MODUL VII BASIS DAN DIMENSI

Presentasi berjudul: "MODUL VII BASIS DAN DIMENSI"— Transcript presentasi:

1 MODUL VII BASIS DAN DIMENSI

2 RUANG –N EUCLIDES Ruang-n Euclides
Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n-pasangan bilangan berurut adalah sebuah urutan n bilangan real (x1,x2,…,xn). Himpunan semua n-pasangan bilangan berurut dinamakan ruang-n Eucides dan dinyatakan dengan Rn. Definisi. Misalkan u=[u1,u2,…,un]; v=[v1,v 2,…,vn] vektor di Rn. u = v jika hanya jika u1 = v1, u2 = v2,…, un = vn u + v = [u1 + v1, u2 + v2,…, un + vn ] ku = [ku1, ku2,…, kun] u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn |u| = (u•u)1/2 =

3 Ruang Vektor Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor, bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi : Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V. u+v = v+u u+(v+w) = (u+v)+w Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0+u=u+0 Untuk setiap u di V terdapat –u di V sehingga u+(-u) = -u+u =0 Jika k skalar dan u di V, maka ku berada di V k(u+v) = ku + kv (k + l)u = ku + lu k(lu) = (kl)u 1u = u

4 Kombinasi Linier Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u1, u2,…, un jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk : x = k1u1+ k2u2 +… + knun dimana k1, k2,…,kn adalah skalar Contoh : Misalkan, u = [2,-1,3], v = [1,2,-2], apakah x = [8,1,5] kombinasi linier dari u dan v. Jawab Perhatikan kombinasi linier x = k1u+k2v [8,1,5] = k1[2,-1,3] + k2[1,2,-2] Dari kesamaan vektor diperoleh 2k1 + k2 = 8 -k1 + 2k2 = 1 3k1 – 2k2 = 5 x = 3u + 2v k1 = 3 k2 = 2

5 Membangun Ruang Vektor
Jika u1, u2,…,un adalah vektor-vektor pda ruang vektor V, dan jika setiap vektor x pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier u1, u2,…,un, maka u1, u2,…,un dikatakan membangun ruang vektor V Contoh : Apakah, u=[1,2,-1], v=[-2,3,3], w=[1,1,2] membangun R3. Jawab Andaikan x=[x1,x2,x3] vektor di R3. Bentuk kombinasi linier, x = k1u + k2v + k3w [x1,x2,x3] = k1[1,2,-1] + k2[-2,3,3] + k3[1,1,2] Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier, k1 – 2k2 + k3 = x1 u, v, w membangun R3. 2k1 + 3k2 + k3 = x2 –k1 + 3k2 + 2k3 = x3

6 Kebebasan Linier Andaikan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier : k1u1 + k2u2 + … + knun = 0 penyelesaiannya adalah trivial yakni k1 = 0, k2 = 0,…, kn = 0. Jika ada penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebas linier. Contoh : Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, u1=[2,-1,3], u2=[1,2,-6], u3=[10,5,-15] adalah vektor tak bebas linier, karena 3u1 + 4u2 = u3 Contoh : Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, dimana u1=[1,-1,2], u2=[-2,3,1], u3=[2,1,3] adalah vektor bebas linier, k1u1 + k2u2 + k3u3 = 0, ekuivalen, k1 – 2k2 + 2k3 = 0 u1, u2, u3 bebas linier –k1 + 3k2 + k3 = 0 2k1 + k2 + 3k3 = 0

7 Basis Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika : S bebas linier S membangun V Dimensi Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u1, u2,…,un} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V. Contoh : Misalkan, B={i,j,k} dengan i=[1,0,0], j=[0,1,0], dan k=[0,0,1]. B adalah basis baku untuk R3. Karena banyaknya vektor yang membentuk basis B adalah 3, maka R3 berdimensi tiga.

8 Contoh Misalkan S = {u1, u2,u3} dimana u1=[1,2,2], u2=[2,1,2] dan u3=[1,3,3]. Apakah S basis untuk R3. Jawab Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk kombinasi linier : k1u1 + k2u2 + k3u3 = x k1 [1,2,1] + k2[2,1,2] + k3 [1,3,4] = [x1,x2,x3] Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier k1 + 2k2 + k3 = x1 2k1 + k2 + 3k3 = x2 2k1 + 2k2 + 3k3 = x3 Karena solusi SPL adalah tunggal, jadi S adalh basis untuk R3.

9 Tugas Khusus Selidikilah apakah ruang vektor S berikut ini bebas linier ? Jika tidak bebas linier tentukan nilai konstantanya. u1=(a-1,a,b) u2=(a,a+1,b-1), u3=(a-3,a-2,b+2) u1=(a+1,a-1,b,b-1), u2=(a,a+2,b-2,b), u3=(b+2,b-1,a,a+2), u4=(b+3,b-4,a+2,a-1) Selidikilah apakah ruang vektor S berikut ini membentuk basis u1=(a,a+1,b), u2=(a-1,a,b-1) u3=(b,b-1,a+3) u1=(a-1,a,b+1,b), u2=(a,a+1,b-2,b+2), u3=(b-2,b+1,a,a+2), u4=(b+2,b,a+2,a-2)

10 Ruang Hasil Kali Dalam Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil [u,v] dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut ini : [u,v] = [v,u] (aksioma simetri) [u+v,w] = [u,w] + [v,w] (aksioma penambahan) [ku,v] = k[u,v] (aksioma kehomogenan) [u,u] ≥ 0 dan [u,u] = 0  u=0 (aksioma kepositifan) Contoh : Jika u = [u1,u2,…,un], dan v = [v1,v2,…,vn] adalah vektor-vektor pada Rn, maka : [u,v] = u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn adalah hasil kali dalam pada ruang Euclides Rn. Dan u dan v dikatakan ortogonal jika [u,v] = 0. Jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada V, maka u dikatakan ortogonal terhadap V.

11 Basis Ortonormal Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berada dalam himpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya panjangnya 1 disebut ortonormal. Contoh : S={u1,u2,u3} dengan u1=[1,2,1], u2=[1,-1,1], dan u3=[1,0,-1]. Himpunan S adalah ortogonal pada R3, karena [u1,u2]=[u1,u3]=[u2,u3]=0 Catatan : Jika S = {u1, u2,…,un} adalah adalah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasil kali dalam V, dan jika x sembarang vektor di V, maka : x = [x,u1]u1 + [x,u2]u2 + … + [x,un]un Misalkan V ruang hasil kali dalam dan {u1,u2,…,un} himpunan ortonormal Jika W ruang yang dibangun oleh u1,u2,…,un maka setiap vektor x dalam V dapat dinyatakan dengan : x = v + w dimana : v = [v,u1]u1 + [v,u2]u2 + … + [v,un]un

12 Proses Gram-Schmidt Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol, mempunyai sebuah basis ortonormal. Misalkan S={u1,u2,…,un} basis untuk ruang hasil kali dalam V, algoritma untuk menentukan ortonormal B={v1,v2,…,vn} untuk V adalah : Langkah 1. Ambil, v1 = u1/|u1| Langkah 2. Hitung, v2 , dengan rumus : Langkah 3. Hitung, v3 , dengan rumus : Langkah 4. Hitung, vk , dengan rumus :

13 Contoh : Misalkan S={u1,u2,u3} basis untuk R3, dengan u1=[1,0,1], u2=[1,1,-1], dan u3=[-2,1,2]. Carilah basis ortonormal B={v1,v2,v3} untuk R3. Jawab Langkah 1. Ambil : Langkah 2. v2 = x2/|x2|, dengan x2 = u2 – [u2,v1]v1 Jadi, x2 = u2 , [u2,v1]=[1,1,-1]• Langkah 3. v3 = x3/|x3|, dengan x3 = u3 – [u3,v1]v1 – [u3,v2]v2 [u3,v1]=[-2,1,2]• dan [u3,v2]=[-2,1,2]• = [–1,2,1] Jadi,

14 Koordinat dan Perubahan Basis
Misalkan S={u1,u2,…,un} basis untuk ruang vektor V, maka setiap vektor x yang terletak dalam V dapat dinyatakan dengan tunggal dalam bentuk kombinasi linier, yakni x = k1u1 + k2u2 + … + knvn Skalar-skalar k1, k2,…,kn disebut koordinat x relatif terhadap basis S. Vektor koordinat x relatif terhadap basis S ditulis (x)S didefinisikan, (x)S =[k1,k2,…,kn] Matrik koordinat x relatif terhadap S ditulis [x]S didefinisikan oleh : P(5,6) B={i,j} maka x = 5i + 6j maka : (x)B = (5,6), v=[1,4] r j=[0,1] u=[2,1] S={u,v} maka x = 2u + v maka : (x)S = (2,1) i=[1,0]

15 Contoh : B={v1,v2,v3} basis untuk R3, dimana v1=[2,1,2], v2=[3,2,2], v3=[1,2,-1]. Jika (x)B=[2,1,-3] hitunglah x, dan jika x=[2,1,–3] berapa [x]B. Jawab : Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk k1v1 + k2v2 + k3v3 = x, atau : k1[2,1,2] + k2[3,2,2] + k3[1,2,–1 ] = [x1,x2,x3] Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier : 2k1 + 3k2 + k3 = x1 k1 + 2k2 + 2k3 = x2 2k1 + 2k2 – k3 = x3 Jika, (x)B = [2,1,-3], maka : Jika, x = [2,1,-3], maka :

16 Perubahan Basis Misalkan S={u1,u2,…,un} basis lama ruang vektor V, dan B={v1,v2,…,vn} basis baru untuk ruang vektor V. Misalkan pula [x]S matrik koordinat x relatif terhadap S dan [x]B matrik koordinat x relatif terhadap basis B. Hubungan antara [x]S dan [x]B diberikan oleh persamaan : dan atau P adalah matrik transisi dari basis baru B ke basis lama S, dimana kolom-kolom P adalah matrik-matrik koordinat dari vektor-vektor basis baru relatif terhadap basis lama, yaitu : Contoh : S={u1,u2,u3} basis lama dan B={v1,v2,v3} basis baru untuk R3, dimana u1=[1,–1,–1], u2=[–1,2,3], u3=[1,1,2], dan v1=[2,1,2], v2=[3,2,2], v3=[1,2,-1]. Jika x=[2,-1,3] berapa [x]B secara tidak langsung.

17 Jawab Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk k1u1 + k2u2 + k3u3 = x, atau : k1[1,–1,–1] + k2[–1,2,3] + k3[1,1,2 ] = [x1,x2,x3] Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier : Untuk v1=[2,1,2], v2=[3,2,2], v3=[1,2,-1]., maka diperoleh P dan P-1, yaitu : Dengan demikian,

18

19 SOAL TUGAS KHUSUS Diketahui pula bahwa S = {u1,u2,u3} dan B={v1,v2,v3}adalah basis-basis untuk R3, diimana : u1 = [b-4,b-5,a–2], u2 = [b-5,b-6,a-3], u3 = [a-4,a-3,b-5] v1 = [a-5,a-4,b–5], v2 = [a-4,a-3,b-4], v3 = [b-4,b-5,a-5] (1) Tentukan basis ortonormal untuk basis S dan basis B dengan proses Gram-Schmidt (2) Carilah matrik koordinat x relatif terhadap basis S [x]S dan basis B [x]B secara langsung (3) Carilah matrik koordinat [x]S dan [x]B secara tidak langsung