RUANG VEKTOR dan SUBRUANG VEKTOR

Presentasi berjudul: "RUANG VEKTOR dan SUBRUANG VEKTOR"— Transcript presentasi:

1 RUANG VEKTOR dan SUBRUANG VEKTOR
(VECTOR SPACE & SUBSPACE)

2 TUJUAN Mahasiswa akan dapat membuktikan bahwa suatu sistem adalah ruang vektor dan subspace

3 Cakupan Ruang Vektor Subspace

4 DEFINISI Ruang vektor V atas field skalar K adalah himpunan tak kosong dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang bersifat sbb.

5 Ciri Ruang Vektor Tertutup terhadap penjumlahan vektor dan perkalian skalar Komutatif penjumlahan vektor Asosiatif penjumlahan vektor Ada vektor 0 yang berlaku sbg unkes penjumlahan vektor Ada vektor –v yang berlaku sbg invers aditif dari v k(u+v) = k.u+k.v (k+m)u = ku+mu (km)u = k(mu) 1u=u, 1K Semua ini untuk setiap u,v  V dan setiap k,mK

6 Beberapa contoh Manakah yang merupakan ruang vektor?
Ruang R1, R2, R3, …., Rn atas field riil Himpunan polinomial riil: p(t)=a0+a1t+a2t2+….+antn atas field riil Himpunan matriks 2x2 atas field riil Himpunan matriks mxn atas field riil V={(a,b)} atas field riil dengan operasi-operasi: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), k(a,b)=(ka,b) (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), k(a,b)=(ka,kb) (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), k(a,b)=(k2a,k2b)

7 SUBSPACE = Ruang Vektor Bagian
Misal V ruang vektor atas field K. W adalah subspace dari V, bila W  V, W tak kosong dan W sendiri merupakan ruang vektor atas field K. Atau W adalah subspace dari ruang vektor V atas field K, jika W dan berlaku kw1+mw2  W, untuk setiap w1,w2W dan setiap k,m  K.

8 Sifat-sifat Irisan dua subspace juga merupakan subspace atas field yang sama. Gabungan dua subspace merupakan subspace bila yang satu terkandung dalam yang lain.

9 Contoh-contoh Manakah yang subspace: V=R3, W={(a,b,c), a,b riil}
V=R3, W={(a,2b,3c), a,b,c riil} V=R3, W={(a,b,c), a=b=c} V=R3, W= kumpulan bidang di R3 yang melalui (0,0,0) V=R3, W={(a,b,c), a+b+c=0} 6. V=R3, W={(a,b,c), a2+b2+c2  1, a,b,c riil} 7. V=R3, W={(a,b,c), a.b.c rasional}

10 Penutup Ruang Vektor harus memenuhi 9 sifat tertentu. Apa sajakah?
Subspace: bagian dari ruang vektor yang juga merupakan ruang vektor.