DERET FOURIER:.

Presentasi berjudul: "DERET FOURIER:."— Transcript presentasi:

1 DERET FOURIER:

2 Fungsi Periodik Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda T, jika untuk semua harga x berlaku: f(x+T) = f(x); T adalah konstanta positif Harga terkecil dari T > 0 disebut perioda terkecil atau disebut perioda dari f(x).

3 Contoh: Fungsi sin x mempunyai periode 2, 4, 6,…karena sin (x+2) = sin (x+4)= sin (x+6) =…=sin x Periode dari sin nx atau cos nx: dengan n bilangan bulat positif adalah 2/n Periode dari tan x adalah  Fungsi konstan mempunyai periode sembarang bilangan positif

4 Contoh gambar dari fungsi-fungsi periodik
f(x) x periode f(x) x periode

5 Kontinuitas Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap segmen (piecewise continuous function), bila f(x) hanya kontinu pada interval-interval tertentu dan diskontinu pada titik-titik yang banyaknya berhingga. Harga f(x) di titik-titik diskontinu ditentukan dengan menghitung harga limit fungsi f(x) untuk x mendekati titik diskontinu (ujung masing-masing interval)

6 Contoh gambar kontinuitas
f(x) x x1 x2 x3 x4

7 Definisi Deret Fourier
Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval (-L,L) dan diluar interval tersebut f(x) periodik dengan periode 2L, maka Deret Fourier atau Ekspansi Fourier dari fungsi f(x) tersebut didefinisikan sebagai berikut:

8 dengan koefisien Fourier an, bn ditentukan oleh:

9 Jika interval (-L,L) sembarang dan f(x) mempunyai periode 2L maka
dengan C sembarang bilangan real. Jika C=-L maka rumus (4) dan (5) akan sama dengan (2) dan (3).

10 0 -5<x<0 f(x)= periode = 10 3 0<x<5
CONTOH : <x<0 f(x)= periode = 10 <x<5 a. Gambarkan f(x) diatas ! b. Tentukan koefisien Fourier an dan bn! c. Tuliskan deret Fourier ! d. Uraikan deret Fourier !

11 Jawab : f(x) a. 6 3 x -10 -5 5 10

12 b. Periode = L = 10 L = 5

13

14

15

16 c. Deret Fourier

17 d. Uraian Deret Fourier

18 2.f(x) periodik dengan periode 2L
Syarat / Kondisi Dirichlet Deret Fourier konvergen bila memenuhi syarat/ kondisi Dirichlet Teorema: Jika 1.f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval (-L,L) 2.f(x) periodik dengan periode 2L 3.f(x) dan f(x) merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada setiap segmen pada interval (-L,L).

19 maka deret Fourier (1) dengan koefisien (2) dan (3) atau (4) dan (5) konvergen ke :
1. f(x) jika x merupakan titik kontinu pada interval (-L,L) jika x adalah titik diskontinu

20 Contoh: Dari soal sebelumnya : bagaimanakah f(x) harus ditentukan pada x=-5; x=0 dan x=5 agar deret Fourier tersebut konvergen ke f(x) pada interval (-5,5)

21 Jawab : Berhubung pada titik-titik continue, deret adalah konvergen ke f(x) maka pada titik-titik diskontinu agar deret konvergen, haruslah diambil konvergen ke : Bila kita definisikan f(x) sebagai, 3/2 , x = -5 0 , -5 < x < 0 f(x) = 3/2 , x = 0 3 , 0 < x < 5 3/2 , x = 5 Maka deret konvergen ke f(x) untuk -5 ≤ x ≤ 5

22 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Fungsi f(x) disebut fungsi genap jika f(-x) = f(x) untuk setiap x. Contoh : f(x) = cos x f(x) = x4 Fungsi polinomial dalam x yang suku- sukunya berpangkat genap merupakan fungsi genap. Jika f(x) fungsi genap maka :

23 Deret fourier dari fungsi genap:
Jadi jika f(x) fungsi genap maka bn=0 sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung cosinus (suku-suku dari an)

24 Fungsi f(x) disebut fungsi ganjil jika :
f(-x) = - f(x) untuk setiap x. Contoh : f(x) = sin x f(x) = x3 Fungsi polinomial dalam x yang suku- sukunya berpangkat ganjil merupakan fungsi ganjil. Jika f(x) fungsi ganjil maka :

25 Deret fourier dari fungsi ganjil:
Jadi, jika f(x) fungsi ganjil maka an = 0, sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung sinus (suku-suku dari bn)

26 Deret Fourier Sinus atau Cosinus Separuh Jangkauan
Deret sinus dan cosinus setengah jangkauan adalah suatu deret fourier yang hanya mengandung suku sinus dan cosinus saja. Apabila diinginkan deret setengah jangkauan yang sesuai dengan fungsi yang diberikan, fungsi yang dimaksud biasanya hanya diberikan dalam setengah interval dari (-L,L) yaitu pada interval (0,L). Setengah lainnya yaitu (-L,0) ditentukan berdasarkan penjelasan fungsinya genap atau ganjil.

27 Deret sinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan:
a. f(x) fungsi ganjil b. Deret cosinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan: a. f(x) fungsi genap

28 Contoh : Ekspansikan f(x) = x; 0<x<2 ke dalam;
a. Deret sinus setengah jangkauan b. Deret cosinus setengah jangkauan

29 Jawab : a. Deret sinus setengah jangkauan.
f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang interval -2 < x < 2 (dengan periode 4), sebagai berikut:

30 Sehingga an = 0 Jadi deret sinus setengah jangkauannya :

31 b. Deret cosinus setengah jangkauan.
f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi genap sepanjang interval -2 < x < 2 (dengan periode 4), sebagai berikut:

32 Sehingga bn = 0 Jadi deret cosinus setengah jangkauannya :

33 Terima Kasih