Analisis Numerik (S0262) Silabus Pendekatan dan kesalahan Langkah-langkah pekerjaan numerik Akar-akar suatu persamaan Sistim persamaan aljabar linear Integrasi Numerik Persamaan diferensial Numerik Pencocokan kurva Buku Wajib: Chapra, S. C. and Canale, R. P., (1991). Metode Numerik Untuk Teknik (terj: Numerical Methods for Engineers)”, UI- Press, Jakarta.
S0262 Analisis numerik PENDAHULUAN Adalah suatu fakta bahwa banyak kasus-kasus atau gejala fisika yang tidak dapat diselesaikan secara eksak Untuk hal seperti ini metode numerik dapat memberi jawaban. Pekerjaan numerik meliputi langkah-langkah berikut: Pemodelan : memformulasikan pekerjaan menjadi suatu sistim persamaan matematis Pemilihan metode numerik yang sesuai Membuat program Mengeksekusi program Analisa hasil Catatan: Metode Numerik selalu mengandung kalkulasi aritmatika yg sangat menjenuhkan Perlu dibanu dengan komputer.
S0262 Analisis numerik KESALAHAN Dalam solusi secara numerik, hasil yang kita peroleh merupakan hasil pendekatan terbaik yang tidak lepas dari kesalahan, untuk itu nilai benar suatu besaran dapat ditulis sbb: a ã - Et Keterangan : a = nilai benar (pasti) ã = nilai approximasi (yang didapat dari pengukuran,perhitungan) Et = kesalahan total Kesalahan Numerik timbul dari penggunaan pendekatan (approximasi) untuk menyatakan operasi dan besaran matematika yang pasti.
KESALAHAN RELATIF Kesalahan relatif approximasi: S0262 Analisis numerik KESALAHAN RELATIF Penulisan kesalahan dalam bentuk kesalahan relatif kadang-kadang menguntungkan untuk membandingkan kesalahan dengan besaran yang sedang dievaluasi. Kesalahan relatif t=Kesalahan/hargasebenarnya Kesalahan relatif approximasi: a= Kesalahan approximasi/harga approximasi Dalam pendekatan iterasi ( approximasi sekarang berdasarkan approximasi sebelumnya) a= (approximasi sekarang – approximasi sebelumnya)/approximasi sekarang Dalam proses iterasi kadang-kadang proses iterasi akan selesai jika | a|< toleransi (s) =(0,5 x 102-n) % n= angka signifikan
Sumber-Sumber Kesalahan S0262 Analisis numerik Sumber-Sumber Kesalahan percobaan (experimental error) (kesalahan berasal dari percobaan, pengukuran dll) pembulatan ( roundoff error)(akibat pembulatan dalam per-hitungan) pemotongan ( truncation error) (kesalahan akibat penyederhanaan suatu algoritma perhitungan, pemotongan langkah-langkah dalam algoritma) pemrogramman ( programming error)
S0262 Analisis numerik Contoh: Perhatikan deret MacLaurin dibawah ini: Jika suku pertama dianggap sebagai pendekatan pertama, 2 suku pertama sebagai pendekatan kedua dst terhadap ex, berapa suku yang harus diikutkan supaya kesalahan relatif | a|< s dimana sekurang-kurangnya 3 angka signifikan. Dan Jika e0,5= 1,648721271, carilah kesalahan sebenarnya. Jawab: s =(0,5 x 102-3)%= 0,05 %
Contoh: e0,5= 1,648721271 Jawab: s =(0,5 x 102-3)%= 0,05 % S0262 Analisis numerik Contoh: e0,5= 1,648721271 Jawab: s =(0,5 x 102-3)%= 0,05 % Jadi minimal 6 suku pertama yang digunakan. Kolom 2: Harga deret untuk x= 0,5, Kolom 3= (Kolom 2)/1,648721271. Suku ke- Hasil t % a % 1. 1 39,3 2 1,5 9,02 33,3 3 1,625 1,44 7,69 4 1,645833333 0,175 1,27 5 1,648437500 0,0172 0,158 6 1,648697917 0,00142 0,0158
1. Titik-tetap ( fixed- point system) S0262 Analisis numerik CARA PENULISAN BILANGAN BERHINGGA 1. Titik-tetap ( fixed- point system) ( jumlah decimal ditentukan) Contoh: 62,358; 0,013; dan 1,000. 2. Titik- mengambang ( floating- point system) dituliskan berdasarkan angka signifikan tertentu Contoh: 0,6238 * 103; 1,7130 * 10-13; 2000 * 104 ANGKA SIGNIFIKAN Semua digit yang digunakan kecuali angka nol sebelah kiri angka bukan nol pertama yang menyatakan decimal 4 digit angka signifikan 1,360 ; 1360 ; 0,001360
S0262 Analisis numerik Kaidah Pembulatan Pada pembulatan, digit yang tidak termasuk dalam angka sinifikan dibuang. Digit terakhir yang disimpan dinaikkan ke atas jika digit pertama yang dibuang≥5. Bila digit pertama yang dibuang=5 dan digit terakhir yang disimpan adalah ganjil maka digit terahir yang disimpan dinaikkan ke atas. Pembulatan hasil akhir dari penjumlahan dan pengurangan harus sesuai dengan angka yang paling sihnifikan dari bilangan yang sedang dioperasikan. Pembulatan hasil akhir perkalian atau pembagian harus sedemikian sehingga jumlah angka signifikan yang disimpan setara dengan jumlah angka signifikan terkecil dari besaran yang dioperasikan.
Kaidah Pembulatan Contoh: Pembulatan S0262 Analisis numerik Kaidah Pembulatan Contoh: Pembulatan 5,6723 5,67 (3 angka signifikan) 10,406 10,41 (4 angka signifikan) 7,3500 7,4 (2 angka signifikan) 88,21650 88,216 (5 angka signifikan) 1,25001 1,2 (2 angka signifikan) Penambahan/Pengurangan Evaluasikan: 2,2 – 1,768 2,2-1,768= 0,432 0,4 4,68 x 10-7+8,3x10-4-228x10-6= ….? ……. (6,0x10-4) Perkalian/Pembagian 0,0642x 4,8= 0,30816 31 945/0,3185= 2967,0329672970