Akar-akar Persamaan Non Linier

Presentasi berjudul: "Akar-akar Persamaan Non Linier"— Transcript presentasi:

1 Akar-akar Persamaan Non Linier
Diketahui fungsi kontinyu y = f(x) Akar-akar persamaan adalah nilai x yang menyebabkan fungsi f(x)=0. Jadi untuk mencari akar-akar suatu persamaan adalah dengan menyelesaikan persamaan f(x) = 0 untuk x. y = f(x) y x xR akar

2 1. Metode Pengurung (bracket method)
Metode numerik yang biasa digunakan untuk menentukan akar-akar persamaan non linier adalah : 1. Metode Pengurung (bracket method) Metode yang memanfaatkan suatu kenyataan bahwa harga fungsi akan berubah tanda disekitar akar. Proses pencarian akar dimulai dengan dua terkaan awal yang mengurung akar sebagai batas bawah dan batas atas. - Metode Bagidua (bisection method) - Metode Posisi Palsu (false position method) 2. Metode Terbuka Diperlukan satu atau dua terkaan awal yang tidak perlu mengurung akar. ada kemungkinan pencarian akar divergen, tapi jika konvergen laju konvergensinya lebih cepat. - Metode Newton-Raphson - Metode Secant

3 Metode Bagidua (bisection method)
f(xU) Akar xL xR xU f(xL) xR xL xU xL xU xR

4 Metode Posisi Palsu (false position)
f(xU) Dari hubungan segitiga sebangun XL-f(XL)-XR dan XR-f(XU)-XU, bisa ditulis xR xL xU Akar f(xU) f(xL) xR xL xU Akar f(xL)

5 Metode Langsung (Iterasi Satu Titik Sederhana)
Dengan menyusun kembali fungsi f(x) = 0 sedemikian sehingga x berada diruas kiri persamaan, yaitu x = g(x). atau dalam bentuk persamaan iterasi, xi+1 = g(xi) misal: x2 - 2x + 3 = 0  x = (x2 + 3)/2 sin(x) =  x = xin(x) + x Kesalahan relatif persen aproksimasi ea: Contoh-1: Gunakan metode langsung untuk menentukan akar persamaan f(x) = e-x - x mulai dengan terkaan awal x0 = 0

6 Intepretasi grafis Metode Langsung
f(x) = e-x - x akar y1(x) = x y2(x) = e-x

7 Konvergensi Metode Langsung
y1(x) = x y1(x) = x y2(x) = g(x) y2(x) = g(x) A (konvergen) B (konvergen) y2(x) = g(x) y2(x) = g(x) y1(x) = x y1(x) = x C (divergen) D (divergen)

8 Metode Newton Raphson Jika terkaan awal pada akar adalah xi, maka sebuah garis singgung dapat ditarik dari titik [xi, f(xi)]. Titik dimana garis singgung ini memotong sumbu X biasanya menyatakan terkaan akar yang lebih baik. Turunan pertama di xi, setara dengan kemiringan, sehingga bisa ditulis : Kemiringan = f ’(xi) f(xi) f(xi) - 0 Akar atau xi+1 xi xi – xi+1

9 Metode Secant Masalah potensial dalam metode Newton-Raphson adalah evaluasi turunan f ’(xi), sehingga turunan dapat dihampiri oleh beda hingga terbagi Dengan memasukkan pedekatan turunan ke rumus Newton-Rapson, maka diperoleh rumus metode secant : xi Akar xi+1 f(xi-1) xi-1 f(xi) Note: metode secant memerlukan dua taksiran awal untuk x.

10 Persamaan Polinom derajat n
Polinom derajat n mempunyai TEPAT n akar, yaitu akar real (positif / negatif) akar komplek (berpasanga a + bi dan a – bi) akar yang mempunyai multiplisitas r, dihitung r kali Cara Menentukan Banyaknya Akar dengan Aturan Descartes 1. Menentukan Akar Real Positif : V = banyaknya pergantian tanda koefisien ai pada P(x) Np = banyaknya akar real positif V – Np = 0, 2, 4, . . . 2. Menentukan Akar Real Negatif : V = banyaknya pergantian tanda koefisien ai pada P(-x) Ng = banyaknya akar real negatif V – Ng = 0, 2, 4, . . . 3. Menentukan batas-batas akar real positif/negatif R = 1 + max |ai/an| , i = 0,1,2…n-1 akar P(x) terletak pada -R < x <R