BARISAN DARI BILANGAN-BILANGAN REAL

Presentasi berjudul: "BARISAN DARI BILANGAN-BILANGAN REAL"— Transcript presentasi:

1 BARISAN DARI BILANGAN-BILANGAN REAL
PERTEMUAN 2 BARISAN DARI BILANGAN-BILANGAN REAL

2 Sasaran Pengkajian yang lebih mendalam tentang barisan dari bilangan – bilangan real. Pokok Bahasan Barisan dari bilangan – bilangan real. Konvergensi dari barisan.

3 Definisi-definisi Barisan dari bilangan – bilangan real adalah fungsi berharga real yang domainnya adalah himpunan dari semua bilangan alam. Barisan {an} disebut konvergen ke bilangan a bila untuk setiap bilangan positif  terdapat bilangan alam N sedemikian sehingga | an – a | <  untuk semua n  N. Bila barisan {an} konvergen ke bilangan a , bilangan a disebut limit dari barisan {an}, dan ditulis

4 Proposisi-proposisi Barisan {1/n} konvergen ke 0 , yaitu
Limit dari barisan yang konvergen adalah tunggal.

5 Barisan { ( -1 )n } tidak konvergen.
Contoh Barisan { ( -1 )n } tidak konvergen.

6 Proposisi Untuk setiap bilangan c dengan |c|<1, barisan { c n } konvergen ke 0, yaitu :

7 |an|  M untuk setiap bilangan alam n.
Definisi Barisan { an } disebut terbatas bila terdapat bilangan positif M sedemikian sehingga |an|  M untuk setiap bilangan alam n.

8 |bn| > untuk semua n  N .
 Lemma-lemma Setiap barisan yang konvergen adalah terbatas. Misalkan barisan { bn } konvergen ke bilangan b0. Maka terdapat bilangan alam N sedemikian sehingga |bn| > untuk semua n  N .

9 Teorema (Jumlah, Selisih, Hasil Kali dan Hasil Bagi dari Barisan – Barisan) Misalkan barisan { an } konvergen ke bilangan a, dan barisan {bn} konvergen ke bilangan b. Maka : Barisan {an + bn} konvergen dan ; Barisan {an - bn} konvergen dan ; Barisan { an bn } konvergen dan ; Bila bn0 untuk setiap n dan b0, maka barisan {an / bn} konvergen dan

10 Lemma Misalkan barisan {dn} konvergen ke bilangan d dan dn  0 untuk semua bilangan alam n. Maka d  0.

11 an  cn  bn untuk setiap n.
Teorema-teorema Misalkan barisan {an} konvergen ke bilangan a, barisan {bn} konvergen ke bilangan b dan barisan {cn} konvergen ke bilangan c. Bila an  cn  bn untuk setiap n , maka a  c  b. (Prinsip Tekan Kiri – Kanan) Misalkan {an}, {bn}, dan {cn} adalah barisan – barisan dengan an  cn  bn untuk setiap n. Bila {an} dan {bn} konvergen ke limit yang sama l, maka {cn} juga konvergen ke l.