Upload presentasi
Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu
1
BARISAN BILANGAN KOMPLEKS
Disusun Oleh : KELOMPOK 6 Daud Akbar, Fauziah Nurul Hakiqi
2
Barisan Bilangan kompleks
Barisan bilangan kompleks merupakan fungsi yang memetakan setiap bilangan bulat positif n dengan suatu bilangan kompleks.
3
DEFINISI 1 Diberikan himpunan π΄βπΆ. Barisan bilangan kompleks suatu fungsi π :ββπ΄ yang didefinisikan π π = π§ π untuk setiap π ββ. Nilai-nilai fungsi π dengan π π = π§ π untuk seetiap π β β dapat dinyatakan dengan notasi π 1 = π§ 1, π 2 = π§ 2 , π 3 = π§ 3 , β¦.., π π = π§ π Fungsi π dengan π π = π§ π untuk setiap π ββ adalah suatu barisan yang dapat dinyatakan dengan notasi π§ π ={ π§ 1 , π§ 2 , π§ 3 , β¦., π§ π ,β¦.}
4
Bilangan-bilangan π§ 1 , π§ 2 , π§ 3 , β¦
Bilangan-bilangan π§ 1 , π§ 2 , π§ 3 , β¦. Disebut suku-suku barisan dan suku π§ π disebut suku umum (suku ke-π) barisan sebagai contoh, fungsi π dengan π π = π π untuk setiap π ββ adalah suatu barisan yang dinotasikan dengan π§ π = π, π 2 , π 3 , π 4 , β¦. ={π, β1, βπ, 1, β¦.} Yang sering pula dinyatakan dengan { π π }.
5
DEFINISI 2 Diberikan barisan bilangan kompleks π§ π . Barisan π§ π dikatakan konvergen ke π§ jika dan hanya jika untuk setiap bilangan π>0 terdapat bilangan asli π 0 sehingga jika π> π 0 berlaku π§ π βπ§ <π. Bilangan kompleks π§ yang memenuhi definisi diatas disebut limit barisan π§ π . Notasi barisan π§ π konvergen ke π§ adalah π§ π βπ§ atau lim πββ π§ π =π§
6
Kekonvergenan Barisan Bilangan Kompleks
TEOREMA 1 (Ketunggalan Limit): Jika suatu barisan bilangan kompleks konvergen, maka barisan tersebut mempunyai limit tunggal. Bukti: Andaikan lim πββ π§ π = π§ 1 dan lim πββ π§ π = π§ 2 dengan π§ 1 β π§ 2 . Diambil bilangan π= π§ 1 β π§ 2 >0 sembarang, terdapat bilangan asli π 0 sehingga jika π> π 0 berlaku π§ π β π§ 1 < π§ 1 β π§ 2 dan π§ π β π§ 2 < π§ 1 β π§ 2
7
Diperoleh π§ 1 β π§ 2 = π§ 1 β π§ π +( π§ π β π§ 2 ) β€ π§ 1 β π§ π + π§ π β π§ 2 < π§ 1 β π§ π§ 1 β π§ 2 = π§ 1 β π§ 2 Hal ini mustahil terjadi. Ini berarti pengandaian π§ 1 β π§ 2 salah. Jadi haruslah π§ 1 = π§ 2 dengan kata lain lim πββ π§ π tunggal.
8
Contoh: Selidiki kekonvergenan barisan berikut ini: 1+ π§ π 2πβπ π+2π
9
1+ π§ π β1 = π§ π = π§ π <π untuk π> π§ π .
Penyelesaian: a. Diberikan bilangan π>0 sembarang. Diperoleh 1+ π§ π β1 = π§ π = π§ π <π untuk π> π§ π . Jadi terdapat bilangan asli π 0 > π§ π sehhingga jika π> π 0 berlaku 1+ π§ π β1 = π§ π = π§ π < π π§ . π§ =π Jadi barisan 1+ π§ π konvergen ke 1.
10
b. Diberikan bilangan π>0 sembarang
b. Diberikan bilangan π>0 sembarang. Diperoleh 2πβπ π+2π β2 = 2πβπβ2πβ4π π+2π = βπβ4π π+2π = β5π π+2π = 5 π 2 +4 < 5 π <π (π ππππ π 2 +4 >π) Untuk π> 5 π .
11
Jadi terdapat bilangan asli π 0 > 5 π sehingga jika π> π 0 berlaku
2πβπ π+2π β2 = 2πβπβ2πβ4π π+2π = βπβ4π π+2π = β5π π+2π = 5 π < 5 π <5 . π 5 =π Jadi, barisan 2πβπ π+2π konvergen ke 2.
12
TEOREMA 2: Diberikan π§ π = π₯ π + ππ¦ π untuk setiap πβπ dan π§=π₯+ππ¦. πππ πββ π§ π =π§ jika dan hanya jika πππ πββ π₯ π =π₯ dan πππ πββ π¦ π =π¦ . Bukti: Diberikan bilangan π>0 diketahui lim πββ π§ π =π§ , berarti terdapat bilangan asli π 0 sehingga π>π 0 berlaku
15
Periksa kekonvergenan barisan π§ π = 2π 2 β2 π 2 +4 βπ 5π π 2 +4
Contoh 1: Periksa kekonvergenan barisan π§ π = 2π 2 β2 π 2 +4 βπ 5π π 2 +4 Penyelesaian Namakan π§ π = π₯ π + ππ¦ π dengan π₯ π= 2π 2 β2 π dan π¦ π= β 5π π , sehingga diperoleh lim πββ π₯ π = lim πββ 2π 2 β2 π =2 lim πββ π¦ π= lim πββ β 5π π =0 Akibatnya lim πββ π§ π = lim πββ π₯ π + lim πββ π¦ π =2+π.0=2 Jadi barisan π§ π = 2π 2 β2 π 2 +4 βπ 5π π konvergen ke 2
16
Periksa kekonvergenan barisan π§ π = π 2 +2 (πβ1) π 3 +5 +π π π 3 +3
Contoh 2: Periksa kekonvergenan barisan π§ π = π 2 +2 (πβ1) π π π π 3 +3 Penyelesaian Namakan π§ π = π₯ π + ππ¦ π dengan π₯ π= π 3 β π 2 +2πβ2 π dan π¦ π= π π , sehingga diperoleh lim πββ π₯ π = lim πββ π 3 β π 2 +2πβ2 π =1 lim πββ π¦ π= limβ‘ πββ π π =0 Akibatnya lim πββ π§ π = lim πββ π₯ π + lim πββ π¦ π =1+π.0=1 Jadi barisan π§ π = π 2 +2 (πβ1) π π π π konvergen ke 1
17
Periksa kekonvergenan barisan π§ π = π+2 (2πβ3) π 2 +7 +π 4 π 2 π 2 β3
Contoh 3: Periksa kekonvergenan barisan π§ π = π+2 (2πβ3) π π 4 π 2 π 2 β3 Penyelesaian Namakan π§ π = π₯ π + ππ¦ π dengan π₯ π= 2π 2 β3π+4πβ6 π dan π¦ π= 4 π 2 π 2 β3 , sehingga diperoleh lim πββ π₯ π = lim πββ 2π 2 β3π+4πβ6 π =2 lim πββ π¦ π= limβ‘ πββ 4 π 2 π 2 β3 =4 Akibatnya lim πββ π§ π = lim πββ π₯ π + lim πββ π¦ π =2+π.4=2+4π Jadi barisan π§ π = π+2 (2πβ3) π π 4 π 2 π 2 β3 konvergen ke 1+4i
18
TEOREMA 3: Diberikan barisan bilangan kompleks π§ π . Barisan π§ π konvergen jika dan hanya jika untuk setiap bilangan π>0 sebarang terdapat bilangan asli π 0 sehingga π,π> π 0 berlaku π§ π β π§ π <π Bukti: Diberikan bilangan π>0 sebarang. Misalkan barisan π§ π konvergen ke π§, berarti terdapat bilangan asli π 0 sehingga Jika π> π 0 berlaku π§ π βπ§ < π 2 dan jika π> π 0 berlaku π§ π βπ§ < π 2 Jadi terdapat bilangan asli π 0 sehingga jika π,π> π 0 berlaku π§ π β π§ π = π§ π βπ§ +(π§β π§ π ) β€ π§ π βπ§ + π§β π§ π < π 2 + π 2 =π
19
TEOREMA 4: π½πππ lim πββ π§ π =π§ πππ lim πββ π€ π =π€, ππππ
Presentasi serupa
© 2024 SlidePlayer.info Inc.
All rights reserved.