Pertemuan 8 MATRIK.

Presentasi berjudul: "Pertemuan 8 MATRIK."— Transcript presentasi:

1 Pertemuan 8 MATRIK

2 Matrik Definisi : Matrik adalah kumpulan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom memiliki 2 baris & 3 contoh: A = kolom, disebut matrik 2 x 3 Matrik yang memiliki satu baris disebut vektor baris Matrik yang memiliki satu kolom disebut vektor kolom

3 Entry/elemen dari Matrik A a11=2, a12 =1, a13=0, a21=3, a22=4, a23=5
Contoh : Vektror Baris  ; Vektor Kolom  2 3 4 Bilangan2 yg ada dalam matrik disebut entri atau elemen (berdasarkan baris dan kolom) Notasi Matrik = Huruf Besar dan entri / elemen = huruf kecil. Atau A = [ ajk ] A = Entry/elemen (2,1) dari Matrik A adalah 3 A = Entry/elemen dari Matrik A a11=2, a12 =1, a13=0, a21=3, a22=4, a23=5

4 A. PERSAMAAN MATRIKS 2 x1 + 3 x2 – x3 = 5 4 x1 + 4 x2 – 3 x3 = 3
Sistem persamaan : Dapat dijabarkan 2 x1 + 3 x2 – x3 = 5 4 x1 + 4 x2 – 3 x3 = 3 2 x1 + 3 x x3 = -1 A = = Koefisien matriks

5 = vektor dari sisi kanan
x1 x = x2 x3 = vektor dari variabel yg tdk diketahui 5 b = 3 -1 = vektor dari sisi kanan Kemudian sistem ini dapat dituliskan sebagai Ax = b

6 a11x1 + a12x2 + ....+ a1n Xn = b1 a22x1 + a22x2 + ....+ a2n Xn = b2
Secara umum, jika terdapat suatu sistem yang terdiri dari sejumlah m persamaan dgn n vaariabel yang tidak diketahui dituliskan sebagai berikut a11x1 + a12x a1n Xn = b1 a22x1 + a22x a2n Xn = b2 : : : am1x1 + am2x amn Xn = bm

7 x1 x2 : x3 x = b1 b2 : bm b = A = a11 a12 .... a1n a21 a22 .... a2n
Dapat ditulis dalam bentuk matriks Ax = b x1 x2 : x3 x = b1 b2 : bm b = A = a11 a a1n a21 a a2n : : am1 am2 ....amn Disini A adalah matrik m x n, x adalah n x 1, b adalah matrik m x 1. Perhatikan bahwa aij = elemen A pd interseksi antara baris ke-i dan kolom ke-j. Dimensi atau ukuran matrik A ( m x n ) disebut juga sebagai orde A

8 Matrik yang sama contoh: A = a11 a12 a22 a22 = B = 4 0 3 -1
Dua matrik A = [ ajk ] dan B = [ bjk] dikatakan sama jika dan hanya jika A dan B memiliki jumlah baris dan kolom yang sama dan elemen2 yang ada didalamnya adlah sama yaitu : ajk = bjk , untuk semua j dan k sehingga dapat ditulis bahwa: A = B contoh: A = a11 a12 a22 a22 = B = 4 0 3 -1 a11 = 4, a12 = 0 a22 = 3, a22 = -1 Jika dan hanya jika :

9 Penjumlahan Matriks Jika : A = -4 6 3 0 1 2 = B = 5 -1 0 3 1 0 Maka :
Hanya dapat dilakukan pada matriks2 yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Jumlah dua matriks m x n, A = [ajk] dan B = [bjk] dituliskan : A + B Maka : ajk + bjk j = 1,...,m; k = 1,...,n Jika : A = = B = Maka : A + B =

10 Sifat - sifat Penjumlahan Matriks
A + B = B + A (U+V) + W = U + (V+W) atau (U+V+W) A + 0 = A A + (-A) = 0 Keterangan: -A = [- ajk ] adl matrik m x n yang diperoleh dengan mengalikan tiap elemen di A dgn -1 dan disebut sbg negatif dari A Untuk A + (-B), lebih sering dituliskan sbg A-B, dan disebut matrik pembeda antara A & B

11 Perkalian matrik dgn skalar (bilangan)
Hasil perkalian antara matrik m x n A = [ajk] dgn sebuah skalar [dituliskan cA (atau Ac)] diperoleh dgn mengalikan elemen2 di A dgn c: cA = Ac = ca11 ca ca1n ca22 ca ca2n : : cam1 cam2 ....camn

12 Contoh : 2,7 -1,8 Jika : A = Maka : 0,9 3,6 5,4 -3,6 A + A = 2A = A =
2,7 -1,8 0,9 3,6 Jika : Maka : A + A = 2A = A = 5,4 -3,6 1,8 7,2 Sifat-sifat perkalian matrik dgn skalar : c(A + B) = cB + cA (c + k)A = cA + kA c ( kA ) = ( ck ) A atau ( ckA ) 1A = A Keterangan : (-1)A = -A, disebut negatif dari A

13 Perkalian antar matriks
Langkah pertama adalah menuliskan persamaan dalam bentuk Ax = , yaitu : b1 b2 : bm = a11 a a1n a22 a a2n : : am1 am2 ....amn x1 x2 : x3 Selanjutnya mengalikan Ax

14 Matriks hasil berorde m x l
Ax = a11 x a1nxn a21 x a2n xn : : am1 x amn xn Syarat untuk melakukan perkalian matriks : Jumlah kolom A = jumlah baris x Jadi : A x = b (m x n) (n x l ) m x l) equal Matriks hasil berorde m x l

15 Sifat –sifat perkalian matrik
Assosiatif dan Distributif (kA)B = k(AB) = atau (kAB) atau (AkB) A(BC) = (AB)C atau (ABC) (A+B)C = AC + BC C(A+B) = CA + CB Tidak Komutatif : AB tdk sama dgn BA Jika AB = 0, maka tdk berarti bahwa A = 0 atau B = 0 atau BA = 0

16 Matrik – Matriks Khusus
Matrik Square adalah matrik yang mempunyai jumlah kolom dan baris yg sama. Jika B adalah matrik square, maka entry/elemen ajj adalah diagonal utama dari B. Contoh: B = => Diagonal utama: b11= 4, b22= 1, b33= 7

17 Matrik Tringular adalah matrik square yang seluruh elemen yang berada diatas atau dibawah diagonal utama adalah nol. Uppper Lower

18 Matrik Diagonal adalah matrik square yang seluruh elemen yang berada diatas dan dibawah diagonal utama adalah nol. 1 0 0 2

19 c 0 .. 0 0 c .. : : : . : S = 0 0 .. c Sifat : AS = SA = cA
Matrik Scalar adalah matrik diagonal yang seluruh elemen berada di diagonal utama adalah sama S = c 0 c : : : : c Sifat : AS = SA = cA

20 Matrik Satuan atau Matrik Identitas
adalah matrik diagonal yang seluruh elemen yang berada di diagonal utama adalah 1. I = : : : : Sifat : AI = IA = A

21 Sifat : A + 0 = 0 + A = A  notasi 0 m x n A – A = 0; A0 = 0; 0A = 0
Matrik Nol adalah matrik yang semua elemen/entry-nya adalah nol. Notasi “0” digunakan untuk mendeskripsikan matrik nol. 0 = ; 0 = ( ) Sifat : A + 0 = 0 + A = A  notasi 0 m x n A – A = 0; A0 = 0; 0A = 0

22 Daftar Pustaka Advanced Engineering Mathematic, chapter 8
Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Edisi Penerbit Interaksara. Jakarta Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi Penerbit Interaksara. Jakarta Noor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar Linear