Pertemuan 10.

Presentasi berjudul: "Pertemuan 10."— Transcript presentasi:

1 Pertemuan 10

2 Turunan Tingkat Satu Polinomial Taylor untuk f(x) di sekitar x=x0
Misalkan x=x0+h, maka didapatkan Rumus Selisih Maju Dua Titik adalah galat dari hampiran fungsi

3 Turunan Tingkat Satu Misalkan x=x0-h Rumus Selisih Mundur Dua Titik

4 Turunan Tingkat Satu Rumus Selisih Pusat Dua Titik Orde O(h2):
O(h2) adalah galat dari hampiran fungsi Orde O(h4): O(h4) adalah galat dari hampiran fungsi

5 contoh Misalkan f(x)=exp(x). Hitunglah hampiran f’(1) dengan menggunakan rumus selisih maju, rumus selisih mundur, dan rumus selisih pusat untuk nilai-nilai h=0.2, 0.02, 0.002, Bandingkan galat untuk tiap rumusnya.

6 function [t,g]=turunan1(x,h)
deff('y=f(x)','y=exp(x)'); maj=(f(x+h)-f(x))./h; mun=(f(x)-f(x-h))./h; pus=(f(x+h)-f(x-h))./(2.*h); f(x); t=[maj;mun;pus] g=[abs(maj-f(x));abs(mun-f(x));abs(pus-f(x))] endfunction

7 Turunan Tingkat dua Rumus Selisih Maju

8 Turunan Tingkat dua Rumus Selisih Pusat

9 contoh Misalkan f(x) = exp(x). Hitunglah hampiran f’’(1) dengan menggunakan rumus selisih maju dan rumus selisih pusat untuk nilai-nilai h=0.1, 0.01, 0.001, Bandingkan galat untuk tiap rumusnya.

10 function [t,g]=turunan2(x,h) deff('y=f(x)','y=exp(x)'); maj=(f(x+2
function [t,g]=turunan2(x,h) deff('y=f(x)','y=exp(x)'); maj=(f(x+2*h)-2*f(x+h)+f(x))./h^2; pus=(f(x+2*h)-2*f(x)+f(x-2*h))./(4.*h^2); f(x); t=[maj;pus] g=[abs(maj-f(x));abs(pus-f(x))] endfunction

11 Turunan Tingkat Tinggi
Rumus Selisih Pusat Untuk penyederhanaan digunakan penulisan fk=f(x0+kh) dengan k = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

12 Integral Numerik

13 Kuadratur Newton-Cotes
Misalkan N=1,2,3,4, PN(x) adalah polinomial berderajat N yang menginterpolasikan f(x) pada [x0,xN]. Misalkan juga h>0, xk=x0+kh, serta fk=f(xk).

14 Contoh Misalkan dan diketahui lima absis pembentuk empat interval berjarak sama x0=0, xk=x0+k(0.5), k=1,2,3,4. Hitunglah kuadratur-kuadratur T2(f), S3(f), S4(f), dan B5(f).

15 function T=trape(a,b) deff('y=f(x)','y=1+((exp(-x)). (sin(4
function T=trape(a,b) deff('y=f(x)','y=1+((exp(-x))*(sin(4*x)))') h=b-a; T=(f(a)+f(b)).*h/2; endfunction

16 function [S3,S4,B]=integral(x0,h) deff('y=f(x)','y=1+((exp(-x))*(sin(4*x)))') S3=(f(x0)+4*f(x0+h)+f(x0+(2*h))).*h/3; S4=(f(x0)+3*f(x0+h)+3*f(x0+(2*h))+f(x0+(3*h))).*(3*h)/8; B=(7*f(x0)+32*f(x0+h)+12*f(x0+(2*h))+32*f(x0+(3*h)))*(2*h)/45; endfunction

17 Aturan Trapesium Hampiran jumlah kiri
Untuk menghitung dengan menggunakan hampiran jumlah kiri , dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut: Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1] sedemikian sehingga Buat persegi panjang pada [xi,xi+1] dengan tinggi f(xi) dan lebar , maka luas persegi panjang yang terbentuk adalah Jumlah luas persegi panjang tersebut merupakan hampiran integral yang diinginkan

18 Aturan Trapesium Hampiran jumlah kanan
Untuk menghitung dengan menggunakan hampiran jumlah kanan , dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut: Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1] sedemikian sehingga Buat persegi panjang pada [xi,xi+1] dengan tinggi f(xi+1) dan lebar , maka luas persegi panjang yang terbentuk adalah Jumlah luas persegi panjang tersebut merupakan hampiran integral yang diinginkan

19 Aturan Trapesium Hampiran titik tengah
Untuk menghitung dengan menggunakan hampiran titik tengah, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut: Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1] sedemikian sehingga Buat persegi panjang pada [xi,xi+1] dengan tinggi f(ti), dan lebar , maka luas persegi panjang yang terbentuk adalah Jumlah luas persegi panjang tersebut merupakan hampiran integral yang diinginkan

20 Hampiran kiri function y=trkiri(x0,x1,n) deff('y=f(x)','y=x^3') hasil=[]; c=abs((x1-x0)/n); x=[x0:c:x1]; y=0; for i=1:(length(x)-1), y=y+c*f(x(i)); hasil=[hasil;y]; end hasil endfunction

21 Hampiran kanan function y=trkanan(x0,x1,n) deff('y=f(x)','y=x^3') hasil=[]; c=abs((x1-x0)/n); x=[x0:c:x1]; y=0; for i=2:(length(x)), y=y+c*f(x(i)); hasil=[hasil;y]; end hasil endfunction

22 Hampiran tengah function y=trtengah(x0,x1,n) deff('y=f(x)','y=x^3') hasil=[]; c=abs((x1-x0)/n); x=[x0:c:x1]; y=0; for i=1:(length(x)-1), y=y+c*f(x(i)+(c/2)); hasil=[hasil;y]; end hasil endfunction

23 contoh Hitung dengan hampiran kanan, kiri, dan tengah.
(bagi interval menjadi 5) Hampiran kiri = 1600 Hampiran kanan = 3600 Hampiran tengah = 2450 Nilai sebenarnya = 2500

24 Aturan Trapesium Aturan trapesium majemuk
Untuk menghitung dengan menggunakan hampiran trapesium , dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut: Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1] sedemikian sehingga Buat trapesium pada [xi,xi+1] dengan sisi-sisi yang sejajar f(xi) dan f(xi+1) dan lebar , maka luas trapesium yang terbentuk adalah 3. Jumlah luas persegi panjang tersebut merupakan hampiran integral yang diinginkan

25 Trapesium majemuk function y=trmaje(x0,x1,n) deff('y=f(x)','y=x^3') hasil=[]; c=abs((x1-x0)/n); x=[x0:c:x1]; y=0; for i=1:(length(x)-1), y=y+c*(f(x(i))+f(x(i+1)))/2; hasil=[hasil;y]; end hasil endfunction