Operasi Matriks Dani Suandi, M.Si..

Presentasi berjudul: "Operasi Matriks Dani Suandi, M.Si.."— Transcript presentasi:

1 Operasi Matriks Dani Suandi, M.Si.

2 Kesamaan Dua Matriks Definisi
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Kesamaan Dua Matriks Definisi Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika : aij = bij, 1  i  m, 1  j  n yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama. • Contoh : Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

3 Operasi Pada Matriks Penjumlahan (addition)
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Operasi Pada Matriks Penjumlahan (addition) Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

4 Contoh + Penyelesaian Jika Maka: 01/12/2018
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Contoh + Penyelesaian Jika Maka: 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

5 Operasi Pada Matriks Pengurangan (subtruction)
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Operasi Pada Matriks Pengurangan (subtruction) Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka selisih A - B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri yang bersesuaian pada matriks B dari entri-entri pada matriks A 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

6 Contoh + Penyelesaian Jika Maka: 01/12/2018
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Contoh + Penyelesaian Jika Maka: 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

7 Operasi Pada Matriks Perkalian Skalar Pada Matriks
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Operasi Pada Matriks Perkalian Skalar Pada Matriks Jika A adalah suatu matriks dan c suatu skalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing- masing entri dari A oleh c. 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

8 Contoh Soal + Penyelesaian
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Contoh Soal + Penyelesaian Jika Maka: 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

9 Perkalian Dua Buah Matriks
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Perkalian Dua Buah Matriks Matriks Amxn dapat dikalikan dengan matriks Bpxq jika dan hanya jika banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. ( n = p) AmxnBnxq = Cmxq A=[aij] mxn dan B= [bij] nxq maka C = [cij]mxq dengan 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

10 Contoh Soal + Penyelesaian
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Contoh Soal + Penyelesaian Tentukan AB dan BA jika: Jawab: 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

11 Contoh Soal + Penyelesaian
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Contoh Soal + Penyelesaian 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

12 Let A, B, C be matrix in the same order and
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Let A, B, C be matrix in the same order and ,  be element of Real number, Then we have some properties as follow : A + B = B + A A + ( B + C ) = ( A + B ) + C  ( A + B ) = A + B ( +  ) ( A ) = A + A 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

13 Latihan Soal 01/12/2018 Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018
Aljabar Linear Elementer

14 Operations on Matrices
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Operations on Matrices Transpose of a Matrix Definition If A is any m x n matrix, then the transpose of A, denoted by AT, is defined to be the n x m matrix that the results from interchanging the rows and columns of A Example : transpose of a matrix If A = At then A is called symmetry. Example: 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

15 Operations on Matrices
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Operations on Matrices Transpose of a Matrix ((A)t)t = A (A + B)t = At + Bt (A - B)t = At - Bt (kA)t =kAt, k is scalar (AB)t = BtAt 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

16 Operations on Matrices
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Operations on Matrices Trace of a Matrix Definition If A is n x n square matrix, then the trace of A, denoted by tr(A), is defined to be the sum of the entries on the main diagonal of A, or given by formula tr(A) = a11+a22+…+ann Example : trace of a matrix tr(A) = 1+5+9=15 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

17 Example : Let : Find A At At A 01/12/2018 Moh. Januar Ismail B, M.Si.
12/1/2018 Example : Let : Find A At At A 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

18 Answer : Then 5 4 -2 -2 13 -3 -2 -3 1 And 14 -4 -4 5 01/12/2018
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Answer : Then 5 4 -2 -2 13 -3 -2 -3 1 And 14 -4 -4 5 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

19 Exercises Let , and Find (for no 1 – 4) : 1. AB 2. 3CA 3. (AB)C
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Exercises Let , and Find (for no 1 – 4) : 1. AB 2. 3CA 3. (AB)C (4B)C + 2C 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

20 7. Find 7tr(D) and tr(7D). How the conclusions? 8. Find tr(4Et – 2D2)
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Let and 5. Find D + E2 (hint : E2 = EE) 6. Find 3(DE)t and also 3DtEt and 3EtDt Which one have the same result? Why? 7. Find 7tr(D) and tr(7D). How the conclusions? 8. Find tr(4Et – 2D2) 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

21 Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Latihan Soal 2. Diberikan matriks : Jika mungkin, hitunglah : a. (AB)t c. AtBt e. (Bt + A)C b. BtAt d. BtC + A 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

22 Operasi Baris Elementer
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Operasi Baris Elementer Operasi baris elementer meliputi : 1. Pertukaran Baris 2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol 3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain. Contoh : OBE 1 Pertukaran Baris Baris pertama (b1) ditukar dengan baris ke-2 (b2) 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

23 Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Contoh : OBE 2 Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol Contoh : OBE 3 Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol dengan baris yang lain. Perkalian Baris pertama (b1) dengan bilangan ¼ Perkalian (–2) dengan b1 lalu tambahkan pada baris ke-3 (b3) 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

24 Definisi yang Perlu DIketahui
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Definisi yang Perlu DIketahui Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol. Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 2 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing. Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama. Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol. 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

25 Sifat-Sifat Matriks Hasil OBE
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Sifat-Sifat Matriks Hasil OBE Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama). Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol. Matriks dinamakan eselon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 Matriks dinamakan eselon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat 1, 2, 3, dan 4 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

26 Contoh Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari: Solusi 01/12/2018
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Contoh Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari: Solusi 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

27 01/12/2018 Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018
Aljabar Linear Elementer

28 Perhatikan hasil OBE tadi :
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Perhatikan hasil OBE tadi : Setiap baris mempunyai satu utama. Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena Jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom (kolom 4 tidak mempunyai satu utama) 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

29 Latihan Soal Tentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks
Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Latihan Soal Tentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks berikut: 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

30 Inverse Matrix Let A be a square matrix. B is said a inverse of A if
A B = I dan B A = I Otherwise, A is called inverse of B. Denoted by A = B-1 How to get inverse matrix? ERO ~ If A doesnot have reduced row echelon then A is not invertible December 1, 2018

31 Example : Find a inverse matrix : Answer : -1 -1 1 -3 1 2 1 -3b1+b2
-1 -1 1 -3 1 2 1 December 1, 2018

32 -b2 -b3+ b2 -b2+ b1 So, Inverse Matrix of A is
1 1 -1 3 1 -1 1 -1 1 1 1 December 1, 2018

33 We know : and So December 1, 2018

34 Some properties of Inverse matrices : (A-1)-1 = A
If A, B invertible then (A . B)-1 = B-1 . A-1 iii. Let k  Riil then (kA)-1 = iv. Corollary of (ii) : (An)-1 = (A-1)n December 1, 2018

35 Exercise of Chapter 1 1. Which matrices below are in row echelon form or reduced row echelon form or neither? Why? December 1, 2018

36 Find reduced row echelon form of A, B, C, D, E, F !
2. If Find reduced row echelon form of A, B, C, D, E, F ! Find inverse matrix of B and D using ERO (if any) ! December 1, 2018