MATEMATIKA DISKRIT SISTEM KOMBINASI DOSEN : FIRDAUS

MATRIKS

Apa itu Matriks? Matriks adalah susunan skalar elemen elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m x n) adalah: A = 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 Contoh: Matriks berukuran 3 x 4: A = 2 5 0 6 8 7 5 4 3 1 1 8 atau 2 8 3 , 5 7 1 , 0 5 1 dan 6 4 8 Matriks yang jumlah elemen i dan j nya sama disebut matriks bujursangkar (square matrix).

Apa itu Matriks Khusus? Matriks Diagonal Matriks Identitas Matriks khusus adalah matriks yang memiliki bentuk tertentu dan bersifat tetap. Terdapat enam jenis matriks khusus yaitu: Matriks Diagonal Matriks Identitas Matriks Segitiga Atas / Bawah Matriks Transpos (Transpose) Matriks Setangkup (Symmetry) Matriks 0 / 1 (zero-one)

1. Matriks Diagonal Matriks diagonal adalahmatriksbujursangkardenganaij = 0 untuk i ≠ j dengan kata lain seluruhelemen yang tidakterdapat i ≠j bernilai 0. ContohMatriks diagonal 3 x 3 A = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 atau B = 2 0 0 0 0 0 0 0 −1 Matriks diagonal 4 x 4 C = 1 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0 7 atau D = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7

2. Matriks Identitas Matriks Identitasadalahmatriks diagonal yang semuaelemendiagonalnyabernilai 1.Matriks indentitasdilambangkandengan I. ContohMatriksIdentitas 3 x 3: I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 MatriksIdentitas 4 x 4: I = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

3. Matriks Segitiga Atas/Bawah Matriks segitigaAtas/Bawahadalahmatriksjikaelemen-elemendiatasataudibawah diagonal bernilai 0. Contohmatrikssegitigaatas 4 x 4: A = 1 0 0 0 5 7 0 0 6 0 3 0 2 4 −2 6 Matrikssegitigabawah 4 x 4: B = 2 6 6 −4 0 3 7 3 0 0 0 2 0 0 0 8

4. Matriks Transpos (Transpose) Matriks Transpose adalahmatriks yang diperolehdenganmempertukarkanbaris-barisdankolom-kolom. MatriksTransposdtulisdengan 𝐴 𝑇 . ContohMatriksTranspos: A = 1 2 3 4 5 6 = 𝐴 𝑇 = 1 4 2 5 3 6

5. Matriks Setangkup (Symetry) Matriks setangkup (symetry) adalahmatriks yang elemendibawah diagonal adalahpencerminandarielemendiatas diagonal terhadapsumbu diagonal matriks. Contohmatrikssetankup 4 x 4: A = 1 5 6 2 5 7 0 4 6 0 3 −2 2 4 −2 6 atau B = 2 6 6 −4 6 3 7 3 6 7 0 2 −4 3 2 8

6. Matriks 0/1 (zero one) Matriks 0/1 adalahmatriks yang setiapelemennyahanyabernilai 0 atau 1. Matriksinibanyakdigunakanuntukmerepresentasikanrelasiketerhubungan. Contoh: A = 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Operasi Aritmatika Matriks Terdapat 4 jenis operasi yang dapat dilakukan terhadap dua atau lebih matriks yaitu: Penjumlahan Matriks Pengurangan Matriks Perkalian Matriks Perkalian Matriks dengan Skalar

1. Penjumlahan Matriks Dua buahmatriksdapatdijumlahkanjikaukurannyasama. Penjumlah A dan B dilambangkandengan: A + B Contoh: 1 2 3 0 5 −2 4 7 8 + 5 6 8 7 −3 9 6 2 1 = 1+5 2+6 3+8 0+7 5+−3 −2+9 4+6 7+2 8+1 = 6 8 11 7 2 7 10 9 9

2. Pengurangan Matriks Dua buahmatriksdapatdikurangkanjikaukurannyasama. Pengurangan A dan B dilambangkandengan: A - B Contoh: 1 2 3 0 5 −2 4 7 8 - 5 6 8 7 −3 9 6 2 1 = 1−5 2−6 3−8 0−7 5−−3 −2−9 4−6 7−2 8−1 = −4 −4 −5 −7 8 −11 −2 5 7

3. Perkalian Matriks Dua buahmatriksdapatdikalikanjikajumlahkolommatrikspertamasamadenganjumlahbarismatrikskedua. Perkalian A dan B dilambangkandengan: A x B atau A.B Contoh: 1 3 2 −1 x 2 0 −4 3 −2 6 = 1.2 + 3.3 1.0 + 3.−2 1.−4 + 3.6 2.2 + −1.3 2.0 + −1.−2 2.−4 + −1.6 = 2+9 0+−6 −4+18 4+−3 0+2 −8+−6 = 11 −6 14 1 2 −14

4. Perkalian Matriks Dengan Skalar Perkalian matriksdenganskalaradalahmengalikanmatriks A denganskalar k adalahmengalikansetiapelemenmatriksdengan k. Contoh: 2 1 0 3 7 5 −2 0 4 x 3 = 3𝑥2 3𝑥1 3𝑥0 3𝑥3 3𝑥7 3𝑥5 3𝑥−2 3𝑥0 3𝑥4 = 6 3 0 9 21 15 −6 0 12

PELUANG

FAKTORIAL Faktorial digunakan untuk mempermudah peluang suatu kejadian . Faktorial dilambangkan dengan !. Dapat didefinisikan sbb: 0! =1 2 !=2x1=2 1 !=1 4 !=4x3x2x1=24 Maka dapat ditulis dengan : n !=nx(n-1) !

Contoh 4!=4 x 3! 8! = 8.7.6! =8.7=56 9! 6! 12!=12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1=479.001.600 9! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1! =9.8.7.6=3.024 5! 5.4.3.2.1!

B. Permutasi Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan objek atau unsur yang diambil dari sekelompok objek atau unsur yang tersedia. Banyak permutasi dari k unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan :

CONTOH Tentukan nilai Tentukan banyaknya susunan atau permutasi dua huruf yang diambil dari 4 huruf yaitu A,B,C,D. Dalam suatu perlombaan balap sepeda yang terdiri dari 7 orang akan diambil 3 orang sebagai juara yaitu : juara I, juara II dan juara III. Tentukan kemungkinan susunan juara yang terjadi!

C. Kombinasi Kombinasi adalah susunan dari sekelompok objek tanpa memperhatikan susunannya atau urutannya. Kombinasi dapat disebut pengelompokan sejumlah unsur. Di dalam kombinasi AB = BA , ABC = ACB = CBA Banyaknya kombinasi dari r objek yang diambil dari n objek yang tersedia dapat dinotasikan sebagai berikut

CONTOH Berapakah kombinasi 3 huruf dari A,B,C,dan D Timnas karate kelas 60 kg akan memilih 3 orang dari 10 orang yang memenuhi syarat. Banyak cara memilih ketiga pemain tersebut adalah.... Berapa kemungkinan yang terjadi apabila dari 10 orang anak akan diambil sebagai pemain futsal? (pemain futsal adalah 5 0rang sehingga r = 5)

FUNGSI

Pengertian Fungsi = pemetaan semua elemen pada daerah asal (domain) ke daerah hasil (kodomain) Domain Kodomain Fungsi x f(x) A B y z f(y) f(z) Df = domain fungsi f Rf = range kodomain

ALJABAR FUNGSI JIka ada dua fungsi: f(x) dan g(x) , maka berlaku: 1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) 2. (f – g)(x) = f(x) – g(x) 3. (f x g)(x) = f(x) . g(x) 4. 5. fn(x) = [ f(x) ]n

Kerjakan Exercises Hal. 253 no. 5 e 6 b 7 c Contoh: Jika f(x) = 2x – 3 dan g(x) = 4 – x maka tentukan: a. (f+g)(x) b. (f – g)(x) c. (f x g)(x) d. e. f2(-1) Jawab: Kerjakan Exercises Hal. 253 no. 5 e 6 b 7 c a. (f + g)(x) = 2x – 3 + 4 – x = x + 1 b. (f – g)(x) = 2x – 3 – (4 – x) = 3x – 7 c. (f x g)(x) = (2x – 3) x (4 – x) = –2x2 + 11x – 12 e. (f)2(x) = (2x – 3)2 = 4x2 – 12x + 9  (f)2(-1) = 25

KOMPOSISI FUNGSI x f(x) g(f(x)) f g g o f A B C (g o f)(x) = g(f(x)) , artinya: f(x) masuk ke g(x)

a. (f o g)(x) = f(g(x)) = 2(3x + 1) – 5 = 6x – 3 Contoh: Jika f(x) = 2x – 5 dan g(x) = 3x + 1 tentukan: a. (f o g)(x) b. (g o f)(x) c. (f o g)(4) Jawab: a. (f o g)(x) = f(g(x)) = 2(3x + 1) – 5 = 6x – 3 b. (g o f)(x) = g(f(x)) = 3(2x – 5) + 1 = 6x – 14 c. (f o g)(4) = 6 . 4 – 3 = 21