Matematika Ekonomi PENGOPTIMUMAN BERKENDALA PERSAMAAN

Presentasi berjudul: "Matematika Ekonomi PENGOPTIMUMAN BERKENDALA PERSAMAAN"— Transcript presentasi:

1 Matematika Ekonomi PENGOPTIMUMAN BERKENDALA PERSAMAAN
Toni Bakhtiar Institut pertanian bogor 2012

2 Pengaruh Kendala Misalkan diberikan fungsi utilitas dengan 2 komoditas: Turunan parsial U terhadap x dan y berturut-turut ialah: Turunan-turunan parsial positif menunjukkan bahwa utilitas yang tinggi diperoleh dengan mengonsumsi lebih banyak barang (tidak ada utilitas maksimum). Apa yang terjadi jika ada kendala anggaran (budget constraint)?

3 Pengaruh Kendala Dari kendala diperoleh: y = 30 – 2x.
Substitusikan ke dalam fungsi utilitas diperoleh: Fungsi utilitas berubah menjadi fungsi variabel tunggal sehingga pengoptimumannya dapat dilakukan dengan cara biasa. Diperoleh titik stasioner: x = 8. Karena U’’(x) = 4 < 0 maka x* = 8 dan y* = 14 memaksimumkan utilitas (berkendala). Diperoleh U* = 128.

4 Pengaruh Kendala

5 Pengaruh Kendala

6 Metode Lagrange Masalah pengoptimuman: Definisikan fungsi Lagrange:
Syarat orde-1: Parameter  disebut sebagai pengganda Lagrange (Lagrange multiplier).

7 Metode Lagrange Dari contoh sebelumnya diperoleh fungsi Lagrange:
Syarat orde-1: Dalam bentuk SPL: Diperoleh solusi: x = 8, y = 14,  = 4.

8 Terapan Ekonomi Masalah:

9 Terapan Ekonomi Alokasi Tanah: Seorang petani memiliki 100 ha tanah yang akan ditanami dua jenis tanaman, masing-masing seluas L1 dan L2. Hasil panen dijual di pasar bersaing dan masing-masing memberikan net-profit sebesar $10/unit dan $8/unit. Tentukan alokasi tanah yang memaksimumkan keuntungan jika fungsi produksi diberikan oleh: Masalah:

10 Terapan Ekonomi Alokasi Waktu: Seorang mahasiswa memiliki waktu belajar 60 jam/minggu untuk dua mata kuliah. Dia ingin menggunakan waktu belajar tersebut sedemikian sehingga nilai rata-rata kedua mata kuliah tersebut mencapai maksimum. Misalkan nilai yang diharapkan berdasarkan lamanya belajar diberikan oleh: Masalah

11 Syarat Orde-2 Masalah: max/min z = f(x,y) s.t. g(x,y) = 0.
Fungsi Lagrange: F = f(x,y) + g(x,y). Definisikan matriks Hess berbatas (bordered Hessian matrix): Teorema:

12 Syarat Orde-2 Kasus multivariabel:
Masalah: max/min Z = f(x1,…,xn) s.t. g(x1,…,xn) = 0. Fungsi Lagrange: F = f(x1,…,xn) + g(x1,…,xn). Matriks Hess berbatas:

13 Syarat Orde-2

14 Syarat Orde-2 Kasus multikendala Fungsi objektif: Fungsi kendala:
Fungsi lagrange: Matriks Hess berbatas:

15 Syarat Orde-2

16 𝑑 𝑍 ∗ 𝑑𝑐 = 𝜆 ∗ . Lagrange Multiplier
Lagrange multiplier  berfungsi untuk mengukur sensitivitas fungsi objektif Z* terhadap perubahan fungsi kendala. Fungsi objektif: Fungsi kendala: Fungsi lagrange: Berlaku: 𝑑 𝑍 ∗ 𝑑𝑐 = 𝜆 ∗ .

17 Fungsi Homogen Suatu fungsi f dikatakan homogen dengan derajat r jika perkalian setiap variavel bebasnya dengan konstanta j akan mengakibatkan

18 Sifat Homogenitas Fungsi Produksi
Diberikan fungsi produksi: Q = f(K,L)

19 Soal Latihan