Pendugaan Parameter Statistika Matematika II

Presentasi berjudul: "Pendugaan Parameter Statistika Matematika II"— Transcript presentasi:

1 Pendugaan Parameter Statistika Matematika II
Semester Genap 2011/2012 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

2 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Pendugaan Parameter Parameter: sifat atau ciri populasi yang tidak diketahui nilainya. Sampel berukuran n yang berasal dari populasi dengan sebaran tertentu Statistik: Fungsi dari nilai pengamatan di dalam sampel tersebut, yang akan digunakan untuk menduga nilai Parameter 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

3 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Pendugaan Parameter Bagaimana menduga parameter sehingga diperoleh penduga dengan sifat-sifat yang baik? Ragam kecil: Akurat Nilai yang tidak jauh berbeda dari satu sampel ke sampel yang lain Tak Bias: Tepat Mendekati nilai nilai yang sebenarnya 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

4 Metode Pendugaan Parameter
Metode Moment Metode Maksimum Likelihood Keduanya bertujuan membentuk statistik: fungsi dari pengamatan dalam sampel Keduanya bertujuan untuk membentuk penduga dengan sifat-sifat yang baik 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

5 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Metode Moment Memanfaatkan definisi moment ke k dari peubah acak Y Moment ke k dari peubah acak Y Sampel berukuran n yang berasal dari populasi dengan sebaran yang ingin diduga nilai parameternya Definisi moment ke-k dari sampel adalah: 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

6 Langkah-langkah pendugaan dengan metode moment
Memperoleh moment orde terendah yang mungkin, nyatakan moment tsb dalam parameter-parameter yang akan diduga: moment fungsi dari parameter Mencari inverse dari persamaan di langkah 1, sehingga diperoleh persamaan: parameter fungsi dari moment Menggunakan moment sampel pada semua moment yang digunakan di langkah 2 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

7 Contoh 1, Sebaran Poisson:
Langkah 1 Moment pertama dari sebaran Poisson: Moment fungsi dari λ Langkah 2 Inverse dari fungsi di langkah 1 Langkah 3 Gunakan moment sampel untuk pendugaan 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

8 Contoh 2, Sebaran Normal:
Sebaran normal mempunyai dua parameter Dibutuhkan moment pertama dan moment kedua dari sebaran normal Langkah 1 Dari definisi ragam Moment fungsi dari parameter: 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

9 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Langkah 2 Inverse dari fungsi di langkah 1: parameter fungsi dari moment Gunakan moment sampel untuk pendugaan Langkah 3 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

10 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Data set I Data set II 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

11 Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood)
Penentuan nilai duga parameter sedemikian: Pada nilai duga tersebut data pengamatan paling mungkin terjadi Digunakan fungsi likelihood Fungsi kepekatan gabungan dari seluruh nilai teramati peubah Y dalam sampel Fungsi kepekatan gabungan adalah fungsi dari peuban Y Untuk seluruh nilai teramati dalam sampel, fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter. 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

12 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Fungsi Likelihood Sampel acak berukuran n yang berasal dari populasi yang menyebar dengan fungsi kepekatan peluang berikut ini: Jika diperoleh: Fungsi likelihood: 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

13 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
X f(x|5, 1) f(x|3, 1) 5 5.5 6 3 6.5 4 4.5 3.5 Likelihood E-09 3.86E-15 ln f(x|5,1) ln f(x|3,1) ln likelihood 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

14 Penduga Kemungkinan Maksimum
θ yang mana yang membuat nilai teramati tsb paling mungkin terjadi? Untuk seluruh nilai teramati dalam sampel, fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter. θ yang mana memaksimumkan fungsi likelihood? Penduga kemungkinan maksimum: θ yang memaksimumkan fungsi likelihood 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

15 Contoh 3, Sebaran Poisson
Secara bebas dan sama, iid Fungsi likelihood: Fungsi likelihood: 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

16 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Digunakan ln fungsi likelihood untuk me-linierkan fungsi likelihood: λ yang memaksimumkan fungsi adalah solusi dari turunan pertama fs tsb thd λ yang disamadengankan nol: 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

17 Contoh 4, Sebaran Eksponensial
Fungsi likelihood: Digunakan ln fungsi likelihood untuk me-linierkan fungsi likelihood: 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

18 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
θ yang memaksimumkan fungsi adalah solusi dari turunan pertama fs tsb thd θ yang disamadengankan nol: Penduga kemungkinan maksimum bagi θ 17/02/2019 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc