PERSAMAAN DIFUSI FOKKER-PLANCK

Presentasi berjudul: "PERSAMAAN DIFUSI FOKKER-PLANCK"— Transcript presentasi:

1 PERSAMAAN DIFUSI FOKKER-PLANCK
MODEL STOCHASTIC PERSAMAAN DIFUSI FOKKER-PLANCK

2 Abstrak Persamaan difusi diturunkan dengan menggunakan konsep “random walk” yang diterapkan pada persamaan beda. Dengan “ Taylor ” persamaan tersebut dideretkan sampai order dua, persamaan diferensial yang diperoleh diselesaikan dengan “Transformasi Fourier”. Selanjutnya persamaan difusi yang diperoleh yang berbentuk “probability density function” disimulasi untuk melihat visualisasi 3-D dan profil grafik 2-D dari titik-titik waktu observasi yang menjadi interest. Pendekatan semacam itu sangat bermanfaat untuk pemodelan dan simulasi masalah-masalah dispersi, misalnya penyebaran asap kebakaran hutan atau banyak phenomena alam lainnya yang serupa

3 Diskripsi Masalah Pada presentasi ini akan disimulasi model penyebaran asap kebakaran hutan yang bergerak mulai dari waktu t = 0 dan pada lokasi x = 0. Asap diasumsikan bergerak dengan kecepatan 10 km/jam dengan koefisien difusi 1 km2 / jam . Model matematika yang akan disimulasi adalah solusi dari persamaan Fokker-Planck yang berbentuk : Persamaan tersebut diturunkan dengan konsep random walk sebagai berikut :

4 Penurunan model persamaan difusi Fokker-Planck
Konsep random walk diterapkan pada persamaan beda sbb: P(n+1,x) = p P(n,x-1) + q P(n,x+1) (1) Dgn. syarat batas P(0,0) = 1 dan P(0,x) = 0 untuk x  0 (2) Bila diambil step size x (ruang) dan t (waktu) dan dimisalkan t = n t, maka dapat ditumjukkan bahwa mean dan variance untuk satu langkah yang panjangnya x adalah : (3) Karena setiap step independent dari dan mempunyai pdf yang sama dengan step lainnya, maka dapat ditulis :

5 (4) (5) Agar supaya x dan x2 tetap berhingga untuk semua t, maka dapat diatur sbb: (6) Dimana D disebut koefisien difusi dan biasanya diasumsikan konstant. Dengan spesifikasi tersebut diperoleh :

6 (7) Selanjutnya misalkan, (8) Dimana c adalah kecepatan. Karena p = q bila x = 0, maka diatur nilai p dan q sbb : (9) (10)

7 Sehingga persamaan (1) dapat ditulis,
Sehingga diperoleh , x = 2 c t (11) 2x = 2 D t (12) Sehingga persamaan (1) dapat ditulis, P(t + t, x ) = p P(t, x - |x|) + q P(t, x + |x|) (13) Persamaan (13) inilah yg. Diekspansikan dengan deret Taylor akan tetapi dengan menggunakan pdf sbb.: (14) Selanjutnya persamaan tersebut diselesaikan dengan Transformasi Fourier untuk mendapatkan bentuk pdf.nya yang berbentuk :

8 (15) Perilaku dari fungsi inilah yang disimulasi dengan MATLAB, dimana perubahan pdf divisualisasi dalam bentuk 3-D dengan disertai plot profile 2-D dari perubahan pdf pada titik-titik waktu observasi yang menjadi interest Sbb: Simulasi 3-D Observasi titik waktu interest

9 SIMULASI PENYEBARAN ASAP KEBAKARAN HUTAN
Hasil simulasi 3-D yang merupakan visualisasi perubahan fungsi probabilitas densitas dengan c = 10 km/jam dan koefisien difusi diambil 1 km2 /jam M file GUI

10 Simulasi grafik pandangan samping
Gambar disamping ini adalah hasil rotasi gambar 3-D yang dilihat dari samping .

11 Observasi pada titik-titik waktu yang menjadi interest

12 TUTORIAL G U I MATLAB