DETERMINAN Ronny Susetyoko Matematika 1.

Presentasi berjudul: "DETERMINAN Ronny Susetyoko Matematika 1."— Transcript presentasi:

1 DETERMINAN Ronny Susetyoko Matematika 1

2 Definisi Asumsikan A adalah suatu matriks bujur sangkar, fungsi determinan, det(A) adalah jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A. atau Determinan ordo n ialah suatu skalar yang terkait dengan sebuah matriks bujur sangkar A yang berordo n. Notasi : det(A) atau |A| atau |aij| Matematika 1

3 Contoh Matematika 1

4 Minor & Kofaktor Determinan
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka Minor elemen aij (Mij) didefinisikan sebagai determinan sub-matriks yang masih tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan Kofaktor elemen aij dinyatakan sebagai kij = (-1)i+j Mij Matematika 1

5 Menghitung Minor dan Kofaktor
Matematika 1

6 Beda Kofaktor & Minor Kofaktor dan minor suatu elemen aij hanya berbeda tanda. Jika pangkatnya genap maka kij=mij, sebaliknya jika pangkatnya ganjil maka kij = -mij. Lebih mudahnya apakah kofaktor bertanda + atau – adalah menggunakan ’papan periksa’ sebagai berikut : Matematika 1

7 Nilai Determinan a). Aturan Sarrus (n <= 3) Matematika 1

8 Nilai Determinan b). Ekspansi Laplace (n >= 3)
Nilai determinan adalah jumlah perkalian elemen-elemen dari sebarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya. Matematika 1

9 Contoh : Dari soal sebelumnya, Ekspansi Laplace baris ke – 1 :
Coba gunakan ekspansi Laplace pada baris-baris atau kolom-kolom yang lain, kemudian bandingkan hasilnya! Tips : Pilih baris atau kolom yang banyak mengandung elemen nol. Matematika 1

10 Sifat-Sifat Determinan
1. det(A) = 0 jika dalam suatu baris/kolom semua elemennya nol 2. det(A) = det(AT) Matematika 1

11 Sifat-Sifat Determinan
3). Nilai determinan menjadi k kali bila dalam satu baris/kolom dikalikan dengan k (suatu skalar). Dari soal sifat 2), baris 1 dikalikan dengan 5 menjadi : Matematika 1

12 Sifat-Sifat Determinan
4. det(A) = 0 jika 2 baris/kolom sebanding. 5. Nilai determinan berubah tanda jika dua baris/kolom ditukar tempatnya Matematika 1

13 Sifat-Sifat Determinan
6). Nilai determinan tidak berubah jika baris/kolom ke – i ditambah k kali baris/kolom ke – j. Dari soal sifat 6), baris 1 ditambah 3 kali baris 2 : 7). Elemen sebuah baris/kolom memuat 2 buah suku maka determinan tersebut dapat ditulis sebagai jumlah determinan. Matematika 1

14 Teorema Jika A adalah matriks segitiga n x n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka det(A) adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya, yaitu det(A) = a11a22...ann . Catatan Untuk mempermudah perhitungan nilai determinan, dapat menggunakan sifat-sifat tersebut. Matematika 1

15 Contoh Matematika 1

16 Sifat-Sifat Lain Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ukuran yang sama, maka det(AB) = det(A) det(B). Suatu matriks bujur sangkar ada inversnya jika det(A) 0. Jika A dapat diinverskan, maka : Matematika 1

17 Manfaat penyelesaian sistem persamaan linier menghitung matriks invers
menentukan karakteristik suatu sistem linier Matematika 1

18 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Matematika 1

19 Sistem Persamaan Linier Berbentuk Ax = lx
Banyak aplikasi aljabar linier yang membahas masalah sistem n persamaan linier dalam n peubah yang dinyatakan dalam bentuk : Ax = lx {A matriks bujur sangkar, x vektor, dan l suatu skalar} Sistem ini merupakan sistem linier homogen tersamar, karena dapat ditulis ulang sebagai : Ax = lx  Ax – lx = 0 atau dengan menyelipkan matriks identitas dan memfaktor-kannya : (A - lI )x = 0 *) Matematika 1

20 Contoh Matematika 1

21 Yang Menarik? Masalah utama yang menarik dalam sistem linier *) adalah menentukan nilai-nilai l di mana sistem tersebut mempunyai suatu penyelesaian tak-trivial. Nilai l disebut suatu nilai karakteristik atau nilai eigen dari A. Maka penyelesaian tak trivial dari *) disebut vektor eigen dari A yang berpadanan dengan l. Sistem (A - lI )x = 0 mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanya jika :  disebut persamaan karakteristik Catatan : eigen value, campuran bahasa Jerman & Inggris, yang berarti nilai yang tepat atau akar laten atau akar ciri. Matematika 1

22 Soal Latihan Matematika 1

23 Soal Latihan Matematika 1

24 Soal Latihan Matematika 1

25 MATRIKS Matematika 1

26 Definisi Himpunan skalar dari bilangan real/ kompleks yang disusun dalam empat persegi panjang menurut baris/kolom. Matematika 1

27 Operasi Matriks Penjumlahan (syarat : ordo sama) Perkalian skalar dengan matriks Perkalian matriks (syarat : jumlah kolom matriks-1 = jumlah baris matriks-2) Matematika 1

28 Hukum-Hukum 1. A(B + C) = AB + AC  H. Distributif I
2. (A + B)C = AC + AB  H. Distributif II 3. A(BC) = (AB)C  H. Asosiatif 4. AB BA  general 5. AB = 0  tidak harus A = 0 atau B = 0 atau A & B nol. 6. Jika AB = AC  belum tentu AB = AC atau B = C Matematika 1

29 Jenis-Jenis Matriks 1. Matriks Bujur sangkar (jumlah baris = jumlah kolom) 2. Matriks Diagonal Matematika 1

30 Jenis-Jenis Matriks Matematika 1

31 Jenis-Jenis Matriks Matematika 1

32 Jenis-Jenis Matriks Matematika 1

33 Jenis-Jenis Matriks Matematika 1

34 Jenis-Jenis Matriks Matematika 1

35 Jenis-Jenis Matriks Yang Lain
Matriks Bidiagonal Atas Matriks Bidiagonal Bawah Matriks Tridiagonal Matriks Hermitian Matriks Singular dll. Matematika 1

36 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Metode grafis ( maksimum 3 variabel) Eliminasi Subtitusi Determinan Eliminasi Gauss Gauss-Jordan Gauss-Seidel Dll. Matematika 1

37 Operasi Dasar Operasi Dasar Persamaan Operasi Dasar Baris
Pertukaran tempat dua persamaan Perkalian persamaan dengan konstanta bukan nol Penjumlahan kelipatan persamaan yang satu ke persamaan lain Operasi Dasar Baris Pertukaran tempat dua baris Perkalian baris dengan konstanta bukan nol Penjumlahan kelipatan baris yang satu dengan yang lain. Juga disebut Operasi Baris Elementer (OBE) Matematika 1

38 Rank (Pangkat) Matriks
Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks Banyaknya maksimum vektor-vektor kolom yang bebas linier dalam suatu matriks Jika matriks bujur sangkar : ordo minor terbesar suatu matriks yang determinannya tidak nol. Matematika 1

39 Kebebasan dan ketidakbebasan linier
Bebas linier jika p baris mempunyai rank p. Tidak bebas linier jika rank < p. Matematika 1

40 Solusi Sistem Persamaan Linier
Tidak mempunyai solusi jika matriks A dan matriks augmented A mempunyai rank yang sama. Solusi tunggal, jika rank-nya sama dengan jumlah variabel ( r = n). Jika r < n maka sistem mempunyai solusi tak berhingga. Jika solusi ada maka dapat diselesaikan dengan Eliminasi Gauss. Matematika 1

41 Penerapan Soal-soal terapan H. Kirrchoff I dan II ( T. Elektronika)
Transformasi Linier Curve Fititing (Interpolasi & Regresi Linier) Markov Chains Programa Linier Assignment (Penugasan) Database Analisis Komponen Utama (termasuk Trans.Linier) Catt. Lebih detail akan dijelaskan di mata kuliah Aljabar Matriks. Matematika 1

42 Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss merupakan pengembangan dari dari cara eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Cara eliminasi ini sudah banyak dikenal. Untuk menggunakan metode eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik . Matematika 1

43 Augmented Matrix Matematika 1

44 Matematika 1

45 Matematika 1

46 Matematika 1

47 VEKTOR Matematika 1

48 Matematika 1

49 Matematika 1

50 Matematika 1

51 Matematika 1

52 Matematika 1

53 Matematika 1

54 Matematika 1

55 BILANGAN KOMPLEKS Matematika 1

56 Matematika 1

57 Matematika 1

58 Matematika 1

59 Matematika 1

60 Matematika 1

61 Matematika 1

62 Matematika 1

63 Matematika 1

64 Matematika 1

65 Matematika 1

66 Matematika 1

67 FUNGSI Matematika 1

68 Definisi Fungsi Suatu fungsi f dari X ke Y adalah suatu aturan di mana setiap anggota dari X menentukan dengan tunggal satu anggota dari Y. Secara matematis : Matematika 1

69 Pengertian X dibawa ke f(x), maka y = f(x) didalam Y dinamakan peta (image) dari x atau dinamakan harga fungsi f di x. Sebaliknya himpunan x di dalam X yang petanya adalah y elemen Y dinamakan peta invers (invers image) dari y, simbol f-1(y). Matematika 1

70 Catatan Fungsi tidak lain adalah pemetaan (mapping).
Peta invers mungkin bisa lebih dari satu elemen. Matematika 1

71 Hasil Ganda Kartesis Himpunan semua pasangan-pasangan berurutan atau ordered pairs (x,y) dengan x elemen X dan y elemen Y. Contoh : X = {x1,x2} dan Y = {y1, y2,y3} X x Y = {(x1,y1), (x1,y2), x1,y3) (x2,y1), (x2,y2), (x2,y3) (x3,y1), (x3,y2), (x3,y3)} Matematika 1

72 Komposisi Fungsi Matematika 1

73 Grafik Fungsi Grafik fungsi suatu f dari X ke Y ialah himpunan pasangan-pasangan berurutan (x, f(x)) dengan x berjalan pada X (x elemen X) dan f(x) berjalan pada Y (f(x) elemen Y) Matematika 1

74 Variabel Bebas dan Tak Bebas
Variabel x dalam pasangan berurutan (x,y) disebut variabel bebas (independent variable) atau argumen dari f, sedangkan y dinamakan variabel tak bebas (dependent variable). Dalam pemakaian, domain dari variabel disajikan dengan interval ( himpunan bagian dari himpunan real). Interval : buka, tutup-buka, buka-tutup, tutup. Matematika 1

75 Ilustrasi Interval Matematika 1

76 Contoh Matematika 1

77 Contoh Matematika 1

78 Soal-soal Matematika 1

79 LIMIT & KEKONTINUAN Matematika 1

80 Pemanasan Jika Tentukan : Matematika 1

81 Definisi f(x) dikatakan mempunyai limit L untuk
x  x0, bila setiap bilangan positif h yang diberikan, dapat ditunjukkan bilangan positif d sedemikian hingga untuk semua harga x yang memenuhi 0 < |x – x0| < d berlaku |f(x) – L| < h. Pernyataan 0 < |x – x0| < d berarti untuk semua x yang memenuhi x0 – d < x < x0 + d. Matematika 1

82 Ilustrasi Matematika 1

83 Matematika 1

84 Contoh Matematika 1

85 Kontinuitas Matematika 1

86 Kontinuitas Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x0 jika limit kiri dan limit kanan dari f(x) adalah sama. Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x0, bila untuk setiap h > 0 dapat dicari bilangan positif d sedemikian hingga |f(x) – f(x0)| < h untuk |x – x0| < d atau x0 – d < x < x0 + d. Matematika 1

87 Soal-soal Matematika 1

88 DIFERENSIAL (Turunan)
Matematika 1

89 Turunan Fungsi Aljabar
Matematika 1

90 Secara Geometri Matematika 1

91 Matematika 1

92 Turunan Baku Matematika 1

93 Matematika 1

94 Fungsi dari Suatu Fungsi
Matematika 1

95 Matematika 1

96 Perkalian & Pembagian Matematika 1

97 Contoh Matematika 1

98 Soal-soal Matematika 1

99 Bagaimana jika fungsinya lebih dari dua? Contoh :
y = uvw y = uv/w y = u/vw y = tu/vw Dll. di mana t, u, v, w adalah fungsi dalam x. Solusi : memakai turunan logaritmik (natural) Matematika 1

100 Contoh Matematika 1

101 Soal-soal Terapan Matematika 1

102 Fungsi Implisit Jika y terdefinisi sepenuhnya oleh x maka y disebut fungsi eksplisit dari x. Contoh : y = x4 – 3x2 + 1 Y = 3x2 + cos x Kadang tidak dapat/tidak perlu y dipisah sendiri, maka y disebut fungsi implisit dari x. y = xy + sin y – 2 x2 + 2xy + 3y2 = 4 Matematika 1

103 Contoh : Matematika 1

104 Soal-soal Campuran Matematika 1

105 Titik Balik (maks/Min)
Macam-macam : Titik maksimum Titik minimum Titik belok Titik balik : turunan pertama = nol Turunan kedua : Negatif  titik maksimum Positif  titik minimum Nol  titik belok Matematika 1

106 Ilustrasi Matematika 1

107 Soal-soal Matematika 1

108 Soal cerita Matematika 1

109 Turunan Parsial Misal z = f(x,y) = x2-4xy+y3
Variabel x dan y merupakan fungsi dari variabel z Variabel z bergantung pada variabel x dan y Variabel z dipengaruhi oleh variabel x dan y Bagaimana perubahan z terhadap x jika y konstan? Bagaimana perubahan z terhadap y jika x konstan? Bagaimana perubahan z thd y, kemudian thd x Matematika 1

110 Soal-soal Tentukan Tentukan nilai a dan b berdasarkan informasi data sampel berpasangan (x,y). Matematika 1

111 INTEGRAL Matematika 1

112 Apa beda sigma & integral?
Matematika 1

113 Integral Baku Matematika 1

114 Contoh Matematika 1

115 Fungsi Suatu Fungsi Linier
Matematika 1

116 Integral dalam bentuk f’(x)/f(x) dan f(x)f’(x)
Matematika 1

117 Soal-soal Matematika 1

118 Integral Parsial Matematika 1

119 Contoh Matematika 1

120 Soal-soal Matematika 1

121 Integral Dengan Pecahan Parsial
Matematika 1

122 Contoh Matematika 1

123 Contoh Matematika 1

124 Soal-soal Matematika 1

125 Integral Lipat Dua Matematika 1

126 Contoh Integral Tertentu
Matematika 1