MOMEN DAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

Presentasi berjudul: "MOMEN DAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN"— Transcript presentasi:

1 MOMEN DAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN
Materi Pokok 10 MOMEN DAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN Momen ke r Peubah Acak X di sekitar titik asal, dengan r = 0,1,2,… Untuk X diskrit dengan f peluang f(x)

2 Untuk X kontinu dengan f kepekatan f (x)
Untuk r = 2, Momen Pusat ke r di sekitar Rataan

3 Untuk r = 2 Untuk r = 3 Untuk p.a x diskrit Untuk p.a x kontinu

4 Untuk r = 4 Simpangan Rata-rata = MD

5 Fungsi pembangkit momen = Mx(t) = M (t)
Definisi Fungsi pembangkit momen peubah acak X diberikan oleh E (etx) dan ditandai dengan Mx(t) = M (t) Dengan deret Taylor

6 Turunan ke r dari Mx(t) terhadap peubah t menjadi:
Beberapa Teorema Fungsi Pembangkit Momen Jika Mx(t) adalah fungsi pembangkit momen peubah acak X dan a dan b (b  0) adalah konstanta maka: Mx + a (t) = eat Mx (t) Max (t) = Mx (at) M(x + a) / b (t) = eat/b Mx (t/b)

7 Jika X1, X2, ….., Xn merupakan peubah acak bebas dengan fungsi pembangkit momen MX1 (t), MX2 (t), ….., MXn (t) dan Y = X1 + X2 + ….. + Xn, maka MY (t) = MX1 (t). MX2 (t) ….. MXn (t) Jika X1, X2, ….., Xn merupakan peubah acak normal bebas yang mempunyai sebaran normal dengan nilai tengah 1, 2, ….., n dan ragam , maka peubah acak Y = a1 X1 + a2 X2 + ….. + an Xn mempunyai sebaran normal dengan nilai tengah Y = a1 1 + a2 2 + ….. + an n Untuk n = 2 Y = a1 X1 + a2 X2 My (t) = Ma1 X1 (t). Ma2 X2 (t), Y = normal

8 Merupakan sebaran normal dengan nilai tengah a1 1 + a2 2 dan ragam
Fungsi karakteristik = x () = Mx (i) i = bilangan imaginer x (i) = Mx (i) = E (e iX) Deret Taylor

9 Teorema Jika x() adalah fungsi kharakteristik peubah acak X dan a dan b (b  0) konstan, maka fungsi karakteristik dari (x + a) /b adalah Jika X dan Y bebas dengan fungsi kharakteristik x() dan y(), maka x + y() = x() y() Keunikan : Ambil X dan Y peubah acak dengan fungsi kharakteristik x() dan y(), maka X dan Y mempunyai fungsi peluang yang sama jika dan hanya jika x() = y()

10 Fungsi kharakteristik merupakan transformasi Fourier dari fungsi kepekatan f(x):
disebut inversi transformasi Fourier. Rumus Euler: e i = cos  + i sin  e -i = cos  - i sin  Cos  = (ei + e -i)