Bilqis1 Pertemuan 8 2009. bilqis2 The Basics of Counting.

Presentasi berjudul: "Bilqis1 Pertemuan 8 2009. bilqis2 The Basics of Counting."— Transcript presentasi:

1 bilqis1 Pertemuan 8 2009

2 bilqis2 The Basics of Counting

3 bilqis3 Prinsip dasar: Dua macam cara menghitung (counting) 1.Aturan Perkalian The Product Rule 2.Aturan Penambahan The Sum Rule

4 bilqis4 Aturan Perkalian Sebuah proses dibagi dalam beberapa subproses yang berlanjut (subproses-1, subproses-2, …, dan seterusnya). Jika subproses-1 dapat diselesaikan dalam n 1 cara, subproses-2 dapat diselesaikan dalam n 2 cara, …………….. subproses-p dapat diselesaikan dalam n p cara, maka ada (n 1 ) (n 2 ) …..… (n p ) cara untuk menyelesaikan proses tersebut

5 bilqis5 Kaidah Perkalian Rule of Product –Percobaan 1  p kemungkinan –Percobaan 2  q kemungkinan –Maka jika percobaan 1 dan 2 dilakukan –Maka terdapat p x q kemungkinan –P x q  jika perc. 1 dan 2 dilakukan scr simultan

6 bilqis6 Contoh R O P Restauran menyediakan 5 makanan : nasi goreng, roti, soto, sate, sop dan 3 jenis minuman : susu, kopi, the. Jika setiap orang boleh memesan 1 makan dan 1 minum, berapakah kemungkinan pasangan makanan dan minuman dpt di pesan ?

7 bilqis7 Jawaban Soal R O P Pasangan makanan yang dapat di pesan

8 bilqis8 Jawaban Soal R O P Pasangan makanan yang dapat di pesan –Nasi goreng Susu Kopi The –roti Susu Kopi teh –soto Susu Kopi teh –sate Susu Kopi teh –sop Susu Kopi teh

9 bilqis9 Jawaban Soal R O P Pasangan makanan yang dapat di pesan : –15 pasang Orang harus memilih makanan dan minuman, Sehingga dengan mengg aturan perkalian, makanan dan minuman yang di pesan adalah  15 pasang

10 bilqis10 Contoh Ex: – kursi di aula akan di beri nomor : Diawali huruf Diikuti dengan bil yang tidak lebih dari 50 ( < 50) Ex : A 14, B 18 –Berapa jumlah max kursi yang dapat dinomeri –Jawab : Kemungkinan huruf  26 Angka kurang dari 50  –Huruf kiri  0 1 2 3 4 –Huruf kanan  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Jadi jumlah maksimum kursi yang dinomori 26 x 5 x 10 = 1300

11 bilqis11 Contoh Jika ada 10 pertanyaan, masing-masing bisa di jawab B atau S, berapakah kemungkinan kombinasi yang dapat dibuat ? Jawab –2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 10

12 bilqis12 Contoh: lihat Example 1 Penomoran kursi di auditorium berbentuk satu huruf disambung dengan integer positif tidak lebih dari 100. n 1 = 26, n 2 = 100, maka ada 2600 nomor kursi: A001 A002 … A100 B001 B002 … B100 C001 C002 … C100 … Z001 Z002 … Z100

13 bilqis13 Contoh: lihat Example 7 Format nomor telepon NXX-NXX-XXXX di mana N = 2.. 9, X = 0.. 9 NXX : 8 x 10 x 10 XXXX : 10 x 10 x 10 x 10 200, 201, …, 2990000 … 9999 300, 301, …, 399 ……… 900, 901, …, 999 Contoh nomor telepon dengan format ini : 209-302-0089 Maka dengan format ini ada (800)(800)(10.000) = 6.400.000.000 nomor telepon

14 bilqis14 Aturan Penambahan Sebuah proses dapat dilakukan dalam beberapa cara, tetapi cara-cara ini tidak dapat dilaksanakan pada waktu yang sama. Jika ada n 1 cara-1, n 2 cara-2, …………….. n p cara-p, maka ada n 1 + n 2 + …..… + n p kemungkinan cara untuk menyelesaikan proses tersebut

15 bilqis15 Kaidah Penjumlahan Rule of Sum –Percobaan 1  p kemungkinan –Percobaan 2  q kemungkinan –Maka jika percobaan 1 atau 2 dilakukan –Maka terdapat p + q kemungkinan –P + q  jika perc. 1 dan 2 dilakukan scr tidak simultan

16 bilqis16 Contoh: lihat Example 10 Dalam sebuah panitia, wakil dari suatu jurusan bisa dipilih dari dosen atau dari mahasiswa. Jurusan Matematika punya 37 dosen dan 83 mahasiswa. n 1 = 37, n 2 = 83 Maka ada 37 + 83 = 120 calon yang dapat mewakili jurusan Matematika.

17 bilqis17 Soal R O Sum Kahima dpt di pegang oleh angkatan 1997 atau 1998. Jika ada 45 angkatan 1997 dan 52 angkatan 1998, berapa cara memilih jabatan kahima Jawab : –Kahima dari angk. 1997 atau 1998 –Kahima hanya satu, jadi caranya adalah menggunakan + –45 + 52 = 97 cara

18 bilqis18 Perluasan kaidah Perkalian dan Penjumlahan Kaidah X dan + dpt diperluas menjadi lebih dari 2 percobaan Sehingga hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah : –Perkalian  p1 x p2 x p3... pn –Penjumlahan  p1 + p2 + p3... pn

19 bilqis19 Contoh soal Ex : –Perpustakaan memp: 6 buku bhs inggris 8 buku bhs perancis 10 buku bhs jerman Masing-masing buku berbeda judul Bagaimana cara memilih : –3 buah buku, masing-masing dari bhs yang berbeda –1 buah buku sembarang bahasa

20 bilqis20 Contoh soal Jawaban : –Jumlah cara memilih 3 buah buku, masing- masing dari tiap bahasa adalah : 6 x 8 x 10 = 480 cara –Jumlah cara memilih satu buah buku dari sembarang bahasa  6 + 8 + 10 = 24 cara

21 bilqis21 Contoh soal Password panjangya 6-8 digit. Boleh angka ataupun huruf. Tidak membedakan huruf besar dan kecil. Berapa banyak password yg dpt dibuat ? Jawab : –Banyak huruf  26 –Banyak angka  10, –jadi total 36 karakter

22 bilqis22 Contoh soal Jawab : –Untuk password panjang 6 digit, jumlah kemungkinan password : 36 * 36 * 36 * 36 * 36 * 36 = 36 6 =2.176.782.336 –Untuk password panjang 7 digit, jumlah kemungkinan password : 36 * 36 * 36 * 36 * 36 * 36 * 36 = 36 7 =78.364.164.096

23 bilqis23 Contoh soal –Untuk password panjang 8 digit, jumlah kemungkinan password : 36 * 36 * 36 * 36 * 36 * 36 * 36 * 36 = 36 8 =2.821.109.907.456 –Sehingga jumlah total password adalah 2.901.650.833.888

24 bilqis24 Diagram pohon: Untuk visualisasi guna mempermudah penyelesaian. Contoh: lihat Example 17 Berapa bit-string dengan panjang 4 tidak berisi substring “11” ? Daftar bit-string dengan panjang 4 00000100 1000 1100 00010101 1001 1101 00100110 1010 1110 00110111 1011 1111

25 bilqis25 0 1 1 10 000 0 111 00000111101

26 bilqis26 Soal 48 halaman 312: Dengan diagram pohon, hitung berapa bit-string dengan panjang 4 tidak berisi substring “000” 00000100 1000 1100 00010101 1001 1101 00100110 1010 1110 00110111 1011 1111 Gambarkan tree-nya.

27 bilqis27 Prinsip Rumah Merpati (The Pigeonhole Principle)

28 bilqis28 Prinsip rumah merpati (the pigeonhole principle): Jika (k+1) obyek ditempatkan dalam k kotak, maka paling sedikit satu kotak berisi dua atau lebih obyek Obyek  merpati (pigeons) Kotak  rumah merpati (pigeonholes)

29 bilqis29 Contoh: examples 1 – 3 halaman 313 1.Jika ada 367 orang, maka minimal ada berapa orang yang lahir pada tanggal yang sama ? Jawab  2 orang 367 orang  merpati 366 hari  rumah merpati 1.Jika paling sedikit ada 2 kata yang dimulai dengan huruf yang sama, maka minimal ada berapa kata ? Jawab  27 kata. 27 kata  merpati 26 huruf  rumah merpati

30 bilqis30 3.Jika nilai ujian 0.. 100, berapa banyak minimal mahasiswa yang megikuti ujian tersebut supaya paling sedikit ada dua orang yang nilainya sama ? Jawab  102 mahasiswa 102 mahasiswa  merpati 101 nilai (0..100)  rumah merpati

31 bilqis31 Example 1: among any group of 367 people, there must be at least two people with the same birthday, because there are only 366 possible birthday Example 2: If you have 6 classes from Monday to Friday, there must be at least one day on which you have at least two classes.

32 bilqis32 Bentuk umum prinsip rumah merpati (the Generalized Pigeonhole Principle) Jika N obyek ditempatkan dalam k kotak, maka paling sedikit satu kotak berisi paling sedikit  N/k  obyek Contoh : 10 buah jeruk ditempatkan dalam 6 keranjang N = 10, k = 6 Kalau penempatannya “merata” dan tidak ada keranjang yang kosong, maka distribusinya sbb.: 1 1 2 2 2 2

33 bilqis33 Bentuk umum prinsip rumah merpati (the Generalized Pigeonhole Principle) Jika N obyek ditempatkan dalam k kotak, maka paling sedikit satu kotak berisi paling sedikit  N/k  obyek Bukti (dengan kontradiksi) Asumsi: tidak ada kotak yang berisi lebih dari  N/k  -1 maka total obyek tidak lebih dari k (  N/k  -1) k (  N/k  – 1) < k ( ( N/k + 1) – 1) karena  N/k  < N/k + 1 k (  N/k  – 1) < k (N/k) atau total obyek < N Padahal total obyek = N Maka paling sedikit satu kotak berisi paling sedikit  N/k  obyek (terbukti)

34 bilqis34   (N/k) (N/k)+1  N/k  12 13 14 15 40/3 = 13 1/3  40/3 

35 bilqis35 Contoh 5 & 6 halaman 315: 5.Jika ada 100 orang, paling sedikit ada berapa orang yang lahir pada bulan yang sama ?   100/12  = 9 orang. 6.Jika ada nilai A, B, C, D, E dan dalam suatu kelas ada paling sedikit 6 orang yang mendapat nilai sama. Berapa minimal mahasiswa di kelas itu ?  minimum 26 orang. A : 5 B : 5 C : 5 D : 5 E : 5 25 + 1 Jawab : N/5 = 6, è N/5 adalah pembulatan keatas, jadi N = 5.5 + 1 = 26

36 bilqis36 The Pigeonhole Principle Example 3: Assume you have a drawer containing a random distribution of a dozen brown socks and a dozen black socks. It is dark, so how many socks do you have to pick to be sure that among them there is a matching pair? There are two types of socks, so if you pick at least 3 socks, there must be either at least two brown socks or at least two black socks.

37 bilqis37 Di dalam laci ada : –1 lusin kaos kaki putih –1 lusin kaos kaki hitam Lampu mati. Saya ingin memakai sepasang kaos kaki, tidak masalah apakah sepasang kaos kaki putih atau hitam. Berapa kali saya harus mengambil kaos kaki di laci, agar saya yakin saya sudah mendapatkan sepasang kaos kaki ?...  3 kali ambil

38 bilqis38 PR (lihat buku) 4.1  5, 9, 11, 13, 21, 27, 31 4.2  5, 9, 15, 19