Regresi polinomial TUJUAN Menjelaskan tentang regresi polinomial didasarkan sebaran data dan uji hipotesis

Kita sudah diskusikan ‘Straight Line Model (SLM)’  harus perhatikan sebaran IV dan DV utk melihat kemungkinan SLM kurang ‘ROBUST’. Bila sebaran mirip parabola lakukan polimonial regresion artinya me(+) satu IV yg berasal dr IV yg sudah ada. Tehnik ini dikenal dgn ‘second order polynomial’ yaitu me(+) term X2 setelah ada X. Bila memungkinkan (lihat sebaran) bisa me(+) satu lagi X3 ’high order-term’

Model dasar: Y = b0 + b1X + E dgn me(+) ‘second order polynomial’ didapat Y = b0 + b1X + b2X2 + E  disederhanakan Y = b0 + b1X1 + b2X2 + E  X2 = X12

Least Squares Estimates dr parameter b0, b1, dan b2 di model parabolik dipilih agar diperoleh SS of Deviation yg minimal dr masing2 titik dr grs parabolik Maka model prediksinya adalah

Data Table TEMU 3 (n=30), setelah outlier dibuang  the least squares estimates utk koefisien parabolik: Maka modelnya Sedangkan tanpa second order polinomial atau straight line, modelnya Ada perbedaan estimasi pada b0 & b1 antara kedua model, ini menunjukkan estimasi b2 mempengaruhi estimasi b0 & b1

ANOVA Tabel  data SBP tabel Source df SS MS F X 1 6110.1 68.89 163.30 Regresi X2lX 163.30 1.84 Residual 26 2306.05 88.69 28 8579.54

Dari tabel tersebut muncul pertanyaan Apakah koefisien regresi model keseluruhan (full model) bermakna secara statistik, apakah second order model menjelaskan keragaman (variation); Apakah second order model memberikan prediksi yg lebih kuat/baik dibanding hanya model garis lurus Apakah kita harus me(+) higher order term (X3 atau X4 dst)

Uji hipotesis Untuk menentukan tingkat kemaknaan Null Hipothesis ‘tidak ada kemaknaan seluruh koefisien regresi (b1 = b2 = 0), prosedur pengujian hipotesis adalah menggunakan uji F yaitu:

Untuk mendapatkan ukuran kuantitatif besaran ‘second order model’ untuk memprediksi DV, kita menggunakan

Uji penambahan X2 dalam model Untuk menjawab pertanyaan itu, kita harus melakukan terlebih dahulu uji parsial F untuk H0: penambahan variabel X2 pada persamaan garis lurus tidak bermakna utk meningkatkan prediksi DV (b2 = 0), ujinya

ANOVA Table memperlihatkan bahwa SS X2lX = 163.30, Maka uji F = 163.3 / 88.69 = 1.84 Karena Uji F1, 29, 0.9 = 2.91  kita gagal menolak H0 pada tingkat (level) a = 0.1 dan disimpulkan bahwa pe(+) term X2 dalam model garis lurus tidak meningkatkan prediksi DV (Y), meskipun ada kenaikan r2 dari 0.712 menjadi 0.731

Dosis (X) 1 2 3 4 5 6 7 8 Kenaikan BB (Y) 1.2 1.8 2.5 3.6 4.7 6.6 9.1 Andaikan kita mempelajari pengaruh dosis obat (X) terhadap kenaikan berat badan tikus (Y), datanya: Dosis (X) 1 2 3 4 5 6 7 8 Kenaikan BB (Y) 1.2 1.8 2.5 3.6 4.7 6.6 9.1 Source df SS MS F Regresi X 1 52.04 260.2 X2lX 4.83 24.15 Residual 5 0.20 Total 7 57.07

Scatter plot Pertambahan Berat Badan dan Dosis

Dari data yang ada dan ANOVA tabel diperoleh: Y = 1.13 – 0.41X + 0.17X2 dan nilai r2 = 0.997 Perhatikan bila dalam model hanya ada X saja. Source df SS MS F Regresi ( X) 1 52.04 61.95 Residual 6 5.03 0.84 Total 7 57.07 Persamaan garis: Y = 1.20 + 1.11X dan nilai r2 = 0.912 Nilai Fhitung = 61.95 > F 1,6,0.975=8.81  H0 ditolak

Kembali ke ANOVA tabel sebelumnya, kita akan uji apakah pe(+)an IV X2 secara bermakna akan memprediksi Y setelah ada IV X didalam model. DPL kita bertanya apakah pe(+)an r2 sebesar 0.085 (0.997 - 0.912) berperan dalam memprediksi DV kita gunakan: F = (ekstra SS karena pe(+)an X2)/MS residual = 4.83/0.04 = 120.75 > F1,5,0.975 = 10.0  disimpulkan pe(+)an IV X2 bermakna meningkatkan prediksi Y. Mungkinkan kita me(+)kan third order atau me(+) X3 dalam model. Perhatikan ANOVA tabel berikut.

Source df SS MS F Regresi X 1 52.04 X2lX 4.83 X3lX, X2 0.14 .14 10.0 Residual 4 0.056 0.014 Total 7 57.066 Nilai F utk pe(+)an DV X3 = 10.0 < F1,4,0.975 = 12.2  H0: b3 = 0 diterima  pe(+) third order (X3) tidak memprediksi Y. Kita berkeseimpulan bahwa a) pe(+)an second order sangat fit dgn nilai r2=0.997, b) pe(+)an nilai r2 menjadi 0.999 pada third order hanya sebesar 0.002  kecil, c) kurva yang ada cukup diterangkan dgn ‘second order’

Perhatikan scatter diagram berikut