SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT

Presentasi berjudul: "SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT"— Transcript presentasi:

1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
Choirudin, M.Pd

2 A. Sistem Persamaan Linear Dua Peubah
Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel dengan variabel x dan y adalah: dengan a, b, c, p, q, dan r bilangan real.

3 1. Pengertian Penyelesaian Sistem Persamaan
Pasangan x = x0, y = y0 atau (x0, y0) dikatakan penyelesaian suatu sistem persamaan linear dua variabel apabila pasangan tersebut memenuhi sistem persamaan itu. Memenuhi artinya jika disubstitusikan, maka nilai ruas kiri = nilai ruas kanan. Contoh Nyatakan apakah setiap pasangan nilai x dan y berikut merupakan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel yang diberikan atau bukan! x = 3, y = 2 untuk sistem persamaan x + 2y = 7, 2x ‒ 3y = 0. x = 2, y = ‒ 1 untuk sistem persamaan 2x + 3y = 1, x + 2y = 4.

4 a. Substitusikan x = 3, y = 2 ke kedua persamaan
= 7 2.3 ‒ 3.2 = 0 3 + 4 = 7 6 ‒ 6 = 0 7 = 7 0 = 0 Karena x = 3, y = 2 memenuhi kedua persamaan, maka pasangan tersebut merupakan penyelesaian. b. Substitusikan x = 2, y = ‒1 ke kedua persamaan. 2x + 3y = 7 x + 2y = 4 (‒1) = 1 2 + 2(‒1) = 4 4 ‒ 3 = 1 2 ‒ 2 = 4 1 = 1 0 = 4 Karena x = 2, y = ‒1 tidak memenuhi ke salah satu persamaan, maka pasangan tersebut bukan merupakan penyelesaian.

5 Sistem persamaan linear dua variabel dapat diselesaikan dengan beberapa cara. Mengubah sistem persamaan linear dua variabel menjadi persamaan satu variabel dapat dilakukan dengan menggunakan metode eliminasi, metode substitusi, atau metode gabungan eliminasi-substitusi. Cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah dengan metode grafik.

6 2. Metode Substitusi Langkah-langkah menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode substitusi adalah sebagai berikut. 1. Tulis salah satu persamaan menjadi y = ... atau x = ... 2. Substitusikan ke persamaan kedua, kemudian selesaikan. 3. Substitusikan nilai yang diperoleh pada langkah (2) untuk mendapatkan nilai variabel yang lain.

7 Contoh Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut menggunakan metode substitusi! x ‒ 4y = 13 2x + 3y = ‒7 1. Tulis salah satu persamaan menjadi y = ... atau x = ... x ‒ 4y = 13 ↔ x = 4y + 13 2. Substitusikan ke persamaan kedua, kemudian selesaikan. Substitusikan x = 4y ke 2x + 3y = ‒7 maka diperoleh (4y + 13) + 3y = ‒7 8y y = ‒7 11y = ‒33 y = ‒3

8 3. Substitusikan nilai yang diperoleh pada langkah (2) untuk mendapatkan nilai variabel yang lain.
Substitusikan y = ‒3 ke x = 4y + 13, maka diperoleh x = 4(‒3) + 13 = 1 Jadi nilai x = 1 dan y = ‒3.

9 3. Metode eliminasi Mengubah sistem persamaan linear dua variabel menjadi sebuah persamaan linear satu variabel dapat juga dilakukan dengan mengeliminir (menghilangkan) satu variabel untuk menentukan nilai variabel yang lainnya. Langkah-langkah menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode eliminasi adalah sebagai berikut. 1. Perhatikan koefisien x (atau y). Jika sama, kurangi persamaan yang satu oleh persamaan yang lain. Jika angkanya sama tetapi tandanya berbeda, jumlahkan kedua persamaan itu. 2. Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisiennya dengan mengalikan kedua persamaan dengan bilangan yang sesuai, kemudian jumlahkan atau kurangkan seperti pada langkah 1.

10 Contoh Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut menggunakan metode eliminasi! 5x + 3y = 2 3x ‒ 2y = 5 5x = ‒3y + 2 2y = 3x ‒ 5 diubah menjadi Mengeliminasi variabel y Mengeliminasi variabel x Jadi x = 1 dan y = ‒1.

11 4. Metode eliminasi-substitusi (gabungan)
Dalam metode ini, nilai variabel pertama dicari dengan metode eliminasi, sedangkan nilai variabel kedua diperoleh dengan metode substitusi. Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari

12 5. Metode grafik Misalkan grafik persamaan dari ax + by = c dan px + qy = r digambarkan sebagai berikut. Dalam metode grafik, penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel adalah titik potong kedua garis dari persamaan-persamaan linear. Pada gambar disamping, yaitu A(xo, yo)

13 Contoh Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut ini dengan metode grafik Pada gambar grafik, garis 2x + 3y = 12 dan ‒x + y = ‒1 berpotongan pada x = 3 dan y = 2. Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah {(3,2)}.

14 Sistem persamaan linear tersebut jika digambarkan dengan dua garis lurus dalam satu bidang Cartesius akan memiliki 3 kemungkinan, yaitu: Kedua garis berpotongan, sehingga mempunyai satu penyelesaian Kedua garis sejajar, sehingga tidak mempunyai penyelesaian Kedua garis berimpit, sehingga mempunyai tak hingga penyelesaian

15 B. Sistem Persamaan Linear Tiga Peubah
Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel dengan variabel x, y, z adalah: dengan ai, bi, ci, di bilangan real; i = 1, 2, 3. Apabila nilai-nilai yang memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel adalah x0, y0, dan z0, maka himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear di atas adalah { ( x0, y0, z0) }. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel yaitu dengan metode gabungan eliminasi-substitusi

16 Contoh Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi sistem persamaan:

17 Lanjutan Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1, y = 0, dan z = ‒2

18 C. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat
Bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dengan variabel x dan y adalah: dengan a, b, p, q, dan r bilangan real. Dalam menyelesaikan sistem persamaan ini dapat digunakan dua cara yaitu metode substitusi dan metode grafik

19 Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari: Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(‒4, 0), (3, 7)}

20 Apabila contoh sebelumnya diselesaikan menggunakan metode grafik, maka akan diperoleh grafik yang saling berpotongan antara garis y = x + 4 dengan parabola y = x2 + 2x ‒ 8, seperti gambar di bawah ini

21 Dari beberapa contoh di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel: y = ax + b y = px2 + qx + r yang setelah diproses substitusi menjadi px2 + (q ‒ a)x + (r ‒ b) = 0 1. Memiliki dua penyelesaian jika diskriminan px2 + (q ‒ a)x + (r ‒ b) = 0 lebih dari nol. (D > 0) kurva memotong di dua titik. 2. Memiliki satu penyelesaian jika diskriminan px2 + (q ‒ a)x + (r ‒ b) = 0 sama dengan nol. (D = 0) garis dan parabola saling menyinggung . 3. Tidak memiliki penyelesaian jika diskriminan px2 + (q ‒ a)x + (r ‒ b) = 0 sama dengan nol. (D < 0) garis dan parabola tidak saling menyentuh

22 D. Sistem Persamaan Kuadrat
Bentuk umum sistem persamaan kuadrat dengan variabel x dan y adalah: dengan a, b, c, p, q, dan r bilangan real Dalam menyelesaikan sistem persamaan ini dapat digunakan metode-metode yang telah kita pelajari sebelumnya.

23 Perhatikan gambar di bawah! Misalkan parabola 1 dan parabola 2
merupakan parabola-parabola dari sistem persamaan kuadrat: Memiliki satu penyelesaian, jika (1) dan (2) saling menyinggung dan diskriminannya sama dengan nol (D = 0)

24 Memiliki dua penyelesaian, jika (1) dan (2) saling berpotongan dan diskriminannya lebih dari nol (D > 0) Memiliki tak hingga penyelesaian, jika (1) dan (2) saling berimpit

25 Tidak memiliki penyelesaian, jika (1) dan (2) tidak saling berpotongan dan diskriminannya lebih kecil dari nol. (D < 0)

26 Contoh Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan: Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, 0), (6, 12)}.

27 E. Sistem Persamaan Bentuk Aljabar Berderajat Dua dengan Dua variabel
Bentuk umum dari sistem-sistem persamaan tersebut di antaranya: dengan a, b, c, d, e, f, p, q, r, s, t dan u bilangan real Langkah pertama untuk menyelesaikan sistem persamaan ini adalah dengan mengubah sistem persamaan itu menjadi persamaan satu variabel, lalu diselesaikan dengan metode substitusi, eliminasi, gabungan ataupun grafik.

28 Contoh Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan: Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 3) (‒ 3, ‒4)}.

29 F. Penerapan Konsep Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat dalam Pemecahan Masalah
Konsep sistem persamaan linear dan kuadrat banyak diterapkan dalam memecahkan suatu masalah. Masalah tersebut biasanya ditampilkan dalam bentuk soal cerita. Sehingga langkah pertama untuk menyelesaikannya adalah menerjemahkan kalimat-kalimat pada soal cerita menjadi model matematika yang menggunakan sistem persamaan.

30 Contoh Dengan uang sebesar Rp ,00, Rani telah membeli 2 buku, 3 pulpen, dan 4 penggaris di sebuah toko. Di toko yang sama, Riko telah membeli 1 buku, 2 pulpen, dan 1 penggaris dengan uang sebesar Rp ,00. Begitupun Rini, dengan uang sebesar Rp ,00, dia telahmembeli 2 buku dan sebuah pensil. Tentukanlah harga sebuah buku, pulpen, dan penggaris! Pembahasan Misalkan: harga sebuah buku = x rupiah harga sebuah pulpen = y rupiah harga sebuah penggaris = z rupiah

31 Lanjutan Model matematika dari persoalan di atas adalah : Mengeliminasi z dari (1) dan (2) Mengeliminasi x dari (3) dan (4)

32 Lanjutan Substitusikan y = 3.000 Substitusikan x = dan y = ke x + 2y + z = Jadi, harga sebuah buku, pulpen, dan penggaris berturut-turut adalah Rp5.000,00; Rp3.000,00; dan Rp2.000,00.

33 Latihan Kerjakan latihan Sistem Persamaan Linier Halaman 15