Komposisi FUNGSi Dan Fungsi invers

Presentasi berjudul: "Komposisi FUNGSi Dan Fungsi invers"— Transcript presentasi:

1 Komposisi FUNGSi Dan Fungsi invers
11 Social business math

2 Homework: Dikerjakan secara individual dalam buku tulis homework. Dikumpulkan 1 minggu sekali di setiap hari Senin. Posttest: Akan ada di setiap akhir sesi.

3 Week 2, sesi 1-2

4 LIMA SISWA DITANYA MENGENAI UKURAN SERAGAM YANG DIKENAKAN
Apa itu fungsi? Jika kelima siswa tersebut ditunjukkan dengan himpunan A Dan ukuran baju ditunjukkan dengan himpunan B maka LIMA SISWA DITANYA MENGENAI UKURAN SERAGAM YANG DIKENAKAN Asri pakai baju ukuran S Tari pakai baju ukuran M Cecep pakai baju ukuran L Pras pakai baju ukuran L Setya pakai baju ukuran XL Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B

5 Syarat suatu fungsi Setiap anggota himpunan A harus habis dipasangkan
Setiap anggota himpunan A dipasangangkan tepat satu dengan anggota himpunan B Seluruh anggota dalam himpunan A disebut domain (daerah asal) Seluruh anggota dalam himpunan B disebut kodomain (daerah kawan)

6 Manakah yang merupakan suatu fungsi?

7 Relasi pada R dinyatakan dengan grafik berikut, manakah yang merupakan grafik fungsi R : x  y?

8 Sifat-sifat fungsi 1) Fungsi satu-satu (injektif)
Setiap anggota yang berbeda di A memiliki pasangan di B yang berbeda (setiap A harus punya pasangan satu di B, tidak boleh punya pasangan yang sama)

9 2) Fungsi ke dalam/fungsi into
Terdapat unsur B yang tidak mempunyai pasangan dengan A (B harus ada yang tidak memiliki pasangan, ada anggota B yang punya pasangan lebih dr satu)

10 3) Fungsi pada/ fungsi onto (surjektif)
Setiap anggota di B memiliki pasangan di A. (B harus punya pasangan di A, B boleh punya pasangan lebih dr satu)

11 4) Fungsi bijektif (fungsi injektif dan fungsi bijektif/Korespodensi satu-satu)
Disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika merupakan fungsi injektif dan fungsi surjektif.

12

13 Kesamaan dua fungsi 11 Social business math

14 f = g jika dan hanya jika untuk setiap a A, berlaku f(a) = g(a)
Kesamaan dua fungsi Fungsi f: A  B dan fungsi g: A B dikatakan sama jika setiap angota a  A dipasangkan sama oleh fungsi f dan fungsi g f = g jika dan hanya jika untuk setiap a A, berlaku f(a) = g(a)

15 Kesamaan dua fungsi Contoh Soal 1: Diketahui fungsi 𝑓 𝑥 =4 𝑥 2 −3𝑥+7 dan g 𝑥 =𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+c. tentukan nilai a, b, dan c jika 𝑓 𝑥 =g(x). Jawab: 𝑎=4, 𝑏=−3, 𝑐=7 Contoh Soal 2: Diketahui fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑝𝑥−5 𝑥−𝑞 , 𝑔 𝑥 =2 𝑥 2 −13𝑥+20 tentukan nilai p & q jika 𝑓 𝑥 =g(x). Jawab: 𝐩=𝟐, 𝑞=20→𝒒=𝟒

16 Kesamaan dua fungsi (latihan soal)
Tentukan nilai dari p, q, dan r yang belum diketahui agar pasangan fungsi berikut dikatakan sama 𝑓 𝑥 =2 𝑥 2 −4𝑥+10 dan 𝑔 𝑥 = q+𝑝 𝑥 2 + 2𝑝−𝑞 𝑥+10 𝑓 𝑥 = 1 𝑝𝑥 qx−3 dan 𝑔 𝑥 = 2𝑥 𝑥 2 −9 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −2 𝑥 2 +4𝑥−15 dan 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 +p 𝑥 2 −𝑞x+r 𝑓 𝑥 = 𝑝𝑥 3 −𝑞 𝑥 2 +𝑟𝑥 dan g 𝑥 = 𝑥 2 −2𝑥

17

18 Jawaban:

19 Komposisi fungsi 11 Social business math

20 Apa itu Komposisi fungsi?
Fungsi baru hasil kombinasi fungsi-fungsi sebelumnya disebut fungsi komposisi Mesin I melakukan proses ‘kalikan dengan 5’ dan mesin II melakukan prose”tambahkan dengan 5” Jika angka 2 dimasukkan dalam mesin I, maka hasil pemetaannya adalah 15 Apabila dimasukan bilangan sembarangan x, maka Mesin: x  (Mesin gabugan) 5x + 5 Apabila dimasukan bilangan sembarangan x, maka Mesin: x  (Mesin 1: kalikan 5) 5x  (Mesin II: tambahkan 5) 5x + 5

21 Apa itu Komposisi fungsi?
Melalui analogi mesin sebelumnya, komposisi fungsi g dan fungsi f dapat didefinisikan sebagai berikut: Jika f: A  B dan fungsi g: B C, maka Fungsi F memetakan A  C melalui hubungan dua fungsi f dan g.

22

23 sifat Komposisi fungsi
Tidak komutatif 𝑓∘𝑔 (𝑥)≠ 𝑔∘𝑓 (𝑥) Asosiatif 𝑓∘𝑔 ∘ℎ 𝑥 = 𝑓∘(𝑔∘𝑓) (𝑥)

24 Komposisi fungsi (contoh soal 1)
Diketahui fungsi 𝑓 𝑥 =2𝑥−3 dan 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 +5, tentukan 𝑓∘𝑔 (𝑥) 𝑔∘𝑓 (𝑥) Kesimpulan dari jawaban a dan b 𝑔∘𝑓 (−1) 𝑓∘𝑔 𝑥 =𝑓 𝑔 𝑥 =2 𝑥 2 +5 −3=2 𝑥 2 +10−3=2 𝑥 2 +7 𝑔∘𝑓 𝑥 =𝑔 𝑓 𝑥 = 2𝑥− = 4 𝑥 2 −12𝑥+9 +5= 4 𝑥 2 −12𝑥+14 𝑓∘𝑔 (𝑥)≠ 𝑔∘𝑓 (𝑥) Cara 1: 𝑔∘𝑓 −1 =4 (−1) 2 −12 −1 +14= =30 cara 2: (g  f)(-1) = g(f(1)) = g(2(-1) -3) = g(-5) = (-5)2 + 5 = 30

25 Komposisi fungsi (contoh soal 2)
Diketahui fungsi 𝑓 𝑥 =2x+1, 𝑓∘𝑔 𝑥 =2 𝑥 2 −2𝑥+7 tentukan rumus fungsi g(x) 𝑓∘𝑔 𝑥 =𝑓 𝑔 𝑥 2 𝑥 2 −2𝑥+7=2 g x +1 2 𝑥 2 −2𝑥+6=2 g x 𝑥 2 −𝑥+3= g x 𝑓∘𝑔 𝑥 =𝑓 𝑔 𝑥 4 𝑥 2 +10𝑥+11=f(2x+3) Misal 2x+3=a→x= 𝑎−3 2 𝑓 𝑎 =4 𝑎− 𝑎− = 𝑎 2 −6𝑎+9+5𝑎−4= 𝑎 2 −𝑎+5 Jadi 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −𝑥+5 Diketahui fungsi 𝑔 𝑥 =2x+3, 𝑓∘𝑔 𝑥 =4 𝑥 2 +10𝑥+11 tentukan rumus fungsi f(x)

26 LATihan soal

27 Posttest

28 Fungsi invers

29 Week 2, sesi 3-4

30 Apa itu invers? Keluarga Pak Budi memiliki dua anak yang bernama Chika dan Nini. Jika Chika adalah anak pertama dan Nini adalah anak kedua, maka Hubungan kebalikan tersebut dinamakan invers Chika Nini Kakak Adik g adalah invers dari f atau f adalah invers dari g DEFINISI INVERS FUNGSI Jika f: A B punya peta f(a) = b, maka invers f adalah fungsi g:BA dengan peta g(b) = a Invers suatu fungsi dinyatakan dengan “pangkat -1”, sehingga fungsi invers dari f ditulis: 𝑔= 𝑓 −1

31 Apa itu Fungsi invers?

32 Apa itu Fungsi invers? Contoh: Diketahui himpunan P = {a, b, c} dan Q = {1, 2, 3, 4}. Fungsi f: P Q ditentukan oleh f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)} Tulislah invers f yang dinyatakan dalam himpunan pasangan terurut Buatlah diagram panah hubungan f dan g, lalu apakah invers f yaitu g merupakan fungsi? Invers f adalah g: Q P dengan g = {(1,a), (2,b), (3,c)} Diagram panah f dan g f memenuhi syarat fungsi g tidak memenuhi syarat fungsi, karena di Q ada yang tidak punya teman

33 Kesimpulan: Invers suatu fungsi, ada yang fungsi dan ada yang bukan. Jika inversnya adalah suatu fungsi maka disebut fungsi invers.

34 teorema Fungsi invers? Misalkan f: A B adalah fungsi bijektif, maka 𝑓 −1 : B A adalah fungsi invers dari f yang juga bijektif. Jadi, syarat sebuah invers dikatakan fungsi, apabila invers dari fungsi tersebut adalah fungsi yang bijektif

35 Menentukan rumus Fungsi invers

36 Menentukan rumus Fungsi invers
Langkah-langkah menentukan fungsi invers: Misalkan y = f(x) Buatlah x = g(y) Tuliskan x sebagai 𝑓 −1 (𝑦), sehingga 𝑓 −1 𝑦 =𝑔(𝑦) Ubah huruf y dengan x, sehingga didapat 𝑓 −1 (𝑥) 𝐽𝑎𝑤𝑎𝑏: 𝑓 𝑥 =𝑦 𝑥 𝑥−2 =𝑦→𝑥=𝑥𝑦−2𝑦→𝑥−𝑥𝑦=−2𝑦 𝑥 1−𝑦 =−2𝑦→𝑥= −2𝑦 1−𝑦 𝑓 −1 𝑦 = 2𝑦 𝑦−1 → 𝒇 −𝟏 𝒙 = 𝟐𝒙 𝐱−𝟏 Daerah asal fungsi f 𝐷 𝑓 = 𝑥 𝑥≠2,𝑥∈ℝ Daerah asal fungsi 𝑓 −1 𝐷 𝑓 −1 = 𝑥 𝑥≠1,𝑥∈ℝ Contoh soal 1: Diketahui fungsi R R ditentukan oleh rumus 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥−2 ,𝑥≠2 tentukan rumus fungsi 𝑓 −1 (𝑥), dan daerah asal fungsi f dan daerah asal inversnya

37 Rumus cepat menentukan fungsi invers:

38 Latihan soal

39 Fungsi invers dari Fungsi komposisi
Fungsi komposisi (𝑔∘𝑓) memetakan dari a ke c  𝑔∘𝑓 𝑎 =𝑐 Fungsi invers dari (𝑔∘𝑓) , yaitu (𝑔∘𝑓) −1 memetakan dari c ke a  𝑔∘𝑓 −1 𝑐 =𝑎 𝑔∘𝑓 −1 𝑐 =𝑎 𝑔 −1 𝑐 =𝑏 dan 𝑓 −1 𝑏 =𝑎 Maka 𝑓 −1 𝑔 −1 𝑐 = 𝑓 −1 ∘ 𝑔 −1 𝑐 =𝑎 𝑔∘𝑓 −1 𝑐 = 𝑓 −1 𝑔 −1 𝑐 Untuk sembarang x, 𝑔∘𝑓 −1 𝑥 = 𝑓 −1 ∘ 𝑔 −1 𝑥

40 Fungsi invers dari Fungsi komposisi

41 Contoh:

42 Latihan:

43 Posttest

44 Homework