Beberapa Sebaran Peluang Diskret

Presentasi berjudul: "Beberapa Sebaran Peluang Diskret"— Transcript presentasi:

1 Beberapa Sebaran Peluang Diskret
Statistik 2/pertemuan IV/

2 Sebaran Seragam Definisi Sebaran Seragam Diskret
Bila peubah acak X mempunyai nilai-nilai x1, x2,….xk, dengan peluang yang sama, maka sebaran seragam diskretnya di berikan oleh: f(x;k) = , untuk x = x1, x2,….xk

3 contoh Bila sebuah dadu setimbang dilemparkan, setiap unsur ruang contoh S = {1,2,3,4,5,6} mempunyai peluang yang sama untuk muncul, yaitu ⅙. Oleh karena itu, kita mempunyai sebaran seragam dengan f(x;6) = , untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6

4 Contoh (2) Misalkan seorang staf dipilih secara acak, dari 10 staf yang tersedia. Untuk mengawasi suatu proyek tertentu. Setiap orang tersebut mempunyai peluang terpilih yang sama, yaitu 1/10. Bila para staf itu dinomori dari 1 sampai 10, maka sebarannya adalah seragam dengan f(x;10) = 1/10, untuk x = 1,2,……,10.

5 Contoh (3) Tentukanlah sebaran seragam bagi himpunan bagian nama bulan berukuran 3 yang diambil secara acak. Jawab Karena semuanya terdapat 12 nama bulan, maka kita dapat mengambil 3 secara acak dalam = 220 cara. Dengan menomori masing-masing dari 1 sampai 220, maka sebaran peluangnya diberikan oleh f(x;220) = , untuk x = 1, 2,……,220 sehingga peluang terambilnya himpunan bagian nomor 5, misalnya, adalah f(5;220) =

6 Sebaran Binom dan Multinom
Percobaan Binom adalah percobaan yang memiliki ciri-ciri berikut: Percobaan terdiri atas n ulangan. Dalam setiap ulangan hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal. Peluang berhasil, yang dilambangkan dengan p, untuk setiap ulangan adalah sama, tidak berubah-ubah Ulangan-ulangan itu bersifat bebas satu sama lain.

7 Definisi Sebaran Binom.
Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang keberhasilan p dan peluang kegagalan q = 1 – p , maka sebaran peluang bagi peubah acak binom X, yaitu banyaknya keberhasilan dalam n ulangan yang bebas, adalah b(x;n,p) = pxqn-x, untuk x = 0,1,2,…,n.

8 contoh Tentukan peluang mendapatkan tepat tiga bilangan 2 bila sebuah dadu seimbang dilemparkan 5 kali. Jawab Peluang keberhasilan setiap ulangan yang bebas ini adalah 1/6 dan peluang kegagalan adalah 5/6. Dalam hal ini munculnya bilangan 2 dianggap keberhasilan. Maka

9 Contoh (2) Disebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli ganja atau sebangsanya ternyata melatarbelakangi 75% peristiwa pencurian yang terjadi. Berapa peluang bahwa tepat 2 di antara 4 kasus pencurian berikutnya dilatarbelakangi oleh keperluan uang untuk membeli ganja? Jawab Dengan anggapan bahwa kasus pencurian itu bersifat bebas dan p = ¾, maka

10

11 Contoh (3) Peluang seseorang sembuh dari suatu penyakit darah adalah 0,4. Bila 15 orang diketahui menderita penyakit ini, berapa peluang bahwa (a) sekurang-kurangnya 10 orang dapat sembuh; (b) ada 3 sampai 8 orang yang sembuh dan (c) tepat 5 orang yang sembuh?

12 Jawab: (a) Misalkan X adalah banyaknya orang yang sembuh. Maka: P( X ≥ 10)= 1 – P( X < 10) = 1- 9∑x=0 b(x;15,0.4) = = (b) P( 3 ≤ X ≤ 8) = 8∑x=3 b(x;15,0.4) = – = (c) P(X =5)= b(5;15,0.4) = 5∑x=0 b(x;15,0.4) - 4∑x=0 b(x;15,0.4) = – =

13 Nilai mean dan variansi bagi sebaran binom b(x;n,p)
Nilai mean dan variansi bagi sebaran binom b(x;n,p) adalah µ = np dan σ2 = npq Contoh Dengan mengunakan dalil Chebyshev, tentukan dan tafsirkan selang µ ± 2α untuk contoh (3) Jawab: Karena contoh (3) merupakan percobaan binom dengan n = 15 dan p = 0.4, maka µ = (15)(0.4) = 6 dan σ2 = (15)(0.4)(0.6) = 3.6. Dengan mengambil akar 3.6 kita memperoleh σ = Sehingga selang yang ditanyakan adalah 6 ± (2)(1.897) atau dari sampai Dalil Chebyshev mengatakan bahwa banyaknya yang sembuh diantara 15 pasien tersebut akan berada pada dan dengan peluang sekurang-kurangnya ¾ .

14 Sebaran Multinom Seandainya dalam percobaan binom tersebut setiap ulangan menghasilkan lebih dari 2 kemungkinan hasil maka percobaan itu menjadi apa yang disebut percobaan Multinom. Sebagai misal, dalam percobaan pelemparan 2 dadu kita mengamati apakah dari 2 dadu muncul bilangan yang sama, total kedua bilangan sama dengan 7 atau 11, atau bukan keduanya. Bila ini yang kita amati maka percobaan itu merupakan percobaan Multinom. Pengambilan kartu dengan pemulihan juga merupakan percobaan Multinom bila yang diamati adalah keempat macam kartu yang ada. Definisi Sebaran Multinom, bila setiap ulangan menghasilkan salah satu dari k hasil percobaan E1,E2,…Ek. Dengan peluang P1, P2,…Pk, maka sebaran peluang bagi peubah acak X1, X2,…..Xk, yang menyatakan berapa kali E1, E2, ……,Ek terjadi dalam n ulangan yang bebas adalah f(x1,x2,….,xk;P1,P2,….Pk,n) = P1x1 P2x2………… Pkxk dengan k∑i=1 xi = n k∑i=1 Pi = 1

15 contoh Bila dua 2 dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah bilangan yang muncul sebesar 7 atau 11 sebanyak 2 kali , bilangan yang sama pada kedua dadu sekali dan kemungkinan lainnya tiga kali? Jawab Daftarkan kejadian yang mungkin terjadi E1: Terjadi total 7 atau 11. E2: muncul bilangan yang sama pada kedua dadu. E3: kemungkinan lainnya selain dua di atas. Dalam setiap ulangan, peluang masing-masing kejadian di atas adalah P1 = 2/9 , P2 = 1/6 dan P3 = 11/18. Ketiga peluang tersebut tidak berubah dari ulangan satu ke ulangan lainnya. Dengan mengunakan sebaran multinom dengan x1 = 2, x2 = 1 dan x3 = 3 , kita mendapatkan peluang yang ditanyakan:

16