Deret Taylor Deret Mac Laurin Deret Laurent

Presentasi berjudul: "Deret Taylor Deret Mac Laurin Deret Laurent"— Transcript presentasi:

1 Deret Taylor Deret Mac Laurin Deret Laurent
Deret Kompleks Deret Taylor Deret Mac Laurin Deret Laurent Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

2 Deret Taylor Misal fungsi f(z) analitik pada |z - z0| <R0 maka f(z) dapat diperderetkan menjadi : Bila f(z) fungsi entire (fungsi analitik dimana-mana ) maka daerah keanalitikan / kekonvergenan deret yaitu : | z - z0 | <  z0 R0 Dinamakan Deret / Polinomial Taylor di z = z0 Dinamakan Daerah Kekonvergenan / Keanalitikan Deret Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

3 Variabel Kompleks (MA 2113)
Deret Mac Laurin # 1 Bila z0 = 0, maka deret disebut Deret Mac Laurin dan dapat dituliskan : Nyatakan f(z) = ez dalam deret Mac Laurin Fungsi f(z) = ez merupakan fungsi entire sehingga daerah keanalitikan : | z | <  dan turunan fungsi sampai tingkat ke-n dan nilai turunan di z = 0 diberikan Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

4 Variabel Kompleks (MA 2113)
Deret Mac Laurin # 2 Untuk melakukan perderetan fungsi eksponen yang lain dapat dilakukan tanpa harus melakukan penurunan fungsi, tapi dengan menggunakan hasil diatas. Perderetkan dalam deret Mac Laurin, f(z) = e3z f(z) = e3z : fungsi entire, sehingga daerah keanalitikan: | z | <  | z |<   | 3 z | <  )1). f(z) = e3z ... | 3 z | <  )2). f(z) = eaz ... | a z | <  Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

5 Variabel Kompleks (MA 2113)
Deret Mac Laurin # 3 Perderetkan f(z) = sinh z ke dalam deret Mac Laurin n 1 2 3 4 5 ( ) n 1 - Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

6 Variabel Kompleks (MA 2113)
Deret Mac Laurin # 4 Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin Re Im  1 | z | < 1  tidak analitik di z = 1 Daerah Keanalitikan f(0) = 1  f ‘ (0) = 1  f “ (0) = 2  f ‘” (0) = 6 Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

7 Variabel Kompleks (MA 2113)
Deret Mac Laurin # 5 Untuk perderetan fungsi rasional yang lain diselesaikan dengan menggunakan hasil diatas Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin, Re Im  -1 |z| < 1  tidak analitik di z = -1 Daerah Keanalitikan | z | < 1  | - z | < 1 Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

8 Variabel Kompleks (MA 2113)
Contoh Perderetkan ke dalam Deret Mac Laurin,  tidak analitik di z = 1 dan z = -1 Daerah Keanalitikan | z | < 1 Re Im  -1 1 | z2 | < 1 Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

9 Variabel Kompleks (MA 2113)
Contoh Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin,  tidak analitik di z = 2 Daerah Keanalitikan, | z | < 2 Re Im  2 Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

10 Variabel Kompleks (MA 2113)
Soal Latihan Perderetkan fungsi berikut ke dalam deret Mac Laurin : f(z) = z e2z f(z) = cosh z f(z) = cos z f(z) = z sin z f(z) = 1 / (z2 + 1) f(z) = z / ( i – z ) f(z) = 1 / ( 3 + z ) Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

11 Variabel Kompleks (MA 2113)
Perderetan Taylor Untuk memperderetkan fungsi di z = z0 dilakukan dengan metode Mac Laurin yaitu membandingkan bentuk fungsi ( z- z0) dengan daerah keanalitikan deret Perderetkan ke dalam Deret Taylor di z = 1,  tidak analitik di z = 0 Daerah Keanalitikan Re Im  1 | z-1 | < 1 Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

12 Variabel Kompleks (MA 2113)
Contoh Perderetkan ke dalam deret Taylor di z = i.  tidak analitik di z = -1 Daerah Keanalitikan Re Im  -1 i Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

13 Variabel Kompleks (MA 2113)
Contoh Perderetkan ke dalam deret Taylor di z = 1,  tidak analitik di z = -i Daerah Keanalitikan Re Im  1 -i Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

14 Variabel Kompleks (MA 2113)
Soal Latihan Perderetkan fungsi berikut di titik yang diberikan f(z) = ez di z = i f(z) = sinh z di z = i f(z) = 1/z di z = 2 (kuis 7/8/15) f(z) = 1/z di z = i f(z) = 1/(2-z) di z = i f(z) = 1/(z + i) di z = -2 f(z) = 1/(z –i) di z = -1 Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

15 Variabel Kompleks (MA 2113)
Deret Laurent Bila fungsi f(z) tidak analitik di z = z0 maka f(z) tidak dapat diperderetkan dalam deret Taylor di z = z0 atau pada daerah | z – z0 | < R z0 R Bila z0 dibuang dari | z – z0 | < R maka 0 < | z – z0 | < R merupakan daerah keanalitikan dari f(z) Misal f(z) tidak analitik di z = z0 tetapi analitik pada R1 < | z – z0 | < R2 ,maka f(z) dapat diperderetkan di z = z0 menjadi Deret Laurent, z0 R2 R1 C Lintasan C merupakan lintasan tutup sederhana, arah positif yang terletak di dalam anulus yang melingkupi z0. Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

16 Variabel Kompleks (MA 2113)
Contoh # 1 Perderetkan f(z) dengan pusat di z = 0,  tidak analitik di z = 0  daerah keanalitikan : 0 < | z | <   Diperderetkan pada daerah | z | < 4 Perderetkan f(z) pada daerah 1< | z | < 4 Re Im -1 4  Diperderetkan pada daerah 1 < | z | Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

17 Variabel Kompleks (MA 2113)
Contoh # 2 (1). 1 < | z |  (2). | z | < 4  Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

18 Variabel Kompleks (MA 2113)
Contoh # 3 Perderetkan f(z) di z = 1 dan tentukan daerah keanalitikannya  Tidak analitik di z = 1 dan z = 2 1 Re Im 2 0<|z-1|<1 Kemungkinan daerah keanalitikan dari f(z) : (1). 0< | z – 1 | < 1 (2). 1< | z – 1 | 1<|z-1| Perderetan fungsi akan dilakukan terhadap suku kedua yaitu diperderetkan pada daerah (1) dan daerah (2) Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

19 Variabel Kompleks (MA 2113)
Contoh # 4 (1). 0 < | z - 1 | < 1  0 < | z - 1 | dan | z - 1 | < 1 (2). 1 < | z -1 |  Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

20 Variabel Kompleks (MA 2113)
Contoh # 5 Perderetkan f(z) pada daerah | z – i | > 2 Suku kedua diperderetkan pada 2 < | z – i |   i Re Im 3i Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

21 Variabel Kompleks (MA 2113)
Soal Latihan Perderetkan fungsi berikut pada daerah yang diberikan Perderetkan fungsi berikut pada daerah R0 < |z – z0| < R1 bila diberikan : Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)