Matematika Ekonomi KALKULUS INTEGRAL

Presentasi berjudul: "Matematika Ekonomi KALKULUS INTEGRAL"— Transcript presentasi:

1 Matematika Ekonomi KALKULUS INTEGRAL
Toni Bakhtiar 2012

2 Kalkulus Turunan dan Kalkulus Integral
Kalkulus dasar terdiri atas dua bagian besar, yaitu kalkulus turunan dan kalkulus integral, yang keduanya memiliki hubungan yang erat. Seperti diketahui, perhatian utama kalkulus diferensial adalah menemukan turunan-turunan atau diferensial dari fungsi dalam peubah bebas x yang diberikan. Namun dalam kalkulus integral, hal sebaliknya yang menjadi tujuan, yaitu menemukan fungsi-fungsi primitif jika fungsi turunannya diberikan.

3 Turunan Lengkapilah: f(x) f ’(x)

4 Antiturunan Lengkapilah: f(x) f ’(x)

5 Antiturunan Masalah integral umumnya lebih sulit daripada masalah turunan karena dalam kenyataanya tidak semua fungsi memiliki fungsi primitif yang sederhana.

6 Dinamika dan Pengintegralan
Konsep integral banyak muncul dalam masalah ekonomi, seperti misalnya hubungan antara fungsi marjinal dan fungsi total. Fungsi biaya bergantung pada tingkat produksi Q dan mengalami perubahan dengan laju dC/dQ = 2Q. Dapat dikatakan bahwa perusahaan tersebut memiliki fungsi biaya marjinal C ’(Q) = 2Q. Fungsi biaya total: C(Q) = Q2 + k. Jika fix-cost Cf = 25, maka k = 25.

7 Dinamika dan Pengintegralan
Kecenderungan menabung marjinal (marginal propensity to save) atau MPS yang merupakan fungsi dari besarnya pendapatan (income) Y, yaitu MPS merupakan turunan pertama dari fungsi tabungan S. Laju perubahan modal pada saat t identik dengan banyaknya investasi bersih yang terjadi pada saat t yang dilambangkan dengan I(t), yaitu K’(t) = I(t). Hukum Malthus: laju pertumbuhan populasi sebanding dengan banyaknya populasi pada saat itu.

8 Dinamika dan Pengintegralan
Hukum Malthus: Dari tabel: P(0) = 5.3, P(30) = 13  k  0.03. Dengan demikian: Diperoleh: P(60) = 32, P(90) = 79, P(120) = 194, P(150) = 477, P(180) = 1173. Kenapa terjadi penyimpangan yang besar?

9 Integral Taktentu Misalkan hubungan berikut terpenuhi:
Fungsi primitif F(x) disebut sebagai integral taktentu (indefinite integral) dari fungsi f(x) atau F(x) disebut sebagai antiturunan (antiderivative) dari f(x) dan dilambangkan sebagai Secara umum:

10 Aturan Pengintegralan
Aturan pangkat: (untuk n  1) Aturan logaritma: Aturan eksponensial:

11 Aturan Pengintegralan
Aturan trigonometri:

12 Sifat Pengintegralan

13 Aturan Substitusi Perhatikan masalah pengintegralan berikut:
Jika n kecil, katakanlah n = 2 maka integral di atas dengan mudah dapat diselesaikan dengan Aturan Pangkat, yaitu Bagaimana untuk n besar, misalnya n = 100? Aturan apa yang dapat digunakan untuk:

14 Aturan Substitusi Untuk n = 100:
Jika u = g(x) adalah fungsi yang terturunkan dan f fungsi kontinu maka

15 Aturan Substitusi Tentukan:

16 Integral Parsial

17 Integral Parsial Tentukan:

18 Luas Daerah di Bawah Kurva

19 Luas Daerah di Bawah Kurva
Luas n persegi panjang: Luas daerah di bawah kurva:

20 Integral Tentu Jika f fungsi yang kontinu pada selang [a,b] dan F’(x) = f(x) maka Contoh:

21 Sifat Integral Tentu

22 Sifat Integral Tentu

23 Sifat Integral Tentu

24 Sifat Integral Tentu

25 Integral Takwajar Bentuk integral takwajar (improper integral):
Penyelesaian:

26 Integral Takwajar Jika limit-limit di ruas kanan ada dan bernilai terhingga, dikatakan bahwa integral takwajar konvergen, dan jika nilainya takhingga dikatakan divergen.

27 Integral Takwajar

28 Integral Takwajar

29 Integral Takwajar Benarkah?

30 Integral Takwajar (Integran Takhingga)

31 Terapan Integral Fungsi Total – Fungsi Marjinal
Investment and capital formation: Present value: Misalkan sejumlah pembayaran harus dilakukan secara kontinu pada periode [0,T] sebesar f(t) dolar pada saat t, maka

32 Terapan Integral Nilai rata-rata fungsi: Jika f fungsi yang terdefinisi pada selang [a,b] maka nilai rata-rata fungsi f pada selang tersebut diberikan oleh