MATEMATIKA DASAR 4

GEOMETRI ANALITIKA DATAR

IRISAN KERUCUT TITIK GARIS DUA GARIS BERPOTONGAN GARIS Jika bidang penampang V melalui puncak kerucut dan  > , maka irisan antara bidang V dengan kerucut adalah berupa sebuah titik. yaitu titik puncak kerucut tersebut.. Catatan  = Sudut antara bidang penampang V dengan sambu kerucut.  = Setengah sudut puncak kerucut. Jika bidang penampang V melalui puncak kerucut 0 dan  <  maka irisan antara bidang V dengan kerucut adalah berupa dua buah garis berpotongan di 0. yaitu garis g dann h. Jika bidang penampang V melalui puncak kerucut 0 dan  =  berarti V menyinggung kerucut, maka irisan antara bidang V dengan kerucut adalah sebuah garis. yaitu garis g.

PARABOLA ELLIPS LINGKARAN Jika bidang V tidak melalui puncak kerucut dan  =  atau V sejajar terhadap satu garis pelukis, maka irisannya berupa sebuah parabola. Jika bidang. penampang V tegak lurus sumbu kerucut ( = 900) maka irisan­nya berupa sebuah lingkaran Jika  >  dan bidang V tegak lurus bidang kertas maka irisannya berupa sebuah elips.

HIPERBOLA Definisi: Irisan kerucut ialah tempat: kedudukan titik-titik. sehingga perbandsngan jarak dari titik-titik ini ke suatu titik dan garis tertentu tetap harganya. Harga yang tetap ini disebut eksentrisitas dan disingkat dengan e dan: Jika e = 1. irisan kerucut adalah parabola. Jika 0 < e < 1. irisan kerucut adalah elips. Jika e > 1. irisan kerucut adalah Hperbola Jika e = 0. irisan kerucut adalah lingkaran (elips khusus) Jika bidang V tidak melalui puncak kerucut 0; dan V tegak lurus bidang kertas dan  <  maka irisannya berupa. hiperbola. Titik tertentu dalam - irisan kerucut - dinamakan fokus (titik api). sedangkan garis tertentunya dinamakan direktriks.

PARABOLA ­Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap fokus sama dengan jaraknya terhadap direktriks. Perbandingan kedua jarak ini disebut eksentrisitas (e). Berarti dalam hal ini e = 1. Beberapa istilah yang penting mengenai parabola: 1. FD d dan FD merupakan sumbu simetri parabola. karena bayangan setiap titik pada parabola terhadap pencerminan sumbu ini j uga terletak pada parabola. 2. Titik P disebut puncak dari parabola. yaitu titik potong antara parabola dengan sumbu simetri. 3. Titik F disebut titik api atau fokus 4. Garis d disebut direktriks parabola. jelas /FD/ = 2 /FP/ = 2a (a positif). 5. Garis hubung antara dua titik pada parabola disebut talibusur. Talibusur yang melalui:fokus disebut talibusur fokus. Talibusur fokus yang tegak lurus sumbu simetri disebut latus rectum (garis AB dan j alas /AB/ = 4a). 6. Garis hubung atau segmen antara fokus dengan - suatu titik pada parabola disebut jari-jari fokus. misalnya /FC/.

Irisan kerucut lingkaran tegak lurus bidang datar V. Misalkan:  adalah setengah sudut puncak kerucut o adalah puncak kerucut  adalah sudut antara' bidang penampang V dengan sumbu kerucut. Irisan yang diperoleh berupa: 1. sebuah titik. jika V melalui 0 dan  <  2. Dua garis berpotongan. j ika V melalui 0 dan  <  3. Sebuah garis. jika V melalui 0 dan d = 4. Sebuah lingkaran. jika V tegak lurus sumbu kerucut (a = 900) 5. Elips. jika  >  dan V tegak lurus bidang kertas 6. Hiperbola. jika V tidak melalui 0 dan V tegak gurus bidang kertas dan  <  Definisi irisan kerucut secara analitis: Irisan kerucut ialah tempat kedudukan titik-titik. sehingga perbandingan jarak dari titik-titik ini ke suatu titik dan ke suatu garis tertentu tetap harganya. Harga yang tetap ini disebut eksentrisitas dan disingkat e. Jika e = 1 irisan kerucut adalah parabola. Jika 0 < 1. irisan kerucut adalah elips. Jika e > 1. irisan kerucut adlah hiperbola. Jika irisan kerucut diketahui eksentrisitasnya (e). koordinat titik fokusnya yaitu F(p, q) dan persamaan direktriksnya. yaitu d: ax + by + c = 0, maka persamaan irisan kerucut dapat dicari dengan menggunakan penyelesaian tempat ked ukan dengan cara "koordinat jalan" dan mengingat syarat: = e P pada irisan kerucut dan /PT/ jarak P dan d.

istilah yang berhubungan dengan parabola: Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap fokus sama dengan jaraknya terhadap direktriks (e = 1 istilah yang berhubungan dengan parabola: s = FD = sumbu simetri P = Puncak Parabola F = Fokus (titik api) d = direktriks GH = talibusur KL = Talibusur fokus AB = Latus rectum |FC| = Jari-jari fokus

PERSAMAAN PARABOLA DAN GARIS SINGGUNG Persamaan Sederhana Parabola Sifat-sifat parabola dengan persamaan x = -8y x2 = 4;(-2)y 1. Fokus F(0, -2) 2. D rektriks d: y = 2 3. Sumbu simetri x = -o (sumbu y) 4. Puncak o (0, 0) 5. p = -2 negatif maka parabola membuka ke bawah. /PF/ = /PQ/ (definisi parabola) = /x + P/ (p - x)2 + y2 = (x + p)2 y2 = x2 + 2px + p2 - p2 + 2px - x2 y2 = 4px

y = sx + Garis singgung terhadap Parabola Misalkan garis dengan gradien s memiliki persamaan g: y = sx + k. Perpotongan g dengan parabola y2 = 4px dicari sebagai berikut: y = sx + Maka (sx + k)2 = 4px s2x2 + (2ks - 4p)x + k2 = 0 dengan deskriminan: D = (2ks - 4p2 - 4k2s2 Jika D < 0 garis g tidak memotong parabola, Jika D > 0 garis g memotong parabola pada dua titik Jika D = 0 garis g memotong parabola pada satu titik. berarti g menyinggung parabola. Jadi, syarat agar garis g menyinggung parabola adalah: (2ks - 4p)2 - 4k2s2 = 0  4k2s2 - 16ksp2 + 16p2 - 4k2s2 = 0  k = Misalkan T(x, y) pada parabola, maka jarak (T, d) = /TF/ (x - a + p)2 = (x - a - p)2 + (y - b)2 (y - b)2 = 4p(x - a) Jadi, parabola yang berpuncak di P(a, b) dan berfokus F(a + p. b) memiliki persa­maan: Jadi, persamaan garis singgung dengan gradien s terhadap parabola: y2 = 4px, adalah y = sx +

Rangkuman Parabola dengan persamaan sederhana y2 = 4px memiliki sifat: Fokus F(p, 0), Direktriks d: x = - p, Sumbu simetri s: y = o (sumbu x), Puncak o (0, ) ) Jika p positif parabola membuka ke kanan dan jika p negatif parabola membuka ke kiri. 2. Parabola dengan persamaan sederhana x2 = 4px memiliki sifat: Fokus F(0, p), Direktriks d: y = -p,Sumbu simetri s : x o (sumbu y), Puncak o (0, 0) Jika p positif parabola membuka ke atas dan jika p negatif parabola membuka ke bawah. 3. Parabola dengan persamaan (y - b)2 = 4p(x - a) memiliki sifat: Puncak P(a, b), Fokus F(a + p, b), Sumbu simetri s: y = b d. Direktriks d: x = a - p e. Latus rectum 1: x = a + p 4. Parabola dengan persamaan (x - a)2 = 4p(y - b) memiliki sifat: Puncak P(a, b),Fokus F(a + b, p), Sumbu simetri s: x = a, Direktriks d: y = b – p, Latus rectum 1: y = b + p 5. Garis singgung dengan gradien s terhadap parabola: y2 = 4px memiliki persamaan y = sx + x2 = 4py memiliki y = sx - ps2 (y - b)2 = 4p(x - a) memiliki persamaan y - b = s(x - a) +

ELIPS Elips ialah tempat kedudukan titik-titik sehingga perbandingan jarak ke titik tertentu (fokus F) dan terhadap garis tertentu (direktriks d) tetap sama dengan e dan e < 1 (e = eksentrisitas) Jika direktriks dl disebelah kiri v2 dan berjarak dua satuan. serta fokus F1 pada FT dengan = ½ maka akan menghasilkan elips yang sama. Jadi tiap elips memiliki dua fokus dan dua direktriks

9. Segmen penghubung fokus dengan titik pada elips disebut 1. F1 dan F2 disebut fokus 2. d1 dan d2 adalah direktriks. Jika P pada elips, maka = e 3. V1, V2, Tl, dan T2 adalah puncak elips 4. 0 adalah pusat elips. |OV1| = |OV2| = a, |0F1| = |OF2| = C 5. V1V2 dan T1T2 disebut sumbu simetri. Sumber simetri yang memuat fokus disebut sumbu panjang (V1V2). dengan ukuran 6. |V1V2| = 2a. Sumbu simetri yang tidak memuat fokus disebut sumbu pendek (T1T2)dengan ukuran |T1T2| = 2b 7. Tali busur yang melalui fokus disebut tali busur fokus 8. Tali busur fokus yang tegak lurus sumbu panjang disebut latus rectum. Dalam hal ini AB dan CD adalah latus rectum. 9. Segmen penghubung fokus dengan titik pada elips disebut jari–jari fokus.

Jadi direktriks dl memiliki persamaan x = e Jadi direktriks dl memiliki persamaan x = e. Hubungan antara a, b, c dan e kita cari sebagai berikut: |OT|2 = |T1F1|2 - |OF1|2 b2 = a2 - c2, b2 = a2 – a2e2, b2 = a2 (1 - e2) Sekarang kita cari persamaan elips dengan sifat-sifat seperti di atas. Misalkan titik P(x, y) pada elips dan IPP'I adalah jarak P ke direktriks dl tentu P' (e. y), sehingga: |OF1| = C dan |OV1| a (a > c) V1 (a, 0) dan V2 (-a, 0) pada elips. sehingga = e  |PF1| = e|PP’| = e  . = e  Dari (1) dan (2) kita peroleh C = ae dan |OD| =

Jari-jari Fokus suatu Elips Persamaan sederhana sebuah elips. Keterangan­keterangan atau sifat-sifat dari elips sederhana ini adalah: 1. Titik pusat di o (0. 0) 2. Fokus F1 (C, 0) dan F2 (-C, 0) dengan a > b dan c2 = a2 - b2. Jika a < b dan c2 = b2 - a2 maka F1 (O, c) dan F2 (0, - c) Jari-jari Fokus suatu Elips Sigmen penghubung fokus dengan titik pada elips disekitar jari-jari fokus. Misalkan elips dengan persamaan: 3. Eksentrisitas e = (jika a > b) dan e = (jika a < b) 3. Direktriks d1 : x = e dan d2: x e - (jika a > b) d1 : x = e dan d2: y e (jika a < b) 4. Sumbu - x dan sumbu y adalah sumbu simetri dan jika a > b maka sumbu x adalah sumbu panjang dan sumbu y adalah sumbu pendek 5. Latus rectum x = c dan x = -c jika sumbu x adalah sumbu panjang. Jika sumbu y sumbu panjang maka y = c dan y = -c adalah latus rectum. Bagaimanakah koordinat dari titik-titik ujung latus rectum? 6. Titik Puncak elips. yaitu titik potong elips dengan sumbu-sumbu simetrinya. Ada empat titik puncak. Yaitu (a. 0). (-a. 0). (0. b) dan (0. -b).

Persamaan Ax2 + By2 + C = 0 Kita akan menyelidiki persamaan Ax2 + By2 + C = 0 dengan A dan B bertanda sama dan tidak nol. Pertama: (Jika C  0 dan berlainan tanda dengan A dan B) Ax2 + By2 + C = 0 Ax2 + By2 = -C  Jika a > b maka fokus pada sumbu x. sumbu x adalah sumbu panjang dan jika a < b maka fokus pada sumbu y (sumbu y adalah sumbu panjang). Kedua Jika A = B dan C  0 berlainan tanda dengan A dan B) Ax2 + By 2 + C = . menjadi Ax2 + Ay 2 – C    x2 + y2 = a2 (a = b, dan a2 = b2 = - Karena C berlainan tanda dengan A dan B, maka A dan B positif dan kita misalkan A a2 dan c = b2 dengan a dan b positif. Kita peroleh Bentuk ini adalah, persamaan stardar lingkaran dengan pusat o (o, o) dan jari-jari r = a = A. Karena a = b, maka c = a b2 = 0. sehingga fokus F1(c. o) dan F 2 (-c. o) berimpit dengan pusat O (o. o). Sedangkan eksentrisitasnya e = a = 0. Jadi lingkaran adalah elips istimewa (khusus) dengan kedua fokus berimpit pada pusat lingkaran dan eksentrisitas e = 0.

D = 4a2b2 (a2s2 + b2 - k2) = 0 a2s2 + b2 - k2 = 0 Garis Singgung Terhadap Elips Ke tiga: (Jika c = 0) Kedudukan sebuah garis terhadap elips dapat diselidiki sebagai berikut: Misalkan garis itu adalah g: y = sx + k dan elips Persamaan Ax2 + By2 + C = 0 menjadi Ax2 + By2 0. Grafiknya hanya terdiri dari satu titik real yaitu o (0, 0). Persamaan ini disebut elips titik atau lingkaran titik (dengan r = 0). Kadang-kadang disebut juga elips tidak benar atau lingkaran tidak benar. = 1 Absis titik potong antara g dan elips diperoleh dari: Keempat: (Jika A. B dan C bertanda sama) (a2s2 + b2) x2 + 2a2skx + a2k2 - a2b2 = 0 Persamaan Ax2 + By2 + C 0  dengan diskriminan D = 4a2b2 (a2s2 + b2 - k2) syarat agar g menyinggung elips ialah  D = 4a2b2 (a2s2 + b2 - k2) = 0 a2s2 + b2 - k2 = 0  k =   x =  (x imajiner) Substitusi k =  ke persamaan garis g :  x =  (y imajiner) y = sx + k, maka kita peroleh persamaan garis singgung dengan gradien s terhadap elips Ternyata tidak ada pasangan (x, y) yang real yang memenuhi persamaan elips di atas maka persamaan ini disebut persamaan elips imajiner (el ips khayal) atau jika A = B disebut lingkaran khayal yakni: y = sx 

Rangkuman 1. Persamaan Ax2 + By2 + C = 0 dengan A dan B bertanda sama menyatakan persamaan elips, dan Jika C berlainan tanda dengan A dan B, maka elips real. Jika A = B dan C  0 berlainan tanda dengan A dan B maka elips real khusus (lingkaran) Jika C = 0 maka elips titik Jika A, B, dan C bertanda sama maka elips imaginer (elips khayal). 2. Persamaan parameter elips = 1 adalah x = a cos  y = b sin  dengan  parameter. 3. Elips dengan pusat (, ) dan ukuran sumbu yang sejajar sumbu x dan sumbu y berturut-turut 2a dan 2b memiliki persamaan:   4. Persamaan garis singgung dengan gradien s terhadap elips = 1 adalah y = sx  5. Persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada Elips = 1 adalah = 1

HIPERBOLA Hiperbola ialah tempat kedudukan titik-titik (himpunan titik-titik), sehingga perbandingan jarak dari = titik ini ke titik tertentu (fokus) dengan jarak ke garis tertentu (direktriks) adalah tetap sama dengan e dan e > 1 (e = eksentrisitas). Misalkan ditentukan direktriks d1 dan fokus F1 yang berjarak 3 satuan ke d1. Kita lukis hiperbola dengan eksentrisitas e = 2 Catatan Jika direktriks d2 disebelah kiri V2 yang berjarak satu satuan dan fokus F2 pada garis F1T1 dengan maka akan menghasilkan hiperbola yang sama. Jadi tiap hiperbola memiliki dua fokus dan dua direktriks

7. Tali busur fokus ialah tali busur yang melalui 8. Tali busur fokus yang tegak lurus sumbu nyata disebut latus rectum 9. Segmen penghubung fokus dengan titik pada hiperbola disebut jari-jari fokus 10. Terdapat hubungan b2 = c2 - a (lihat segitiga siku-siku OT2V2) Persamaan Sederhana Hiperbola Istilah-istilah Pada Hiperbola 1. F1 dan F2 disebut fokus 2. d1 dan d2 adalah direktriks. Jika p pada hiperbola maka Misalkan diketahui 0(0, 0) adalah pusat hiperbola. sumbu x sebagai sumbu nyata sumbu y sebagai sumbu imaginer. Fokus F1 (C, 0), 2a adalah ukuran sumbu nyata 2b ukuran sumbu imaginer dan e adalah eksentrisitas hiperbola Kita akan mencari persamaan hiperbola dengan keterangan-keterangan tersebut di atas. 3. e adalah eksentrisitas dengan e > 1 4. V1 dan V2 adalah puncak hiperbola 5. o titik tengah segmen F1F2 adalah titik pusat hiperbola, dengan |OF1| = |OF2| = C 6. Garis simetri (sumbu simetri) yang memuat fokus dan puncak disebut sumbu nyata atau sumbu utama (garis F1F2). jarak antara kedua puncaknya yaitu |V1 V2| = 2a disebut ukuran sumbu utama (|OV1| = |OV2| = a)

|OF1| = c dan |oV1| = a (a < c) Hubungan antara a, b, c dan e kita cari sebagai berikut: OV1T1 segitiga siku-siku di V1, maka |T1V1|2 = |OT1|2 - |OV1|2  b2 = c2 - a2  b2 = a (e2 - 1) Misalkan titik P(x, y) pada hiperbola dan (PP') adalah jarak P ke direktriks d1, tentu P'( , y). Sehingga: |OF1| = c dan |oV1| = a (a < c) V1 (a, 0) dan V2 (-a, 0)_pada hiperbola. sehingga ………. (1)  , y). Sehingga:  ……….. 2) Dan (1) dan (2) kita peroleh C = ae dan |OD| = = Jadi F1 (c, 0) = F1(ae, 0) dan direktriks d1 memiliki persamaan x =

- ASYMTOOT HIPERBOLA |F1F2| = 2c |v1v2| = 2a |P1F2| = r |P1F2| = r + 2a 1. Titik pusat o (0, 0) 2. Fokus F1 (c, 0) dan F2 (-c, 0). Dengan c2 = a2 + b2 3. Eksentrisitas dengan c > a ASYMTOOT HIPERBOLA dan d2 : x = - 4. Direktirks d1 x = 5. Sumbu x sebagai sumbu nyata dan sumbu y sebagai sumbu imaginar. Ukuran sumbu nyata adalah 2a dan ukuran sumbu imaginer adalah 2b. 6. Puncak v1 (a, 0) dan v2 (-a, 0) 7. Latus rectum x = c dan x = -c. Bagaimanakah koordinat titik ujung latus rectum? Jika Fokus F1 (0, c) dan F2 (0, -c) direktriks d1 : y = e dan d2 y = - maka persamaannya adalah: - = 1

- Jarak P ke garis bx - ay = 0 adalah Karena P(x. y) pada hiperbola, maka = 1 atau b2x2P - a2b2, sehingga: Jika P(xy, y) bergerak menuju tak hingga, berarti xp dan yy menuju tak hingga dan |bxp + ayp| juga menuju tak berhingga. Jadi limit jarak d jika P bergerak menuju tak berhingga adalah Dengan arti lain garis bx - ay = 0 dan hiperbola - = 1 bersinggungan di titik tak hingga.

RANGKUMAN Hiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik. sehingga perbandingan j arak dari titik ini ke titik tertentu (fokus) dengan jarak ke garis tertentu (direktriks) adalah tetap sama dengan e dan e > 1 (e = eksentrisitas). Atau hiperbola dapat pula didef inisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu (fokus-fokusnya) adalah tetap sama dengan ukuran sumbu nyata. 2. Hiperbola dengan persamaan sederhananya - = 1, memiliki sifat Pusat o (0, 0), dengan c > a , Fokus F1 (c, 0) dan F2(-c, 0), Terdapat hubungan c2 = a2 + b2, Eksentrisitas Direktriks d1 : x = dan d2 : x = - Sumbu x sebagai sumbu nyata dengan ukuran 2a dan sumbu y sebagai sumbu imagines dengan ukuran 2b., Puncak v1 (a, 0) dan v2 (-a, 0), Latus rectum x = c dan x = -c , Asimtot bx + ay = 0 dan bx - ay = 0

adalah dua hiperbola sekawan, meniliki asimtot yang sama yakni y =  RANGKUMAN 2 1. Hiperbola dan hiperbola adalah dua hiperbola sekawan, meniliki asimtot yang sama yakni y =  x 2.  x2 - y2 = a2 adalah persamaan hiperbola samasisi (a = b) dengan asimtot y =  x yang berpotongan saling tegak lurus. Hiperbola ortogonal ialah hiperbola yang asimtot-­asimtotnya berpotongan tegak lurus. 3. Persamaan Ax2 + By2 + C = 0 dengan A dan B berlawanan tanda mengatakan persamaan hiperbola dan Jika c  0, maka hiperbola benar, Jika c = 0, maka hiperbola tak benar,Jika A = -B, maka hiperbola sama sisi 4. Persamaan parameter hiperbola Adalah { x = a sec  y = b tg , dengan  parameter 5. Persamaan garis singgung dengan gradien s terhadap hiperbola adalah y = sx  6. Persamaan garis singgung di titik (xl, yl) pada hiperbola adalah

GEOMETRI RUANG

PENDAHULUAN Dalam Matematika, khususnya Geometri yang kita pelajari, hanya dipelajari bangun bangun baku saja, misalnya segitiga, trapesium, balok, tabung, kerucut, bola dan sebagainya. Dalam Matematika bangun-bangun Geometri merupakan benda-benda pikiran yang memiliki bentuk dan ukuran yang serba sempurna. Sebaliknya dalam kehidupan sehari hari atau di alam terbuka yang kita jumpai adalah benda-benda nyata, yang bentuknya tidak sempurna Geometri merupakan bagian dari Matematika yang sangat banyak kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari. Bangun persegi panjang merupakan bangun yang paling banyak terlibat dalam kehidupan manusia. Dewasa ini bentuk-bentuk segitiga sama sisi, segilima beraturan dan segienam beraturan banyak digunakan dalam bidang arsitektur dan industri. salah satu kewajiban dari para guru Matematika di Sekolah Menengah Umum maupun Kejuruan untuk membantu para siswanya agar sejauh mungkin dapat memanfaatkan bangun-bangun Geometri sebagai salah satu sumber acuan dalam mengembangkan teknologi pada bidangnya masing-masing.

GAMBAR BANGUN RUANG Cara Perspektif

Cara Stereometris. Bidang Gambar Yaitu bidang tempat gambar, yaitu permukaan papan tulis atau permukaan kertas Cara Stereometris. Bidang Frontal Ialah bidang tempat gambar atau setiap bidang yang sejajar dengan bidang gambar. Garis Frontal Yaitu setiap garis atau ruas yang terletak pada bidang frontal. Diantaranya garis-garis frontal yang penting adalah garis vertikal Garis Ortogonal Yaitu setiap garis yang letaknya tegak lurus pada bidang frontal, pada gambar 2.2, misalnya AD,BC,FG. Sudut surut atau sudut simpang atau sudut menyisi Yaitu sudut dalam gambar antara sinar garis frontal horizontal arah ke kanan dan sinar garis Orthogonal arah belakang. Misalnya pada gambar  BAD  FEH; sudut-sudut itu ukuran sebenarnya 900. Gambar 2.2. Gambar stereometris kubus ABCDEFGH Perbandingan proyeksi atau perbandingan Orthogonal Yaitu perbandingan antara panjang ruas garis orthogonal dalam gambar dengan panjang sebenarnya dari ruas garis itu.

RELASI ANTARA UNSUR-UNSUR RUANG Relasi titik dan garis Relasi titik dan bidang Sebuah titik dapat terletak di luar atau pada sebuah garis Sebuah titik dapat terletak di luar atau pada sebuah bidang Relasi garis dan bidang berpotongan sejajar terletak

Relasi dua buah bidang Relasi dua buah garis Bersilangan berpotongan sejajar Sejajar

GARIS TEGAK LURUS BIDANG PROYEKSI TITIK DAN GARIS PADA BIDANG H disebut bidang proyeksi A disebut titik yang diproyeksikan A1disebut proyeksi titik A pada bidang H Jadi jika garis g tegak lurus pada bidang K dan garis-garis a,b,c dan d masing-masing terletak pada bidang K, maka g  a, g  b, g  c dan g  d. disebut garis pemroyeksi

Proyeksi sebuah garis pada sebuah bidang JARAK Jarak antara titik P dan garis g adalah panjang ruas garis penghubung P dengan proyeksi P pada garis g. Jarak antara titik P pada bidang K Jarak antara titik P dan Q adalah panjang ruas garis .

Gambar 5.3.

Dua cara atau langkah untuk menentukan jarak antara dua garis a dan b yang s bersilangan. Cara I Membuat garis b1 sejajar b yang memotong garis a. Membuat bidang H yang melalui a dan b1; bidang H letaknya sejajar dengan garis b (mengapa ?). Memproyeksikan garis b pada bidang H, menghasilkan garis b2 yang letaknya sejajar dengan b1 dan memotong garis a di titik A. Melalui titik A dibuat garis g tegak lurus pada bidang H yang akan memotong garis b di titik B. Ruas garis Cara II Membuat sebuah bidang yang memotong tegak lurus garis b dititik P, namakan bidang H. memproyeksikan garis a pada bidang H yang menghasilkan garis a,. melalui titik P pada bidang H dibuat garis yang memotong tegak lurus garis a1 dititik Q. melalui titik Q dibuat garis k tegak lurus bidang H, yang memotong garis a dititik A. melalui titik A dibuat garis 1 sejajar garis , yang akan memotong garis b dititik B. 6. Ruas garis AB adalah ruas garis yang memotong tegak lurus garis -garis a dan b, jadi AB adalah jarak antara dua garis bersilangan a dan b. merupakan ruas garis yang memotong tegak lurus a dan b; jadi adalah jarak antara garis a dan garis b yang bersilangan. Gambar 5.4

SUDUT DALAM RUANG Sudut antara dua buah garis yang bersilangan Sudut antara garis dan bidang Gambar 6.2

Sudut antara dua buah bidang Gambar 6.4

PRISMA Prisma Tegak Prisma tegak beraturan Gambar 7.1 Definisi : Prisma adalah bidang banyak yang dibatasi oleh dua bidang sejajar dan beberapa buah bidang lain yang dua-dua saling berpotongan menurut garis-garis yang sejajar. Bidang-bidang sejajar itu kemudian membentuk dua buah daerah segi banyak yang kongruen yang dinamakan masing-masing bidang alas dan bidang atas. Garis-garis sejajar itu disebut rusuk tegak; dan pada umumnya rusuk tegak tidak tegak lurus pada bidang alas. Bidang batas yang selain bidang alas dan bidang atas disebut bidang sisi tegak; yang pada umumnya berupa daerah jajargenjang. Jarak antara bidang alas dan bidang atas disebut tinggi prisma Prisma tegak beraturan Prisma Tegak Gambar 7.1

Paralelepipedum Prisma terpancung

Simetri cermin Simetri Putar

Volum Prisma V = L alas  t Jika ABCD EFGH prisma sembarang, maka V = Luas ABCD  , V = L alas  t Jika ABC DEF prisma bersisi tiga biasa atau terpancung, maka: V = Luas PQR  ⅓ (AD + BE + CF) V = L irisan siku-siku  ⅓ jumlah panjang rusuk-rusuk tegak.

Jika PQRS TUVW sebuah prisma sembarang, dengan KLMN sebagai salah satu irisan siku-sikunya, maka V = Luas KLMN  PT V = L irisan siku-siku  panjang sebuah rusuk tegak. LIMAS

Limas Terpancung Ruas garis yang menghubungkan sebuah titik sudut dan titik berat sisi didepannya disebut Garis berat bidang empat

Jika dalam sebuah bidang empat setiap dua rusuk yang berhadapan saling menyilang tegak lurus maka bidang empat itu disebut bidang empat orthogonal. Bidang yang melalui sebuah rusuk dan pertengahan rusuk didepannya disebut bidang berat. Ruas garis yang menghubungkan pertengahan dua rusuk yang berhadapan disebut bimedian dari bidang empat

Simetri pada Limas Volum limas T.ABCD = ⅓ Luas ABCD  TT1 Luas Permukaan Limas Dengan memperhatikan fakta-fakta keruangan pada limas, dapat kita tentukan luas permukaan limas yang telah diketahui ukurannya. Di bawah ini sifat-sifat yang dapat dibuktikan kebenarannya: 1. Luas seluruh sisi tegak sebuah limas beraturan sama dengan setengah hasilkali apotema dan keliling bidang alas. 2. Luas seluruh sisi tegak sebuah limas beraturan terpancung sama dengan setengah hasil kali apotema dengan jumlah keliling bidang alas dan bidang atasnya. Simetri pada Limas Volum limas T.ABCD = ⅓ Luas ABCD  TT1 = ⅓ Luas ABCD  Tingg V limas = ⅓ Luas ABCD  Tinggi Simetri cermin dengan 4 buah bidang simetri. (tunjukkan mana saja bidang simetrinya). Simetri putar tingkat-4 dengan sebuah sumbu simetri. (Terangkan manakah sumbu simetrinya).

DAFTAR PUSTAKA Alders C.J. 1954. Ilmu Ukur Ruang Jakarta : Noordhoff - Kolff N.V. A. Van Thijn 1954.Soal - soal Ilmu Ukur Ruang Jakarta : J.B Wolters. Depdikbud 1994. Matematika untuk SMU Jakarta : Balai Pustaka. 1981 Petunjuk Pembuatan Alat Peraga/Praktek Matematika Jakarta : Direktorat Sarana Pendidikan. Djoko Iswadji 1988.Geometri Ruang Yogyakarta : FMIPA IKIP Yogyakarta. Sumarno 1950.I1mu Ukur Ruang Jakarta : Prapanca. Jakarta : Direktorat Sarana Pendidikan. Tim Instruktur PKG Matematika SMU 1987. Dimensi Tiga Yogyakarta PPPG Matematika. Travers, K. J . 1987. Laidlaw Geometry Illinois : Laidlaw Brothers Publisher. Wirasto. 1967.Penuntun Ilmu Ukur Ruang Yogyakarta : IKIP Yogyakarta.

Jika dalam sebuah limas terpancung. Luas bidang atas = a satuan luas Luas bidang alas = b satuan luas Dan tinggi = t satuan panjang. Dengan satuan-satuan panjang dan luas yang bersesuaian maka: V limas terpancung =

IRISAN BIDANG DAN BANGUN RUANG Dalil 1: Melalui tiga titik yang tidak segaris ada tepat sebuah bidang. Dalil 2: Melalui sebuah garis dan sebuah titik diluamya ada tepat sebuah bidang . Dalil 3: Melalui dua garis yang berpotongan ada tepat sebuah bidang Dalil 4: Melalui dua garis sejajar ada tepat sebuah bidang Dalil 5:Empat buah titik belum tentu terletak pada sebuah bidang. Dalil 6a:Jika tiga bidang dua-dua berpotongan sehingga menghasilkan tiga garis perpotongan dan jika dua diantara tiga garis itu berpotongan dititik T, maka garis perpotongan yang ketiga juga melalui titik T (Gambar 9.1.a) Aksioma 1: Melalui dua titik yang berlainan ada tepat satu garis. Aksioma 2: Melalui tiga buah titik paling sedikit dapat dibuat sebuah bidang. Aksioma 3: Jika dua titik dari sebuah garis terletak pada sebuah bidang, pasti seluruh garis itu terletak pada bidang tersebut. (hanya berlaku untuk bidang datar ). Aksioma 4: Jika dua bidang bersekutu. sebuah titik, pasti kedua bidang itu bersekutu pada sebuah garis yang melalui titik itu.

Melukis sembarang bidang L melalui garis g. Menentukan titik potong garis dan bidang Dalil 6b: Jika tiga bidang dua-dua berpotongan sehingga menghasilkan tiga garis perpotongan dan jika dua diantara tiga garis itu sejajar, maka garis perpotongan yang ketiga juga akan sejajar dengan kedua garis perpotongan yang pertama. (gambar 9.1 b ). Akibat Dalil 6b: Jika melalui dua garis sejajar masing-masing dibuat dua buah bidang yang saling berpotongan, maka garis perpotongannya pasti sejajar dengan kedua garis yang pertama. Melukis sembarang bidang L melalui garis g. Melukis garis potong antara bidang K dan L, yaitu garis (K, L). Titik potong garis g dan bidang K adalah titik potong antara garis g dan garis (K, L).

Dalil 7: Jika sebuah bidang memotong dua buah bidang yang sejajar, maka kedua garis potongnya sejajar. (Gambar 9.3) Menentukan garis potong dua bidang Gambar 9.3 TABUNG Ada beberapa definisi untuk bidang tabung ; a.1: 1. Bidang tabung adalah himpunan semua garis p yang sejajar dengan sebuah garis s dan mempunyai jarak tetap r terhadap s. (Dalam hubungan ini s disebut sumbu bidang tabung, p disebut garis pelukis dan r jari-jari bidang tabung) 2. Bidang tabung adalah himpunan semua titik P yang mempunyai jarak tetap r terhadap sebuah garis s.

Bidang Singgung pada bidang tabung

KERUCUT Ada beberapa definisi untuk bidang kerucut dan kita dapat memperhatikan salah satu, yaitu: Bidang kerucut adalah himpunan semua garis yang memotong sebuah garis s disebelah titik P dan yang membentuk sudut a dengan garis s. Dengan demikian jika r jari-jari tabung dan t adalah tinggi tabung maka Luas bidang lengkung tabung: L = 2 t Luas seluruh bidang sisi tabung:L = 2 +2 r 2 = 2 r(r + t)

Bidang Singgung pada Bidang Kerucut Kerucut Terpancung Bidang yang sejajar itu memotong bidang kerucut menurut sebuah lingkaran, yang selanjutnya disebut bidang atas kerucut terpancung; sedang jarak antara bidang alas dan bidang atas disebut tinggi (t) kerucut terpancung. Pada gambar bidang W adalah bidang singgung pada bidang kerucut; bidang W dan bidang kerucut bersekutu pada sebuah garis pelukis, yaitu garis pelukis p yang melalui titik P dan Q.

Luas selimut-kerucut V kerucut = ⅓ Luas alas  tinggi = ½  r2 t Pada jaring juring kerucut ini kita dapatkan bahwa Panjang busur pada juring sama dengan keliling daerah lingkaran alasnya. Luas daerah juring sama dengan hasil perbanyakan panjang busur pada juring dan setengah apotema (mengapa ?) Jika A adalah panjang apotema dan r panjang jari-jari bidang alas kerucut, maka Luas selimut kerucut = ½.2 r.A=  r.A Luas seluruh bidang sisi kerucut =  r.A +  r2 =  r(A + r) Jika β adalah sudut pusat juring pada jaring jarng kerucut itu maka Yang jika: Rl menyatakan panjang jari-jari bidang alas kerucut terpancung R2menyatakan panjang jari-jari bidang atas kerucut terpancung Tmenyatakan tinggi Maka: V limas terpancung = ⅓ t (a + b + Atau : V kerucut terpancung = Jadi β =  3600

BOLA Letak sebuah bidang pada bola Sedang jika jarak dari pusat bola ke bidang H lebih besar dari jari-jari bola, maka dikatakan bahwa bidang H tidak memotong bola atau bola dan bidang itu tidak berpotongan 1. Garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan, yang berati garis g menembus bola di dua buah titik. 2. Garis g menyinggung lingkaran, yang berarti garis g dengan bola mempunyai tepat sebuah titik persekutuan. Dalam kedudukan seperti ini g disebut garis singgung pada bola itu. 3. Garis g tidak memotong lingkaran, yang berarti garis g tidak memotong bola dan dikatakan garis g ada di luar bola. Letak sebuah bidang pada bola Jika jarak (d) antara pusat bola dan bidang H sama dengan jari-jari bola, maka bidang H dan bola (M,r) bersekutu tepat sebuah titik. Dalam keadaan demikian dikatakan bahwa bidang H dan bola (M,r) bersinggungan, misalnya dititik P dan dikatakan juga bahwa bidang H menyinggung bola (M, r) dititik

d < r1 +r2; kedua bola tidak saling memotong; bola yang satu berada diluar bola yang lain. d = r1 + r2; kedua bola saling bersinggungan diluar dan mempunyai sebuah titik persekutuan c) r2 – r1 < d < r2 + r1; kedua bola saling memotong menurut sebuah lingkaran d) d = r2 – rl; kedua bola saling bersinggungan didalam. e) d < r2 – r1; bola yang satu terletak didalam bola yang lain. f) d = 0; kedua bola sepusat (concentris).

Keratan Bola, adalah bagian dari bola yang dibatasi oleh dua bidang sejajar. Bidang bidang sejajar tadi disebut bidang alas dan bidang atas; sedang jarak antara kedua bidang itu disebut tinggi dari keratan bola. Juring Bola, adalah benda yang dibatasi oleh sebuah tembereng bola dan kerucut yang mempunyai bidang alas sama dengan tembereng bola dan yang berpuncak pada pusat bola. Tinggi dari juring bola adalah tinggi dari bagian temberengnya Kulit Bola atau Cincin, Bola adalah benda yang dibatasi oleh sebagian bidang bola dan selimut tabung atau selimut kerucut terpancung yang dibuat dalam bola (lingkaran alas dan atas) dari tabung atau kerucut terpancungnya disebut tinggi dari kulit bola tersebut

Jika diameter dari bola disebut d, maka dapat dibuktikan bahwa Dalil: Volum benda yang terjadi karena perputaran sebuah segitiga dengan sumbu perputaran sebuah garis yang melalui sebuah titik sudut dan terletak sebidang dengan segitiga itu tetapi tidak memotong segitiga ditempat lain, sama dengan hasil kali luas bidang yang dihasilkan oleh perputaran sisi segitiga yang terletak dihadapan titik sudut yang dilalui oleh sumbu perputaran dengan sepertiga panjang garis tinggi pada sisi itu. = Jadi jika daerah Δ ABC diputar sekeliling garis s yang melalui titik sudut A, sedang s tidak memotong Δ ABC ditempat lain, maka volum benda hasil perputaran daerah Δ ABC sekeliling garis s adalah L(Δ ABC) = Luas (BC)  ⅓ ta = Jika diameter dari bola disebut d, maka dapat dibuktikan bahwa Volum bola = Volum Juring bola = ⅔  R2 t Vo1um bola=  R3 t  d3

BIDANG BANYAK BERATURAN Jika jari-jari bidang bola, r jari-jari alas tembereng dan t tinggi tembereng, maka dapat dibuktikan bahwa Volum tembereng bola = ½  r2 t+  t 3 atau Volum tembereng bola = ⅓  t 2 (3R – t) Selanjutnya jika rl dan r2 adalah jari-jari bidang alas dan bidang atas buatan boa, sedang t adalah tinggi kuatan bola, maka Volum kuatan bola = ½  r12t + ½  r22t +  t2 Volum kulit bola (ABC) =  k2t BIDANG BANYAK BERATURAN

Definisi: Bidang banyak adalah bangun yang dibatasi oleh bidang-bidang datar yang dua-dua Baling berpotongan Dalil: Pada setiap bidang banyak konveks banyaknya semua sisi ditambah banyaknya semua titik sudut sama dengan banyaknya semua rusuk ditambah dua. Jika S menyatakan banyaknya sisi dan T menyatakan banyaknya titik sudut Serta R menyatakan banyaknya rusuk Maka dalil Euler itu dapat dinyatakan dalam bentuk rumus: S + T = R + 2 Yang selanjutnya dikenal sebagai rumus Euler. Definisi: Bagian ruang yang dibatasi oleh tiga buah bidang datar atau lebih, yang kesemuanya melalui sebuah titik, disebut sudut bidang banyak. Khususnya jika dibatasi oleh tiga bidang, maka disebut sudut bidang tiga.

BENTUK-BENTUK BIDANG BANYAK BERATURAN

TERIMA KASIH