PERTEMUAN 5 1. MATRIKS 2. METODE ELIMINASI GAUSS 3. METODE ITERASI GAUSS SEIDEL 4. METODE DEKOMPOSISI LU.

Presentasi berjudul: "PERTEMUAN 5 1. MATRIKS 2. METODE ELIMINASI GAUSS 3. METODE ITERASI GAUSS SEIDEL 4. METODE DEKOMPOSISI LU."— Transcript presentasi:

1 PERTEMUAN 5 1. MATRIKS 2. METODE ELIMINASI GAUSS 3. METODE ITERASI GAUSS SEIDEL 4. METODE DEKOMPOSISI LU

2 MATRIKS Definisi Matriks
Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom.

3 Notasi Matriks A = -- a11 a12 …. a1n a21 a22 …. a2n . am1 am2 …. amn

4 Ukuran Matrik atau Ordo Matrik A adalah
m x n dimana : m = banyak baris n = banyak kolom Elemen matrik aij artinya elemen baris ke-I dan kolom ke-j pada matrik A

5 Jenis-jenis matriks 1.Vektor adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris dan satu kolom - jika matriks [A] hanya mempunyai satu baris maka disebut vektor baris 2.Matriks bujur sangkar bila ordo A adalah m x n dimana m = n 3. Matriks Nol adalah matriks yang elemen elemennya nol 4. Matriks diagonal adalah matriks yang hanya elemen- elemen diagonal tidak sama dengan nol 5. Matriks Identitas adalah bentuk khusus dari matriks diagonal dimana elemen-elemen diagonalnya sama dengan nol

6 6. Matriks segitiga adalah suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks segitiga jika elemenelemen yang ada di bawah atau di atas diagonal utamanya (salah satu, tidak kedua-duanya) bernilai nol. Jika elemen-elemen yangada di bawah diagonal utama bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika elemen-elemen yang ada di atas diagonal utamanya bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga bawah.

7 Penambahan matriks Sesuatu matriks boleh ditambah jika kedua matriks mempunyai susunan yang sama.Begitu juga dengan pengurangan matriks,

8 Contoh 1 penambahan matriks:

9 Contoh 2 Pengurangan Matriks

10 Perkalian Skalar k A = ka11 ka12 …. ka1n ka21 ka22 …. ka2n .
kam1 kam2 …. kamn

11 Contoh 3 perkalian skalar

12 Perkalian matriks dengan matriks
Dua buah matriks A(m x n) dan B(n x k) dapat dikalikan apabila memenuhi syarat: Jika dan hanya jika jumlah kolom matrik A sama dengan jumlah baris matriks B Ordo matriks hasil perkalian A dan B adalah ( m x k )

13 Contoh 4 perkalian matriks dengan matriks

14 Contoh 4

15 Determinan Matriks Jika suatu matriks adalah matriks bujur sangkar maka mempunyai nilai determinannya Determinan matriks A di dinotasikan dengan | A | Cara menghitung determinan tergantung ordo matriks tersebut

16 Determinan matriks ordo 2 x 2
det.A = |A| = a11a22 - a21a12 a a12 a a22

17 Determinan matriks ordo 3 x 3
a a a13 a a a23 a a a33

18 Determinan matrik A ( 3 x 3 ) dihitung menggunakan metode SARRUS:
| A | = a11 a22a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32 - a31 a22a13 - a32 a23a11 - a33 a21a12

19 Contoh 5 determinan Matriks 2x2

20 Contoh 5 Matriks 3x3

21 Matriks Invers Sebuah matriks A dikatakan mempunyai invers apabila matriks A adalah matriks Non singular, yaitu matriks bujur sangkar yang determinannya tidak sama dengan nol, ditulis dengan A- 1 sehingga berlaku: A-1 A = A A-1 = I dimana I adalah matriks identitas

22 Menentukan matriks invers
Menggunakan metode Adjoin: A- 1 = Adjoin A Det. A

23 Adjoin A adalah transpose dari matrik kofaktor-kofaktor dari matrik A
. A1n ... An1 An2 Ann

24 Ai j adalah kofaktor dari elemen ai j dimana :
Ai j = ( - 1 )i+ j | Mi j | Mi j adalah submatrik dari A yang diperoleh dengan jalan menghilangkan baris ke – i dan kolom ke – j pada A

25 Contoh 6 Matriks invers

26 Contoh 6

27 Contoh 7: KESAMAAN MATRIKS
Dua matriks adalah sama jika mempunyai susunan yang sama dan unsur sepadan yang sama. Contoh 7:

28 Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas matrik diubah menjadi augmented matrik :

29 Metode Eliminasi Gauss
ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).

30 Metode Eliminasi Gauss
Sehingga penyelesaian dapat diperoleh dengan:

31 Contoh 1: Selesaikan sistem persamaan berikut:
Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :

32 Contoh 1 : Lakukan operasi baris elementer

33 Contoh 1: Penyelesaian :

34 Algoritma Eliminasi Gauss

35 Algoritma Eliminasi Gauss

36 Metode Iterasi Gauss-Seidel
Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai- nilai yang berubah. Bila diketahui persamaan linier simultan

37 Metode Iterasi Gauss-Seidel
Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n) kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi:

38 Metode Iterasi Gauss-Seidel
Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut. Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan. Untuk mengecek kekonvergenan

39 Contoh 1: Jawab :

40 Contoh 1 Nilai iterasi ke-7 sudah tidak berbeda jauh
dengan nilai iterasi ke-6 Maka proses dihentikan dan diperoleh penyelesaian:

41 Algoritma Eliminasi Gauss Seidell

42 Alogoritma Eliminasi Gauss Seidell

43 Metode Dekomposisi LU Jika matriks A non singular ( matriks yang mempunyai invers ), maka ia dapat difaktorkan ( diuraikan atau dikekomposisi ) menjadi matriks segitiga bawah, L (Lower) dan matriks segitiga atas, U (Upper) dengan cara melakukan sejumlah transformasi elementer pada baris seperti contoh sebelumnya, A = LU.

44 Perubahan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut
Transf.elementer pada baris U L

45 Pada matriks segitiga bawah, L, semua elemen diagonal utamanya berharga 1, sedangkan pada matriks segitiga atas, U tidak ada aturan khusus pada elemen diagonal utamanya. Setelah pemfaktoran matriks A menjadi matriks L dan matriks U, maka kedua matriks tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier AX = B, yaitu sebagai berikut. Tinjau SPL AX = B, kemudian faktorkan A menjadi L dan U, sehingga A = LU, sehingga LUX = B. Misalkan UX = y, maka Ly = B. Untuk memperoleh , kita gunakan teknik substitusi maju ( forward substitution ), sbb,

46 Dan untuk memperoleh solusi SPL, , kita gunakan teknik substitusi mundur ( back substitution ) sbb,

47 Contoh 1 Tentukan X1,X2,X3 dan X4 dari sistem persamaan linier di bawah ini dengan metode dekomposisi LU

48 CONTOH 1

49 CONTOH 1

50 CONTOH 1

51 CONTOH 1

52 Algoritma Metode Dekomposisi LU
1. Mendapatkan matriks [L] dan [U]. 2. Menyelesaikan [L]{z} = (b). 3. Menyelesaikan [U]{x} = {z}

53 Soal : 1. Selesaikan persamaan berikut dengan metode Eliminasi Gauss

54 Soal : 2. Selesaikan persamaan berikut dengan metode Eliminasi Gauss Seidell

55 Soal : 3. Selesaikan matriks berikut dengan metode Dekomposisi LU