LATIHAN Nyatakan manakah yang merupakan vektor dan merupakan skalar: berat, kalor jenis, kerapatan, volum, kecepatan, kalori, momentum, energi, jarak Sebuah mobil bergerak ke arah utara sejauh 3 km, kemudian 5 km ke arah timur laut. Gambarkan perpindahan ini secara grafis dan tentukan vektor perpindahan resultannya secara grafis dan secara analitis Perlihatkan bahwa penjumlahan vektor adalah assosiatif. Diketahui a = 3, -2, 1, b = 2, -4, -3, c = -1, 2, 2 carilah besarnya a, a+b+c, dan 2a-3b-5c . Diketahui a = 2, -1, 1, b = 1, 3, -2, c = -2, 1, -3, dan d = 3, 2, 5 carilah skalar-skalar k, l, m sehingga d=ka+lb+mc

HASIL KALI TITIK DAN HASIL KALI SILANG Definisi Jika dan , maka hasilkali titik dari a dan b adalah bilangan ab yang diberikan oleh

Sifat Hasilkali Titik Jika a, b, dan c adalah vektor pada ruang yang sama, dan k skalar, maka a . a = 4. (ka)  b) = k(a  b) = a  (kb) a  b = b  a 5. 0  a = 0 a  (b + c) = a  b +a  c Teorema 5.1 Jika  adalah sudut antara vektor a dan b, maka atau

Contoh Jika vektor a dan b mempunyai panjang 3 dan 8, dan sudut kedua vektor adalah /3, carilah ab. Carilah sudut antara vektor a = 2,2,-1 dan b = 5,-3,2. Vektor a dan b ortogonal (tegak lurus) jika dan hanya jika a  b = 0. Contoh Perlihatkan bahwa 2i – 2j + k tegak lurus terhadap 5i + 4j – 2k. Carilah nilai x sehingga vektor a = 1,2,1 dan b = 1,0, x  membentuk sudut 60.

Vektor v disebut proyeksi vektor b pada a. Panjang vektor v disebut proyeksi skalar b pada a.  v a Contoh Carilah proyeksi skalar dan proyeksi vektor dari b = 1, 1, 2 pada a = -2, 3, 1

Kerja R Gaya konstan F menggerakkan benda dari P ke Q, mempunyai vektor simpangan adalah . Kerja yang dilakukan oleh gaya ini didefinisikan sebagai perkalian antara komponen gaya tersebut di sepanjang d dengan jarak perpindahan F  P S Q Contoh Suatu gaya F = 3i + 4j +5k menggerakkan sebuah partikel dari titik P(2,1,0) ke titik Q(4,6,2). Tentukan besar kerja yang dilakukan F.

Hasilkali Silang Definisi Jika dan , maka hasilkali silang dari a dan b adalah vektor Notasi bantuan : Contoh Jika a = 1,3,4 dan b = 2,4,-3, carilah vektor a  b.

Vektor a  b ortogonal terhadap a maupun b. Teorema 5.2 Vektor a  b ortogonal terhadap a maupun b.  a b Teorema 5.3 Jika  sudut antara vektor a dan b (0   ), maka b  a Panjang dari hasilkali silang a  b sama dengan luas dari jajaran genjang yang ditentukan oleh vektor a dan b. Contoh Carilah luas segitiga dgn titik sudut A(1,2,4), B(-2,6,-1), dan C(1, 0, 5).

Akibat Dua vektor taknol a dan b sejajar jika dan hanya jika jika a  b = 0. Teorema 5.4 Jika a, b dan c vektor dan k skalar, maka a  b = -b  a (ka)  b = k(a  b) = a  (kb) a  (b + c) = a  b + a  c (a + b)  c = a  c + b  c a  (b  c) = (a  b)c a ( b  c) = (ac)b – (ab)c

Hasilkali rangkap-tiga skalar : Volume paralelepipedum yang ditentukan oleh vektor a, b dan c adalah besar dari hasilkali rangkap-tiga skalar b  c a c b

Contoh Carilah volum paralel epipedum yang rusuk-rusuk berdekatannya adalah a, b, dan c dengan a = i + 2k, b = 4i + 6j + 2k, dan c = 3i +3j – 6k