Suku Banyak dan Teorema Faktor Kelas XI IPA/IPS Semester 2.

Presentasi berjudul: "Suku Banyak dan Teorema Faktor Kelas XI IPA/IPS Semester 2."— Transcript presentasi:

1 Suku Banyak dan Teorema Faktor Kelas XI IPA/IPS Semester 2

2 STANDAR KOMPETENSI KOMPETENSI DASAR
Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah KOMPETENSI DASAR Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah

3 INDIKATOR Menentukan faktor, akar-akar serta jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan sukubanyak

4 Teorema Faktor Jika f(x) adalah sukubanyak;
(x – k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika P(k) = 0

5 Jika (x – k) merupakan faktor, maka nilai P(k) = 0
Artinya: Jika (x – k) merupakan faktor, maka nilai P(k) = 0 sebaliknya, 2. jika P(k) = 0 maka (x – k) merupakan faktor

6 Contoh 1: Tunjukan (x + 1) faktor dari x3 + 4x2 + 2x – 1 Jawab: (x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0 P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1 = – 2 – 1 = 0 Jadi, (x + 1) adalah faktornya.

7 Cara lain untuk menunjukan (x + 1) adalah faktor dari
x3 + 4x2 + 2x – 1 adalah dengan pembagian horner: koefisien -1 1 Suku banyak -1 -3 1 + 3 -1 P(-1) = 0 berarti (x + 1) faktornya artinya dikali (-1)

8 Contoh 2: Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6 Jawab: Misalkan faktornya (x – k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat dari 6, yaitu

9 pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k itu kita substitusikan ke P(x), misalnya k = 1 diperoleh: P(1) = 2.13 – 1.12 – = 2 – 1 – 7 + 6 = 0

10 (x – 1) adalah salah satu faktor dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6
Oleh karena P(1) = 0, maka (x – 1) adalah salah satu faktor dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6 Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x) oleh (x – 1) dengan pembagian horner:

11 Hasil baginya: H(x) = 2x2 + x - 6 2 1 -6 + 2 1 -6
Koefisien sukubanyak P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6 adalah k = 1 Hasil baginya: H(x) = 2x2 + x - 6 2 1 -6 + 2 1 -6 Koefisien hasil bagi

12 Karena hasil baginya adalah
H(x) = 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2) dengan demikian 2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6) 2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2) Jadi faktor-faktornya adalah (x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)

13 Diketahui (x – 2) adalah faktor P(x) = 2x3 + x2 + ax - 6.
Contoh 3: Diketahui (x – 2) adalah faktor P(x) = 2x3 + x2 + ax - 6. Salah satu faktor yang lainnya adalah…. a. x + 3 b. x – 3 c. x – 1 d. 2x – 3 e. 2x + 3

14 Jawab: Kita tentukan terlebih dahulu koefisien x2 yaitu a = ? Jika (x – 2) faktornya P(x) maka P(2) = 0  a - 6 = 0 a - 6 = 0 2a + 14 = 0 2a = -14  a = -7

15 6 4 10 + 2 5 3 P(x) = 2x3 + x2 - 7x - 6 berarti koefisien P(x) adalah
k = 2 Hasil baginya: H(x) = 2x2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1) Jadi faktor yang lain adalah 2x + 3 6 4 10 + 2 5 3 Koefisien hasil bagi

16 Contoh 4: a. 5 b. 6 c. 7 d.8 e.9 Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2
mempunyai faktor (x – 1). Jika dibagi oleh (x + 2) bersisa -36, maka nilai a + b adalah…. a b c d.8 e.9

17 Jawab: (-2)3 – a(-2)2 + b(-2) – 2 = -36
Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2 (x – 1) faktor f(x) → f(1) = 0 1 – a + b – 2 = 0 -a + b = 1….(1) dibagi (x + 2) bersisa -36, f(-2) = -36 (-2)3 – a(-2)2 + b(-2) – 2 = -36

18 (-2)3 – a(-2)2 + b(-2) – 2 = -36 - 8 – 4a – 2b – 2 = -36 - 4a – 2b = -4a – 2b = -26 2a + b = 13….(2)

19 Persamaan (1): -a + b = 1 Persamaan (2): 2a + b = 13 -3a = -12 a = 4 b = = 5 Jadi nilai a + b = = 9

20 Akar-akar persamaan Suku banyak
Salah satu penggunaan teorema faktor adalah mencari akar-akar sebuah persamaan sukubanyak, karena ada hubungan antara faktor dengan akar-akar persamaan sukubanyak

21 Jika P(x) adalah sukubanyak; (x – k) merupakan faktor dari P(x)
jika dan hanya jika k akar dari persamaan P(k) = 0 k disebut akar atau nilai nol dari persamaan sukubanyak: P(x) = 0

22 Teorema Akar-akar Rasional Jika P(x) =anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + ao
dan (x – k) merupakan faktor dari P(x) maka

23 Contoh 1: Tunjukan -3 adalah salah satu akar dari x3 – 7x Kemudian tentukan akar-akar yang lain. Jawab: Untuk menunjukan -3 akar dari P(x), cukup kita tunjukan bahwa P(-3) = 0

24 P(x) = x3 – 7x + 6. P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6 = = 0 Oleh karena P(-3) = 0, maka -3 adalah akar dari Persamaan P(x) = x3 – 7x + 6 = 0

25 kita tentukan terlebih dahulu hasil bagi
Untuk menentukan akar-akar yang lain, kita tentukan terlebih dahulu hasil bagi P(x) = x3 – 7x + 6 dengan x + 3 dengan pembagian Horner sebagai berikut

26 berarti koefisien P(x) adalah 1 0 -7 6 k = -3
P(x) = x3 – 7x + 6 berarti koefisien P(x) adalah k = -3 Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2 =(x – 1)(x – 2) -3 9 -6 + 1 -3 2 Koefisien hasil bagi

27 Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)
sehingga persamaan sukubanyak tsb dapat ditulis menjadi (x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0. Jadi akar-akar yang lain adalah x = 1 dan x = 2

28 Contoh 2: Banyaknya akar-akar rasional dari persamaan x4 – 3x2 + 2 = 0 adalah…. a b c d.1 e.o

29 Jawab: Karena persamaan sukubanyak berderajat 4, maka akar-akar rasionalnya paling banyak ada 4 yaitu faktor-faktor bulat dari 2. Faktor-faktor bulat dari 2 adalah 1, -1, 2 dan -2

30 Dari 4 kemungkinan yang akan
menjadi akar-akar rasional persamaan sukubanyak tsb, kita coba nilai 1 Koefisien x4 – 3x2 + 6 = 0 adalah 1, 0, -3, 0, dan 6

31 k = 1 Ternyata P(1) = 0, berarti 1 adalah akar rasionalnya, Selanjutnya kita coba -1. Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -2 1 1 -2 -2 + 1 -2 1 -2

32 k = -1 Ternyata P(-1) = 0, berarti -1 adalah akar rasionalnya, Sehingga: (x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0 -1 2 + 1 -2

33 (x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0 (x2 – 2) difaktorkan lagi menjadi (x - √2)(x + √2) = 0 Berarti akar yang lain: √2 dan -√2, tapi bukan bilangan rasional. Jadi akar-akar rasionalnya hanya ada 2 yaitu 1 dan -1.

34 Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Sukubanyak

35 Persamaan Sukubanyak:
Jika akar-akar Persamaan Sukubanyak: ax3 + bx2 + cx + d = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka x1 + x2 + x3 = x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = x1.x2.x3 =

36 Contoh 1: Jumlah akar-akar persamaan x3 – 3x2 + 2 = 0 adalah…. Jawab: a = 1, b = -3, c = 0, d = 2 x1 + x2 + x3 = = = 3

37 Contoh 2: Hasilkali akar-akar persamaan 2x3 – x2 + 5x – 8 = 0 adalah…. Jawab: a = 2, b = -1, c = 5, d = -8 x1.x2.x3 = = = 4

38 Contoh 3: Salah satu akar persamaan x3 + px2 – 3x – 10 = 0 adalah -2 Jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah….

39 Jawab: -2 adalah akar persamaan x3 + px2 – 3x - 10 = 0 → -2 memenuhi persamaan tsb. sehingga: (-2)3 + p(-2)2 – 3(-2) - 10 = 0 -8 + 4p + 6 – 10 = 0

40 -8 + 4p + 6 – 10 = 0 4p – 12 = 0  4p = 12 p = 3 Persamaan tersebut:
x3 + 3x2 – 3x – 10 = 0 Jumlah akar-akarnya: x1 + x2 + x3 = = SK / KD INDIKATOR MATERI CONTOH = -3

41 Contoh 4: Akar-akar persamaan x3 – 4x2 + x – 4 = 0 adalah x1, x2, dan x3. Nilai x12 + x22 + x32 =….

42 Jawab: x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2 - 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) x3 – 4x2 + x – 4 = 0 x1 + x2 + x3 = -(-4)/1 = 4 x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1/1 = 1

43 x1 + x2 + x3 = 4 x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1 Jadi: x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2 - 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = 42 – 2.1 = 16 – 2 = 14

44 Referensi 1001 Soal Matematika, Erlangga
Matematika Dasar, Wilson Simangunsong