Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

BARISAN BILANGAN KOMPLEKS

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "BARISAN BILANGAN KOMPLEKS"β€” Transcript presentasi:

1 BARISAN BILANGAN KOMPLEKS
Disusun Oleh : KELOMPOK 6 Daud Akbar, Fauziah Nurul Hakiqi

2 Barisan Bilangan kompleks
Barisan bilangan kompleks merupakan fungsi yang memetakan setiap bilangan bulat positif n dengan suatu bilangan kompleks.

3 DEFINISI 1 Diberikan himpunan π΄βŠ†πΆ. Barisan bilangan kompleks suatu fungsi 𝑓 :ℕ→𝐴 yang didefinisikan 𝑓 𝑛 = 𝑧 𝑛 untuk setiap 𝑛 βˆˆβ„•. Nilai-nilai fungsi 𝑓 dengan 𝑓 𝑛 = 𝑧 𝑛 untuk seetiap 𝑛 ∈ β„• dapat dinyatakan dengan notasi 𝑓 1 = 𝑧 1, 𝑓 2 = 𝑧 2 , 𝑓 3 = 𝑧 3 , ….., 𝑓 𝑛 = 𝑧 𝑛 Fungsi 𝑓 dengan 𝑓 𝑛 = 𝑧 𝑛 untuk setiap 𝑛 βˆˆβ„• adalah suatu barisan yang dapat dinyatakan dengan notasi 𝑧 𝑛 ={ 𝑧 1 , 𝑧 2 , 𝑧 3 , …., 𝑧 𝑛 ,….}

4 Bilangan-bilangan 𝑧 1 , 𝑧 2 , 𝑧 3 , …
Bilangan-bilangan 𝑧 1 , 𝑧 2 , 𝑧 3 , …. Disebut suku-suku barisan dan suku 𝑧 𝑛 disebut suku umum (suku ke-𝑛) barisan sebagai contoh, fungsi 𝑓 dengan 𝑓 𝑛 = 𝑖 𝑛 untuk setiap 𝑛 βˆˆβ„• adalah suatu barisan yang dinotasikan dengan 𝑧 𝑛 = 𝑖, 𝑖 2 , 𝑖 3 , 𝑖 4 , …. ={𝑖, βˆ’1, βˆ’π‘–, 1, ….} Yang sering pula dinyatakan dengan { 𝑖 𝑛 }.

5 DEFINISI 2 Diberikan barisan bilangan kompleks 𝑧 𝑛 . Barisan 𝑧 𝑛 dikatakan konvergen ke 𝑧 jika dan hanya jika untuk setiap bilangan πœ€>0 terdapat bilangan asli 𝑛 0 sehingga jika 𝑛> 𝑛 0 berlaku 𝑧 𝑛 βˆ’π‘§ <πœ€. Bilangan kompleks 𝑧 yang memenuhi definisi diatas disebut limit barisan 𝑧 𝑛 . Notasi barisan 𝑧 𝑛 konvergen ke 𝑧 adalah 𝑧 𝑛 →𝑧 atau lim π‘›β†’βˆž 𝑧 𝑛 =𝑧

6 Kekonvergenan Barisan Bilangan Kompleks
TEOREMA 1 (Ketunggalan Limit): Jika suatu barisan bilangan kompleks konvergen, maka barisan tersebut mempunyai limit tunggal. Bukti: Andaikan lim π‘›β†’βˆž 𝑧 𝑛 = 𝑧 1 dan lim π‘›β†’βˆž 𝑧 𝑛 = 𝑧 2 dengan 𝑧 1 β‰  𝑧 2 . Diambil bilangan πœ€= 𝑧 1 βˆ’ 𝑧 2 >0 sembarang, terdapat bilangan asli 𝑛 0 sehingga jika 𝑛> 𝑛 0 berlaku 𝑧 𝑛 βˆ’ 𝑧 1 < 𝑧 1 βˆ’ 𝑧 2 dan 𝑧 𝑛 βˆ’ 𝑧 2 < 𝑧 1 βˆ’ 𝑧 2

7 Diperoleh 𝑧 1 βˆ’ 𝑧 2 = 𝑧 1 βˆ’ 𝑧 𝑛 +( 𝑧 𝑛 βˆ’ 𝑧 2 ) ≀ 𝑧 1 βˆ’ 𝑧 𝑛 + 𝑧 𝑛 βˆ’ 𝑧 2 < 𝑧 1 βˆ’ 𝑧 𝑧 1 βˆ’ 𝑧 2 = 𝑧 1 βˆ’ 𝑧 2 Hal ini mustahil terjadi. Ini berarti pengandaian 𝑧 1 β‰  𝑧 2 salah. Jadi haruslah 𝑧 1 = 𝑧 2 dengan kata lain lim π‘›β†’βˆž 𝑧 𝑛 tunggal.

8 Contoh: Selidiki kekonvergenan barisan berikut ini: 1+ 𝑧 𝑛 2π‘›βˆ’π‘– 𝑛+2𝑖

9 1+ 𝑧 𝑛 βˆ’1 = 𝑧 𝑛 = 𝑧 𝑛 <πœ€ untuk 𝑛> 𝑧 πœ€ .
Penyelesaian: a. Diberikan bilangan πœ€>0 sembarang. Diperoleh 1+ 𝑧 𝑛 βˆ’1 = 𝑧 𝑛 = 𝑧 𝑛 <πœ€ untuk 𝑛> 𝑧 πœ€ . Jadi terdapat bilangan asli 𝑛 0 > 𝑧 πœ€ sehhingga jika 𝑛> 𝑛 0 berlaku 1+ 𝑧 𝑛 βˆ’1 = 𝑧 𝑛 = 𝑧 𝑛 < πœ€ 𝑧 . 𝑧 =πœ€ Jadi barisan 1+ 𝑧 𝑛 konvergen ke 1.

10 b. Diberikan bilangan πœ€>0 sembarang
b. Diberikan bilangan πœ€>0 sembarang. Diperoleh 2π‘›βˆ’π‘– 𝑛+2𝑖 βˆ’2 = 2π‘›βˆ’π‘–βˆ’2π‘›βˆ’4𝑖 𝑛+2𝑖 = βˆ’π‘–βˆ’4𝑖 𝑛+2𝑖 = βˆ’5𝑖 𝑛+2𝑖 = 5 𝑛 2 +4 < 5 𝑛 <πœ€ (π‘ π‘’π‘π‘Žπ‘ 𝑛 2 +4 >𝑛) Untuk 𝑛> 5 πœ€ .

11 Jadi terdapat bilangan asli 𝑛 0 > 5 πœ€ sehingga jika 𝑛> 𝑛 0 berlaku
2π‘›βˆ’π‘– 𝑛+2𝑖 βˆ’2 = 2π‘›βˆ’π‘–βˆ’2π‘›βˆ’4𝑖 𝑛+2𝑖 = βˆ’π‘–βˆ’4𝑖 𝑛+2𝑖 = βˆ’5𝑖 𝑛+2𝑖 = 5 𝑛 < 5 𝑛 <5 . πœ€ 5 =πœ€ Jadi, barisan 2π‘›βˆ’π‘– 𝑛+2𝑖 konvergen ke 2.

12 TEOREMA 2: Diberikan 𝑧 𝑛 = π‘₯ 𝑛 + 𝑖𝑦 𝑛 untuk setiap π‘›βˆˆπ‘ dan 𝑧=π‘₯+𝑖𝑦. π‘™π‘–π‘š π‘›β†’βˆž 𝑧 𝑛 =𝑧 jika dan hanya jika π‘™π‘–π‘š π‘›β†’βˆž π‘₯ 𝑛 =π‘₯ dan π‘™π‘–π‘š π‘›β†’βˆž 𝑦 𝑛 =𝑦 . Bukti: Diberikan bilangan πœ€>0 diketahui lim π‘›β†’βˆž 𝑧 𝑛 =𝑧 , berarti terdapat bilangan asli 𝑛 0 sehingga 𝑛>𝑛 0 berlaku

13

14

15 Periksa kekonvergenan barisan 𝑧 𝑛 = 2𝑛 2 βˆ’2 𝑛 2 +4 βˆ’π‘– 5𝑛 𝑛 2 +4
Contoh 1: Periksa kekonvergenan barisan 𝑧 𝑛 = 2𝑛 2 βˆ’2 𝑛 2 +4 βˆ’π‘– 5𝑛 𝑛 2 +4 Penyelesaian Namakan 𝑧 𝑛 = π‘₯ 𝑛 + 𝑖𝑦 𝑛 dengan π‘₯ 𝑛= 2𝑛 2 βˆ’2 𝑛 dan 𝑦 𝑛= βˆ’ 5𝑛 𝑛 , sehingga diperoleh lim π‘›β†’βˆž π‘₯ 𝑛 = lim π‘›β†’βˆž 2𝑛 2 βˆ’2 𝑛 =2 lim π‘›β†’βˆž 𝑦 𝑛= lim π‘›β†’βˆž βˆ’ 5𝑛 𝑛 =0 Akibatnya lim π‘›β†’βˆž 𝑧 𝑛 = lim π‘›β†’βˆž π‘₯ 𝑛 + lim π‘›β†’βˆž 𝑦 𝑛 =2+𝑖.0=2 Jadi barisan 𝑧 𝑛 = 2𝑛 2 βˆ’2 𝑛 2 +4 βˆ’π‘– 5𝑛 𝑛 konvergen ke 2

16 Periksa kekonvergenan barisan 𝑧 𝑛 = 𝑛 2 +2 (π‘›βˆ’1) 𝑛 3 +5 +𝑖 𝑛 𝑛 3 +3
Contoh 2: Periksa kekonvergenan barisan 𝑧 𝑛 = 𝑛 2 +2 (π‘›βˆ’1) 𝑛 𝑖 𝑛 𝑛 3 +3 Penyelesaian Namakan 𝑧 𝑛 = π‘₯ 𝑛 + 𝑖𝑦 𝑛 dengan π‘₯ 𝑛= 𝑛 3 βˆ’ 𝑛 2 +2π‘›βˆ’2 𝑛 dan 𝑦 𝑛= 𝑛 𝑛 , sehingga diperoleh lim π‘›β†’βˆž π‘₯ 𝑛 = lim π‘›β†’βˆž 𝑛 3 βˆ’ 𝑛 2 +2π‘›βˆ’2 𝑛 =1 lim π‘›β†’βˆž 𝑦 𝑛= lim⁑ π‘›β†’βˆž 𝑛 𝑛 =0 Akibatnya lim π‘›β†’βˆž 𝑧 𝑛 = lim π‘›β†’βˆž π‘₯ 𝑛 + lim π‘›β†’βˆž 𝑦 𝑛 =1+𝑖.0=1 Jadi barisan 𝑧 𝑛 = 𝑛 2 +2 (π‘›βˆ’1) 𝑛 𝑖 𝑛 𝑛 konvergen ke 1

17 Periksa kekonvergenan barisan 𝑧 𝑛 = 𝑛+2 (2π‘›βˆ’3) 𝑛 2 +7 +𝑖 4 𝑛 2 𝑛 2 βˆ’3
Contoh 3: Periksa kekonvergenan barisan 𝑧 𝑛 = 𝑛+2 (2π‘›βˆ’3) 𝑛 𝑖 4 𝑛 2 𝑛 2 βˆ’3 Penyelesaian Namakan 𝑧 𝑛 = π‘₯ 𝑛 + 𝑖𝑦 𝑛 dengan π‘₯ 𝑛= 2𝑛 2 βˆ’3𝑛+4π‘›βˆ’6 𝑛 dan 𝑦 𝑛= 4 𝑛 2 𝑛 2 βˆ’3 , sehingga diperoleh lim π‘›β†’βˆž π‘₯ 𝑛 = lim π‘›β†’βˆž 2𝑛 2 βˆ’3𝑛+4π‘›βˆ’6 𝑛 =2 lim π‘›β†’βˆž 𝑦 𝑛= lim⁑ π‘›β†’βˆž 4 𝑛 2 𝑛 2 βˆ’3 =4 Akibatnya lim π‘›β†’βˆž 𝑧 𝑛 = lim π‘›β†’βˆž π‘₯ 𝑛 + lim π‘›β†’βˆž 𝑦 𝑛 =2+𝑖.4=2+4𝑖 Jadi barisan 𝑧 𝑛 = 𝑛+2 (2π‘›βˆ’3) 𝑛 𝑖 4 𝑛 2 𝑛 2 βˆ’3 konvergen ke 1+4i

18 TEOREMA 3: Diberikan barisan bilangan kompleks 𝑧 𝑛 . Barisan 𝑧 𝑛 konvergen jika dan hanya jika untuk setiap bilangan πœ€>0 sebarang terdapat bilangan asli 𝑛 0 sehingga π‘š,𝑛> 𝑛 0 berlaku 𝑧 π‘š βˆ’ 𝑧 𝑛 <πœ€ Bukti: Diberikan bilangan πœ€>0 sebarang. Misalkan barisan 𝑧 𝑛 konvergen ke 𝑧, berarti terdapat bilangan asli 𝑛 0 sehingga Jika 𝑛> 𝑛 0 berlaku 𝑧 𝑛 βˆ’π‘§ < πœ€ 2 dan jika π‘š> 𝑛 0 berlaku 𝑧 π‘š βˆ’π‘§ < πœ€ 2 Jadi terdapat bilangan asli 𝑛 0 sehingga jika π‘š,𝑛> 𝑛 0 berlaku 𝑧 π‘š βˆ’ 𝑧 𝑛 = 𝑧 π‘š βˆ’π‘§ +(π‘§βˆ’ 𝑧 𝑛 ) ≀ 𝑧 π‘š βˆ’π‘§ + π‘§βˆ’ 𝑧 𝑛 < πœ€ 2 + πœ€ 2 =πœ€

19 TEOREMA 4: π½π‘–π‘˜π‘Ž lim π‘›β†’βˆž 𝑧 𝑛 =𝑧 π‘‘π‘Žπ‘› lim π‘›β†’βˆž 𝑀 𝑛 =𝑀, π‘šπ‘Žπ‘˜π‘Ž


Download ppt "BARISAN BILANGAN KOMPLEKS"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google