Pertemuan 2 Alin 2016 Bilqis Determinan, Cramer bilqis.

Presentasi berjudul: "Pertemuan 2 Alin 2016 Bilqis Determinan, Cramer bilqis."— Transcript presentasi:

1 Pertemuan 2 Alin Bilqis Determinan, Cramer bilqis

2 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Mengerti tentang matrix Dapat menghitung determinan Dapat menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan menggunakan determinan bilqis

3 Determinan Cara mencari determinan 3 x 3  cara biasa 4 x 4 
Segitiga atas Gauss kofaktor bilqis

4 Invers Cara mencari invers Kofaktor OBE Pseudo-inverse Determinan
bilqis

5 Sistem Persamaan Linier
Cara mencari nilai x,y,z dari SPL Cara SMA Gauss Gauss-jourdan Determinan Invers bilqis

6 Det(B) = (45+84+96) – (105+(-48)+(-72)) = 240
Fungsi Determinan  contoh:  A = Det(A) = 3(-2) – 1.4 = -10 B =  Det(B) = ( ) – (105+(-48)+(-72)) = 240 Untuk matrik yang lebih besar dari 3 x 3 tidak menggunakan rumus di atas, tapi harus menggunakna rumus lain. bilqis

7 Menghitung determinan dengan OBE
Cara : è Ubah menjadi : - gauss (eselon baris) - matrik segitiga atas atau segitiga bawah OBE è determinan = perkalian diagonal utama bilqis

8 Contoh: A = 2 7 -3 det(A) = 2(-3) 6 = -36 0 -3 7 0 0 6
Teorema : Bila A(nxn) matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, atau matriks diagonal, maka det(A) adalah hasil kali dari elemen-elemen diagonal utama. Contoh: A = det(A) = 2(-3) 6 = -36 “Bukti”:   bilqis

9 Perkalian OBE akan mempengaruhi nilai determinan
=> jika A' adalah matrik yang dihasilkan dari Perkalian sebuah baris pada matrik A dengan k <> 0 , maka det(A') = 1/k . det (A) Menukar 2 baris pada matrik A, maka det (A')= - det (A) Perkalian sebuah baris pada matrik A dengan k <> 0 kemudian tambahkan pada baris yang lain, maka det (A')= det (A) OBE  1 dan 2  determinan berubah  3  determinan tidak berubah  paling sering digunakan bilqis

10 Contoh: 1 2 3 A = 0 1 4 Det (A) = -2 1 2 1 è det (A1) = 4 det (A)
  A = Det (A) = -2 è det (A1) = 4 det (A) det (A2) = - det (A) det (A3) = det (A) A1 = Det (A1) = -8 A2 = Det (A2) = 2   A3 = Det (A3) = -2 bilqis

11 bilqis

12 dengan merubah matrix menjadi bentuk: 1. eselon gauss(baris)
Hitung det A dimana A = dengan merubah matrix menjadi bentuk: 1. eselon gauss(baris) 2. segitiga atas bilqis

13 bilqis

14 bilqis

15 bilqis

16 bilqis

17 bilqis

18 bilqis

19 1. Cari determinan dengan merubah matrix menjadi Δ atas
Penilaian  1 matrix = 20 total ada 5 matrix Jika salah 1 angka, nilai = 10 Jika salah ≥ 2 angka nilai = 0 bilqis

20 ↓ tukar dengan baris 2 dan 3
Jawab : ↓ tukar dengan baris 2 dan 3 20 bilqis

21 Det = 6 20 20 20 20 bilqis

22 Sifat-sifat fungsi determinan
bilqis

23 bilqis

24 bilqis

25 bilqis

26  Teorema Jika A dan B matrik kuadrat yang ukurannya sama, Maka
det (AB) = det (A) . det (b) Contoh : A = B = det (A) = 1 det (B) = -23 det (B) = -23 AB = det (AB) = -23 det (A) det (B) = -23 bilqis

27  Teorema Sebuah matrik (A) n x n dapat dibalik jika det (A) <> 0 Det A-1 = Contoh : A = Determinan A = 2 – 12 = -10 A-1 = Determinan A-1 = bilqis

28 Kofaktor : Cij = (-1)i+j Mij Minor
Det setelah baris ke - i & kolom ke - j dihapus A = bilqis

29 Kofaktor A = C11 = (-1)1+1 m11 + det
bilqis

30 A = m11 = = 16  c11 = (-1)1+1m11 = + 16 m32 = = 26  c32 = (-1)3+2m32= - 26 3 1 -4 2 5 6 1 4 8 5 6 4 8 3 -4 2 6 bilqis

31 bilqis

32 bilqis

33 >> Rubah jadi : segitiga atas atau bawah >> kofaktor
Catatan : det A = a11 c11 + a12 c12 + a13 c13 atau det A = a11 c11 + a21 c21 + a31 c31 Det A : 2 x 2  biasa 3 x 3  biasa ≥ 4 x 4  >> Gauss >> Rubah jadi : segitiga atas atau bawah >> kofaktor bilqis

34 Cofactor expansion det(A) = a11C11+a12C12+a13C13, along 1st row
= a11C11+a21C21+a31C31, along 1st column = a21C21+a22C22+a23C23, along 2nd row = a12C12+a22C22+a23C23, along 2nd column = a31C31+a32C32+a33C33, along 3rd row = a13C13+a23C23+a33C33, along 3rd column bilqis

35 Determinan Cari determinan A dengan menggunakan perkalian kofaktor baris pertama bilqis

36 Determinan Cari determinan A dengan menggunakan perkalian kofaktor kolom pertama bilqis

37 Determinan Cari determinan A dengan menggunakan perkalian kofaktor kolom kedua Dilanjutkan perkalian kofaktor kolom kedua untuk matrix 3 x 3 bilqis

38 Teorema 2.4.3 - Aturan Cramer:
Solusi untuk Sistem Persamaan Linier Ax = b A matriks koefisien; b vektor (nx1); x vektor yang dicari det(Ai) xi = i = 1, 2, 3, …, n det(A) di mana Ai adalah matriks A dengan menggantikan kolom-i dengan (vektor) b bilqis

39 ATURAN CRAMER :  A . X = B det(A1) det(A2) det(An)
Aj  mengganti kolom ke j dengan matrix B det(A1) det(A2) det(An) x1= , x2= … , xn= det(A) det(A) det(A) bilqis

40 Contoh : x + y + 2z = 9 2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0 = A . X = B
Det (A) = = -1 9 1 1 2 x y 2 4 -3 1 -5 z 3 6 2 1 1 2 4 -3 3 6 -5 bilqis

41 Det (A1) = = -1  x= det(A1)/det(A) = -1/-1 = 1
Det (A2) = = -2  y= det(A2)/det(A) = -2/-1 = 2 Det (A3) = = -3  z= det(A3)/det(A) = -3/-1 = 3 9 1 2 1 4 -3 6 -5 1 9 2 2 1 -3 3 -5 1 1 9 2 4 1 3 6 bilqis

42 Contoh soal cramer Carilah nilai x, y dan z dengan menggunakan aturan cremer : Carilah determinan A dengan menggunakan perkalian kofaktor untuk baris pertama Carilah determinan A(x) dengan menggunakan perkalian kofaktor untuk baris kedua Carilah determinan A(y) dengan menggunakan perkalian kofaktor untuk kolom pertama Carilah determinan A(z) dengan menggunakan perkalian kofaktor untuk kolom ketiga -5 x + 7 z = -32 3 y – 6 z = 48 2 x + y + 4 z = -24 bilqis

43 bilqis

44 bilqis

45 bilqis

46 bilqis

47 Matriks-matriks dengan bentuk khusus
Bab 1.7 bilqis

48 Matriks A(n  n) bujur sangkar, artinya
banyaknya baris A sama dengan banyaknya kolom A. Bentuk-bentuk khusus sebuah matriks bujur sangkar a. l. : Matriks diagonal D Matriks segi-3 atas Matriks segi-3 bawah Matriks simetrik bilqis

49 Matriks diagonal D: aij = 0 untuk i  j
……………………………………… ann d 0 d 0 0 d3 0 0 ……………………………………… dn bilqis

50 Matriks segi-3 atas: aij = 0 untuk i > j
a11 a12 a13 a14 a15 ………… a1n 0 a22 a23 a24 a25 ………… a2n 0 0 a33 a34 a ……..… a3n ……………………………………………………………. …………… ann bilqis

51 Matriks segi-3 bawah: aij = 0 untuk i < j
a21 a …………… 0 a31 a32 a …………… 0 ……………………………………………………… 0 an1 an2 an3 an4 an5 …………… ann bilqis

52 Matriks simetrik: aij = aji
a11 a12 a13 ………………………. a1n a21 a22 a23 …………………………..… a31 a32 a33 ………………..…………… ……………………………………………………………. an1 ………………………………………………… ann bilqis

53 Teorema: Transpos dari matriks segi-3 bawah adalah matriks segi-3 atas; transpos dari matriks segi-3 atas adalah matriks segi-3 bawah. Perkalian dua matriks segi-3 bawah menghasilkan matriks segi-3 bawah; perkalian dua matriks segi-3 atas menghasilkan matriks segi-3 atas. Matriks segi-3 invertibel jika dan hanya jika semua entri diagonalnya tidak nol. Invers dari matriks segi-3 bawah adalah matriks segi-3 bawah. Invers dari matriks segi-3 atas adalah matriks segi-3 atas. bilqis

54 Teorema: A dan B matriks simetrik, k adalah skalar AT simetrik
A + B simetrik dan A – B simetrik Matriks kA simetrik Jika A invertibel, maka A–1 simetrik Jika A matriks invertibel, maka AAT dan ATA juga invertibel. bilqis

55 Tugas Kelompok  Format  subject 
Buat 1 contoh soal menghitung determinan matrix dengan merubah matrix menjadi segitiga atas, gauss dan kofaktor Buat 1 contoh soal mencari nilai x, y, z dengan menggunakan aturan cramer Di kirim ke elearning, terakhir  Minggu depan Format  subject  Alin-B-melati Bentuk  ppt  informasi nama kelompok + anggota bilqis