3) perilaku dari populasi yang akan dilayani.

KOMPONEN UTAMA SISTEM ANTRIAN Garis Tunggu Menurut ukurannya  populasi yang dilayani bisa terbatas (finite) dan tidak terbatas (infinite). Pola kedatangan  teratur, dapat pula bersifat acak atau random.

KOMPONEN UTAMA SISTEM ANTRIAN Pelayanan Pelayanan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan, atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Tiap-tiap fasilitas pelayanan kadang-kadang disebut sebagai saluran (channel) Dalam mekanisme pelayanan ini ada 3 aspek yang harus diperhatikan yaitu: 1. Tersedianya pelayanan Mekanisme pelayanan tidak selalu tersedia untuk setiap saat.

KOMPONEN UTAMA SISTEM ANTRIAN Pelayanan 2. Kapasitas pelayanan Kapasitas dari mekanisme pelayanan diukur berdasarkan jumlah pelanggan yang tidak dapat dilayani secara bersama-sama. 3. Lama pelayanan Lama pelayanan adalah waktu yang dibutuhkan untuk melayani seseorang langganan atau satu satuan.

KOMPONEN UTAMA SISTEM ANTRIAN Timbulnya antrian terutama tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Jika tak ada antrian berarti terdapat pelayan yang menganggur atau kelebihan fasilitas pelayanan

DISIPLIN ANTRIAN 1. First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO) Pelanggan yang terlebih dahulu datang akan dilayani terlebih dahulu Misal: antrian pada loket pembelian tiket bioskop, antrian pada loket pembelian tiket kereta api 2. Last Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO) Pelanggan yang datang paling akhir akan dilayani terlebih dahulu Misal: sistem antrian pada elevator untuk lanti yang sama, sistem bongkar muat barang dalam truk

DISIPLIN ANTRIAN 3. Service In Random Order (SIRO) atau Random Selection for Service (RSS) Pelayanan/ panggilan didasarkan pada peluang secara random, jadi tidak menjadi permasalahan siapa yang lebih dahulu datang Misal: arisan di mana penarikan berdasarkan nomor undian 4. General Service Diciplint (GD) Pelayanan yang mempunyai aturan dan tata tertib yang berlaku umum dan ditaati bersama.

DISIPLIN ANTRIAN 5. Priority Service (PS) Prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan pelanggan yang mempunyai prioritas yang lebih rendah, meskipun mungkin yang dahulu tiba di garis tunggu adalah yang terakhir datang Misal: Seseorang yang memiliki penyakit yang lebih berat dibandingkan orang lain pada suatu tempat praktek dokter Hubungan kekerabatan pelayan dan pelanggan potensial akan dilayani terlebih dahulu

STRUKTUR ANTRIAN 1. Single Channel – Single Phase Single Channel berarti hanya ada satu jalur yang memasuki sistem pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan Single Phase berarti hanya ada satu fasilitas pelayanan Contoh: kantor pos atau supermarket yang hanya mempunyai satu loket pelayananan

STRUKTUR ANTRIAN 2. Single Channel – Multi Phase Sistem antrian jalur tunggal dengan tahapan berganda ini atau menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan. Contoh : pencucian mobil, tukang cat mobil

STRUKTUR ANTRIAN 3. Multi Channel – Single Phase Sistem Multi Channel – Single Phase terjadi di mana ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal Contoh: antrian pada bank dengan beberapa teller

STRUKTUR ANTRIAN 4. Multi Channel – Multi Phase Sistem Multi Channel – Multi Phase ini menunjukkan setiap sistem mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap, sehingga terdapat lebih dari satu pelanggan yang dapat dilayani pada waktu bersamaan.

STRUKTUR ANTRIAN Contoh : pelayanan yang diberikan kepada pasien di rumah sakit dimulai dari pendaftaran, diagnose, tindakan medis, sampai pembayaran

MODEL ANTRIAN Karakteristik dan asumsi dari model antrian dirangkum dalam bentuk notasi. Notasi standar yang digunakan adalah sebagai berikut : ( a / b / c / d / e ) Di mana simbol a, b, c, d, e merupakan elemen dasar dari model antrian : a = distribusi kedatangan yaitu jumlah kedatangan per satuan waktu b = distribusi waktu pelayanan c = jumlah fasilitas pelayanan ( s = 1, 2, 3, …, d = jumlah maksimum yang deperkenankan berada dalam sistem (dalam pelayanan ditambah yang di garis tunggu). e = ukuran pemanggil populasi atau sumber.

MODEL ANTRIAN Notasi standar untuk simbol a dan b sebagai distribusi kedatangan dan distribusi waktu pelayanan mempunyai kode sebagai berikut : M = Poisson (Markovian) untuk distribusi kedatangan atau waktu pelayanan. D = inter-arrival atau service time konstan (deterministic) Ek = interarrival atau service time berdistribusi Erlang atau Gamma

MODEL ANTRIAN Contohnya adalah ( M/ D/ 5/ N/ ∞) artinya: kedatangan berdistribusi Poisson, waktu pelayanan konstan, terdapat 5 buah fasilitas pelayanan jumlah konsumen dibatasi sebanyak N sumber populasi tidak terbatas.

MODEL ANTRIAN Model-model antrian secara umum antara lain: 1. Model ( M/ M/ 1/ ∞/ ∞ ), syarat-syarat model ini: Jumlah kedatangan tiap satuan waktu mengikuti distribusi Poisson Waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial Disiplin antrian yang digunakan adalah FCFS Sumber populasi tidak terbatas Jalur antriannya tunggal Tingkat rata-rata kedatangan lebih kecil daripada tingkat rata-rata pelayanan Panjang antrian tidak terbatas

MODEL ANTRIAN 2. Model ( M/ M/ S/ ∞ / ∞), syarat-syarat model ini: Pada model ini fasilitas pelayanan ( server ) bersifat ganda, rata-rata tingkat kedatangan lebih kecil daripada penjumlahan seluruh rata-rata tingkat pelayanan di tiap jalur. Syarat yang lain sama dengan model server tunggal.

MODEL ANTRIAN 3. Model (M/ M/ 1/ N/ ∞), syarat-syarat model ini: Model ini merupakan variasi dari model yang pertama, di mana panjang antrian atau kapasitas tunggu dibatasi maksimum N individu. Jumlah maksimum ini meliputi individu yang menunggu dan yang sedang dilayani. 4. Model (M/ M/ 1/ ∞/ N), syarat-syarat model ini: Model ini hampir sama dengan model yang pertama hanya saja sumber populasi dibatasi sebanyak N.

TERMINOLOGI ANTRIAN 1. Keadaan sistem yaitu jumlah aktivitas pelayanan yang terjadi dalam melayani pelanggan dalam sistem. 2. Panjang antrian yaitu banyaknya satuan yang berada dalam sistem dikurangi dengan jumlah yang sedang dilayani.

NOTASI ANTRIAN Notasi yang digunakan adalah: n = Jumlah nasabah yang mengantri pada waktu t k = Jumlah satuan pelayanan Λ = Tingkat kedatangan μ = Tingkat pelayanan Ρ = Tingkat kesibukan sistem Po = Peluang semua teller menganggur atau tidak ada nasabah dalam sistem

NOTASI ANTRIAN Pn(n-k) = Peluang nasabah yang datang harus menunggu Ls = Ekspektasi panjang sistem L = Ekspektasi panjang antrian Ws = Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem W = Ekspektasi waktu menunggu dalam antrian

Faktor-faktor yang berpengaruh terhadap barisan antrian dan pelayanan Distribusi kedatangan, kedatangan individu atau berkelompok 2. Distribusi pelayanan, pelayanan individu atau berkelompok 3. Fasilitas pelayanan, berbentuk series, paralel, atau network station 4. Disiplin pelayanan, berbentuk FCFS, LCFS, SIRO atau PP 5. Ukuran dalam antrian, kedatangan bersifat tidak terbatas atau terbatas 6. Sumber pemanggil, bersifat terbatas atau tidak terbatas

POLA KEDATANGAN DAN WAKTU PELAYANAN Pola kedatangan suatu sistem antrian dapat dipresentasikan oleh waktu antar kedatangan yang merupakan suatu periode waktu antara dua kedatangan yang berturut-turut. Kedatangan dapat dipisahkan oleh interval kedatangan yang sama atau tidak sama probabilitasnya disebut kedatangan acak. Tingkat kedatangan yaitu jumlah pelanggan yang datang per satuan unit waktu. Jika kedatangan bersifat acak, harus diketahui dahulu distribusi probabilitas kedatangannya.

POLA KEDATANGAN DAN WAKTU PELAYANAN Suatu proses kedatangan dalam suatu sistem antrian artinya menentukan distribusi probabilitas unntuk jumlah kedatangan untuk suatu periode waktu Suatu fungsi probabilitas Poisson untuk suatu kedatangan x pada suatu periode waktu adalah: Dimana : x = jumlah kedatangan per periode waktu λ = rata-rata jumlah kedatangan per periode waktu e = 2,71828

POLA KEDATANGAN DAN WAKTU PELAYANAN Uji Kesesuaian Poisson Uji kesesuaian Poisson dilakukan dengan uji Chi Square ( yang didefinisikan sebagai berikut: H0 = data yang diuji mengikuti distribusi H1 = data yang diuji tidak mengikuti distribusi Statistik test didefinisikan sebagai berikut : Dalam uji Chi Square, data observasi mengikuti distribusi saat Dimana : Oi = frekuensi observasi ke-i Ei = frekueensi harapan ke-i

POLA KEDATANGAN DAN WAKTU PELAYANAN Pola Pelayanan Pola pelayanan ditentukan oleh waktu pelayanan yaitu waktu yang dibutuhkan untuk melayani pelanggan pada fasilitas pelayanan. Waktu pelayanan dapat berupa waktu pelayanan konstan ataupun variabel acak yang telah diketahui probabilitasnya. Tingkat pelayanan adalah jumlah pelanggan yang dilayani per satuan waktu. Asumsi: channel selalu dalam keadaan sibuk sehingga tidak ada waktu idle yang dialami oleh channel itu.

POLA KEDATANGAN DAN WAKTU PELAYANAN Pola Pelayanan Distribusi probabilitas untuk waktu layanan biasanya mengikuti distribusi probabilitas Eksponensial yang formulanya dapat memberikan informasi yang berguna mengenai operasi yang terjadi pada suatu antrian. Persamaan distribusi Eksponensialnya adalah: Dimana : x = Xi (nilai tengah) β = rata-rata yang didekati e = 2,71828

POLA KEDATANGAN DAN WAKTU PELAYANAN Uji Kesesuaian Eksponensial

POLA KEDATANGAN DAN WAKTU PELAYANAN Uji Kesesuaian Eksponensial

SAMPAI KETEMU PADA PERTEMUAN BERIKUTNYA TEORI PGB. KEPUTUSAN SAMPAI KETEMU PADA PERTEMUAN BERIKUTNYA