Determinan.

Presentasi berjudul: "Determinan."— Transcript presentasi:

1 Determinan

2 Fungsi Determinan Apa itu Determinan ?
Menghitung Determinan Sifat-sifat Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Apa itu Determinan ? Dalam R2  luas parallelogram yang direntang dua vektor v = (a, b) dan w = (c, d), yaitu |ad – bc| . Dalam R3  volume parallelepiped yang direntang tiga vektor. Lebih umum  analog dengan volume  hyper-volume parallel yang direntang oleh n vektor dalam dimensi-n.

3 Fungsi Determinan Definisi Notasi
Menghitung Determinan Sifat-sifat Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Definisi Determinan merupakan fungsi yang memetakan matriks bujursangkar A ke suatu bilangan real. det : A  R Notasi det(A) disebut determinan A atau |A|

4 Fungsi Determinan Determinan 22 Determinan 33 = a11a22 – a12a21
Menghitung Determinan Sifat-sifat Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Determinan 22 = a11a22 – a12a21 Determinan 33 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32

5 Fungsi Determinan Perhitungan sepintas Determinan Fungsi Determinan
Menghitung Determinan Sifat-sifat Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Perhitungan sepintas

6 Fungsi Determinan Perhitungan sepintas Determinan Fungsi Determinan
Menghitung Determinan Sifat-sifat Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Perhitungan sepintas

7 Menghitung Determinan
Fungsi Determinan Sifat-sifat Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Teorema Misal A suatu matriks bujursangkar. Jika A memiliki sebuah baris nol atau sebuah kolom nol, maka det(A) = 0. det(A) = det(AT).

8 Menghitung Determinan
Fungsi Determinan Sifat-sifat Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Teorema Jika A suatu matriks segitiga n x n (dapat berupa segitiga atas, segitiga bawah atau diagonal), maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utamanya, yaitu det(A) = a11a22...ann.

9 Menghitung Determinan
Fungsi Determinan Sifat-sifat Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Teorema Misal A suatu matriks bujursangkar. Jika matriks B didapat dari mengalikan suatu baris [kolom] pada A dengan skalar k, maka det(B) = k.det(A) Jika matriks B didapat dari penukaran 2 baris [kolom] dari A, maka det(B) = – det(A) Jika matriks B didapat dari penggandaan suatu baris [kolom] ditambahkan pada baris [kolom] lainnya di A, maka det(B) = det(A)

10 Menghitung Determinan
Fungsi Determinan Sifat-sifat Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Teorema Misal E suatu matriks dasar bujursangkar. Jika E didapat dari mengalikan suatu baris pada In dengan skalar k, maka det(E) = k Jika matriks E didapat dari penukaran 2 baris dari In, maka det(E) = – 1 Jika matriks E didapat dari penggandaan suatu baris ditambahkan pada baris lainnya di In, maka det(E) = 1.

11 Menghitung Determinan
Fungsi Determinan Sifat-sifat Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Teorema Jika A matriks bujursangkar dengan dua baris [kolom] proporsional*, maka det(A) = 0. *baris [kolom] yang satu merupakan kelipatan dari baris [kolom] yang lain.

12 Sifat-sifat Determinan
Fungsi Determinan Menghitung Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Sifat Untuk suatu faktor k, dan matriks bujursangkar Anxn berlaku det(kA) = kn.det(A) Memang det(A + B) ≠ det(A) + det(B), tetapi jika A, B, C bujursangkar yang hanya berbeda di salah satu baris[kolom]nya, dan pada C, baris yang bersesuaian merupakan jumlah dari baris pada A dan B, maka det(C) = det(A) + det(B)

13 Sifat-sifat Determinan
Fungsi Determinan Menghitung Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Contoh = ( ) + ( ) 2 = 2

14 Sifat-sifat Determinan
Fungsi Determinan Menghitung Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Teorema Jika B matriks bujursangkar, dan E matriks elementer seukuran B, maka det(EB) = det(E).det(B) Secara umum, jika A matriks bujursangkar seukuran B: det(AB) = det(A).det(B)

15 Sifat-sifat Determinan
Fungsi Determinan Menghitung Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Teorema Suatu matriks bujursangkar A dapat dibalik jika dan hanya jika det(A) ≠ 0. Jika A dapat dibalik, maka det(A-1) = det(A)-1 *A-1 merupakan invers/balikan dari matriks A

16 Sifat-sifat Determinan
Fungsi Determinan Menghitung Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Teorema Jika A matriks bujursangkar n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen, A dapat dibalik Ax = 0 hanya memiliki penyelesaian trivial In adalah bentuk baris eselon tereduksi dari A A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks elementer Ax = b konsisten untuk tiap bnx1 Ax = b hanya memiliki 1 penyelesaian untuk tiap bnx1 det(A) ≠ 0.

17 Perluasan Kofaktor, Cramer
Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Fungsi Determinan Menghitung Determinan Sifat-sifat Determinan Definisi Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka minor anggota aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan sebagai determinan sub-matriks yang masih tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A. Bilangan dinyatakan oleh Cij dan disebut kofaktor anggota aij.

18 Perluasan Kofaktor, Cramer
Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Fungsi Determinan Menghitung Determinan Sifat-sifat Determinan Contoh Misalkan Minor anggota a11 adalah Kofaktor a11 adalah C11 = (–1)1 + 1M11 = 16

19 Perluasan Kofaktor, Cramer
Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Fungsi Determinan Menghitung Determinan Sifat-sifat Determinan Teorema Determinan suatu matriks A n × n bisa dihitung dengan mengalikan anggota-anggota pada sembarang baris (kolom) dengan kofaktornya dan menjumlahkan hasil kali yang didapatkan; yaitu untuk setiap dan , (perluasan kofaktor disepanjang kolom ke-j) dan (perluasan kofaktor disepanjang baris ke-i )

20 Perluasan Kofaktor, Cramer
Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Fungsi Determinan Menghitung Determinan Sifat-sifat Determinan Contoh Diberikan sebuah matriks Tentukan det (A)? Penyelesaian:

21 Perluasan Kofaktor, Cramer
Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Fungsi Determinan Menghitung Determinan Sifat-sifat Determinan Definisi Jika A adalah sebarang matrik n × n dan Cij adalah kofaktor dari aij maka matriks disebut matriks kofaktor dari matriks A. Transpos dari matriks ini disebut adjoin A dan dinyatakan oleh adj(A).

22 Perluasan Kofaktor, Cramer
Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Fungsi Determinan Menghitung Determinan Sifat-sifat Determinan Teorema Jika A adalah suatu matriks yang dapat dibalik, maka

23 Perluasan Kofaktor, Cramer
Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Fungsi Determinan Menghitung Determinan Sifat-sifat Determinan Contoh Tentukan invers dari matriks Penyelesaian:

24 Perluasan Kofaktor, Cramer
Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Fungsi Determinan Menghitung Determinan Sifat-sifat Determinan Teorema (Aturan Cramer) Jika Ax = b merupakan sistem n persamaan linier dalam n peubah sedemikian sehingga (A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai suatu penyelesaian yang unik. Penyelesaian ini adalah: dengan Aj adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan anggota-anggota pada kolom ke-j dari A dengan anggota-anggota pada matriks

25 Perluasan Kofaktor, Cramer
Determinan Perluasan Kofaktor, Cramer Fungsi Determinan Menghitung Determinan Sifat-sifat Determinan Contoh Dengan aturan Cramer selesaikan sistem persamaan linier berikut: Penyelesaian: maka

26 Selesai Terima Kasih Atas Perhatiannya, Semoga Bermanfaat. ___________
Thank you Terima Kasih Atas Perhatiannya, Semoga Bermanfaat. ___________ Referensi: en.wikipedia.org Dasar-dasar Aljabar Linear, Edisi 7 Jilid 1. Howard Anton