MATA KULIAH KALKULUS I (4 sks) Dosen : Ir. RENILAILI, MT

Presentasi berjudul: "MATA KULIAH KALKULUS I (4 sks) Dosen : Ir. RENILAILI, MT"— Transcript presentasi:

1 MATA KULIAH KALKULUS I (4 sks) Dosen : Ir. RENILAILI, MT

2 Pertemuan ke 1 sistem bilangan

3 Sistem bilangan Bilangan merupakan angka mulai dari 0 sampai 10 , tetapi bisa juga bilangan itu berupa pernyataan , seperti bilangan biner , bilangan decimal, bilangan ekponen , bilangan irrasional,bilangan imaginer dll.

4 Bilangan dasar 10 2763 = 2.10 2783 = 3896,475 =

5 Pertemuan ke dua latihan soal-soal

6 Latihan soal soal Latihan untuk merubah ke bilangan biner Soal-soal:
2789 = 4789 = 9765 = 7569 = 6754 =

7 Pertemuan ketiga merubah basis

8 Merubah basis Cara merubah basis dapat dilakukan dengan jalan membagi bilangan tersebut secara terus menerus sampai bilangan tersebut menghsilkan bilangan 0 Contoh 524 = 897 = 0, = 0,4152 8

9 Pertemuan ke empat limit

10 LIMIT Difinisi : f (x) dikatakan mempunyai limit L untuk x → x0, bila untuk setiap bilangan positif h yang diberikan, dapat ditunjuk bilangan positif δ sedemikian hingga untuk semua harga x yang memenuhi

11 TEOREMA LIMIT Teorema Limit
Jika K suatu konstanta, f dan g adalah fungsi – fungsi yang mempunyai limit untuk x → a, a ε R. f (x) = k → lim f (x) = k x → a f (x) = k → lim f (x) = a Lim [ f(x) + g (x) ] = lim f(x) + lim g (x) x → a x → a x → a Lim [ f(x) – g (x)] = lim f(x) – lim g (x) x → a x → a x → a Lim k f(x) = K. lim f(x) x → a x → a

12 1. Lim [ f(x) . g (x) = lim f(x) . lim g (x) x → a x → a x → a
3. Lim [ f(x) ]n = [lim f(x)]n , n bilangan bulat x → a x → a 4. Lim = , n bilangan asli n ≥ 2 x → a x → a 5. Lim [ f(x)]m/n = x → a x → a = , m bilangan bulat lim f(x) ε R x → a

13 Contoh-contoh penyelesaian limit

14 4) = =

15 Pertemuan ke lima latihan soal-soal limit

16 Soal-soal latihan

17 Lanjutan soal

18 Pertemuan ke enam differensial

19 DIFFERENSIAL Fungsi Aljabar
f (x) difefenisikan sebagai fungsi x, dapat ditulis dengan singkat sebagai y dan f’ (x) merupakan turunan dari f (x) juga dalam hal ini dapat ditulis dengan dy/dx, tetapi ada fungsi-fungsi lainnya yang dalam buku ini ditulis sebagai u dan v yang digunakan untuk memperpendek cara penulisan.

20 RUMUS-RUMUS DASAR 1. f (x) = xn f’ (x) = n. xn-1 f’ (x) = 5. x4
Contoh f (x) = x5 f’ (x) = 5. x4 f (x) = 2x3 f’ (x) = 6x2

21 f’ (x) = u’ – v’ 2. f (x) = u - v Contoh 1 :
f(x) = (2x + 5) – (3x2 + 10) f’(x) = (2) – (6x) Contoh 2 : f(x) = (2x3 + 5x) – (3x2 + 4) f'(x) = (6x2 + 5) – (6x + 4) f’(x) = 6x2 – 6x + 1

22 3. f (x) = u + v f’ (x) = u’ + v’ Contoh 1 : f(x)
3. f (x) = u + v f’ (x) = u’ + v’ Contoh 1 : f(x) = (3x3 + 10) + (5x2 + 6) f’(x) = (9x2) + (10x) Contoh 2 : f(x) = (2x5 + 6x) + (3x2 + 10x) f’(x) = (10x4 + 6) + (6x + 10) = 10x4 + 6x + 16

23 f (x) = u. v f’ (x) = u’v + v’u Contoh 1 : f(x) = (2x5 + 3)
f (x) = u . v f’ (x) = u’v + v’u Contoh 1 : f(x) = (2x5 + 3) . (3x2 + 1) f’x) = (10x4) (3x2 + 1) + (6x) (2x5 + 3) = (30x6 + 10x4) + (12x6 + 18x) = 42x6 + 10x4 + 18x

24 Pertemuan ke tujuh latihan soal -soal diff fungsi aljabar

25 LATIHAN SOAL 1.f(x) = (x3+3) – (x4+4x2) 2.f(x) = (x3+3x2) + (x3+5x)

26 Contoh 1 :

27 f’x) = n.un-1.u’ 6. f (x) = un Contoh : f(x) = (3x2 + 4)3
f’(x) = 3(3x2 + 4)3-1(6x) = 18x (3x2 + 4)2

28 Contoh 1 :

29 Pertemuan ke lapan Quisioner

30 QUISIONER f(x) = (x3 + 5) (2x + 1) f(x) = (x2 – 1) + (3x2 +3x+7)

31 Pertemuan ke sembilan diff fungsi implisit

32 Fungsi Implisit Differensial secara implisit, caranya differensialkan variabel x seperti biasa, kemudian differensialkan variabel y seperti variabel x, tetapi harus dikalikan dengan dy/dx

33 Pertemuan ke sepuluh latihan soal-soal diff fungsi implisit

34 Latihan soal-soal untuk fungsi implisit
selesaikanlah differensial fungsi implisit berikut ini :

35 Pertemuan ke sebelas diff fungsi trigonometri

36 Koefisien Differensial Baku
Fungsi Trigonometri Tabel 1. Koefisien Differensial Baku No y = f(x) 1 sin x cos x 2 -sin x 3 tg x sec2 x 4 ctg x -cosec2 x 5 sec x sec x tg x 6 Cosec x -cosec x tg x

37 Pertemuan ke duabelas diff fungsi eksponen

38 FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARIMA

39 Pertemuan ke tigabelas latihan soal-soal diff fungsi exponen dan logaritma

40 CONTOH PENYELESAIAN SOAL-SOAL
1. y = ex 2. y = 2e3x 3. y = ln x 4. y = ax 5. log a x 6. y = e(3-x)

41 Pertemuan ke empatbelas mid test

42 MID TEST SELESAIKANLAH DIFFERENSIAL FUNGSI-FUNGSI BERIKUT
INI DENGAN WAKTU 60 MENIT. f(x) = ( 2x4 + 3x2 + 5x + 55 ) f(x) = ( 3x2 + 5x3 ) + ( 4x3 - 2x3 ) f(x) = ( 3x4 + 5x2 ) 7 f(x) = ( 3x 3_ 4x2 ) . ( 2x4 + 5x ) f(x) = sin 2x tg 2x f(x) = ( cos 3x + 5 ) . ( sin 3x2 ) f(x) = ( e 3x + 5x2 ) + ( sin 3x2 + 5 )

43 Pertemuan ke limabelas penerapan differensial

44 PENERAPAN DIFFERENSIAL

45 Garis Singgung dan Garis Normal suatu kurva disebuah titik tertentu.
Kemiringan kurva y = f(x) disebuah titik P pada kurva ditentukan oleh kemiringan garis singgungnya dititik P. Kemiringan ini juga diberikan oleh harga dititik P. Yang dapat dihitung bila persamaan kurvanya diketahui. Jadi kita dapat menghitung kemiringan garis singgung suatu kurva dititik P. Kita tahu bahwa garis singgung tersebut melalui titik P, yaitu bila x = x1 dan y = y1. Persamaan garis untuk menghitung kemiringan adalah: y-y1 = m (x-x1)

46 JARI-JARI KELENGKUNGAN

47 Pertemuan ke enambelas latihan soal penerapan differensial

48 Latihan soal Tentukanlah jari-jari kelengkungan kurva dititik (2,3)
2. Tentukanlah persamaan garis singgung dari garis normal kurva y = x3 – 2x2 + 3x – 1 dititik (2,5).

49 Pertemuan ke tujubelas Integral

50 INTEGRAL Pengertian Integral boleh disebut sebagai “anti turunan” atau kebalikan dari differensial, kalau dalam differensial pangkat dari variabel x berkurang satu, sebaliknya dalam integral pangkat dari variabel x bertambah satu. Dalam operasi matematika ada dua macam operasi yang saling berlawanan, operasi yang demikian merupakan operasi balikan (inversi). Dalam operasi balikan itu misalnya pengurangan dan penambahan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar serta penarikan logaritma dan perhitungan logaritma.

51 MACAM –MACAM INTEGRAL Dalam menyelesaikan suatu fungsi integral, maka perlu kita ketahui bahwa ada beberapa macam fungsi yang dapat dikelompokkan sebagai beriktu : Integral tak tentu Integral parsiil Integral fungsi rasional Integral fungsi trigonometri Integral logaritma dan exponen Integral denan substitusi

52 RUMUS-RUMUS DASAR

53

54 Pertemuan ke delapanbelas Integral tak tentu

55 INTEGRAL TAK TENTU

56 INTEGRAL TAK TENTU Contoh-contoh

57 Pertemuan ke sembilanbelas Integral dengan substitusi

58 INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI
Misalnya : x3 + 2 = u 3x2dx = du

59

60 Pertemuan ke duapuluh latihan soal-soal integral tak tentu dan integral dg substitusi

61 Latihan soal

62 Pertemuan ke duapuluhsatu Integral parsiil

63 INTEGRAL PARSIIL Suatu bentuk integral yang sering timbul, ialah suatu integral yang integralnya merupakan hasil ganda dari suatu fungsi x dengan differensial dari fungsi x yang lain. Andaikan u dan v adalah fungsi dari x, maka dicari hasil dari bentuk : Agar kita dapat menggunakan rumus ini, bentuk dari integral dari integral yang kita ketahui harus dibuat menjadi dua bagaian satu bagain sesuai dengan u dan bagian yang lain bersama-sama dengan dx sesuai dv. Untuk lebih jelasnya kita ambil beberapa

64 Contoh Integral parsiil

65 Pertemuan ke duapuluhdua latihan soal-soal Integral parsiil

66 Latihan soal

67 Pertemuan ke duapuluhtiga Integral fungsi rasional

68 Integral fungsi rasional
Dalam menyelesaikan integral fungsi rasional ada cara yang dapat digunakan agar penyelesaian tersebut dapat dengan mudah kita selesaikan. Caranya adalah sebagai berikut : Bagian kiri identik dengan bagian kanan, berarti koefisien-koefisien dari x yang berpangkat sama dari kedua bagian tersebut harus sama.

69 CONTOH INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
dalam hal ini x3 – 7x + 6 kita uraikan dalam bentuk faktor :

70 Maka persamaan menjadi :

71 Pertemuan ke duapululima latihan soal-soal Integral fungsi rasional

72 LATIHAN SOAL FUNGSI RASIONAL

73 Pertemuan ke duapuluenam latihan soal-soal campuran

74 Slatihan soal-soal campuran
1.f(x) = (x3 + 5) (2x + 1) 2. f(x) = (x2 – 1) + (3x2 +3x+7) 3. f(x) = (4x5 + 10) – (3x3 + 2x) 4. f(x) = (2x3+3x)5

75 Pertemuan ke duapulutujuh latihan soal-soal campuran

76 Slatihan soal-soal campuran
1.f(x) = (x3 + 5) (2x + 1) 2. f(x) = (x2 – 1) + (3x2 +3x+7) 3. f(x) = (4x5 + 10) – (3x3 + 2x) 4. f(x) = (2x3+3x)5

77 Pertemuan ke duapuluhdelapan ujian semester