Pertemuan 3– Menyelesaikan Formulasi Model Dengan Metode Simpleks

Presentasi berjudul: "Pertemuan 3– Menyelesaikan Formulasi Model Dengan Metode Simpleks"— Transcript presentasi:

1 Pertemuan 3– Menyelesaikan Formulasi Model Dengan Metode Simpleks
Riset Operasional- dewiyani

2 Lebih baik digunakan pada persoalan dengan variabel keputusan lebih dari 2 variabel.
Ditemukan oleh George B. Dantzig pada tahun 1947, dengan mendasarkan diri pada iterasi (penghitungan ulang) Formulasi model harus diubah menjadi bentuk baku (standard form)

3 Bentuk baku (standard form):
Semua fungsi batasan berupa persamaan dengan bilangan pada sisi kanan non negatif. Semua variabel keputusan non negatif Fungsi tujuan dapat memaksimalkan atau meminimalkan.

4 Hal yang harus diperhatikan dalam mengubah menjadi bentuk baku:
Fungsi batasan harus diubah menjadi tanda “=“ dengan menambahkan slack variabel Fungsi tujuan, disesuaikan dengan fungsi batasan.

5 Program Linear Dasar Ciri ciri : - Fungsi tujuan : memaksimalkan
- Fungsi pembatas semua bertanda  - Nilai kanan pada fungsi pembatas selalu bertanda positif

6 LANGKAH LANGKAH DALAM METODA SIMPLEKS ( untuk PL Dasar)
1.Mengubah fungsi tujuan menjadi bentuk implisit 2.Mengubah fungsi batasan menjadi bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack (s). 3.Membentuk suatu tabel simpleks dengan kolom(z, s1, s2….sm) dan baris (z, x1,x2, …xn, s1, s2, ….sm, solusi)

7 4. Menentukan tabel 0, dengan mengisikan seluruh koef
4.Menentukan tabel 0, dengan mengisikan seluruh koef. ke dalam tabel simpleks. 5. Menentukan tabel 1 dengan : a.Menentukan kolom kunci di mana terdapat nilai positif terbesar pada baris Cj-Zj b.Menentukan baris kunci yaitu baris dimana mempunyai nilai ratio positif terkecil.Ratio adalah hasil bagi antara nilai kolom solusi dengan nilai kolom kunci, pada masing-masing baris.

8 c.Menentukan angka kunci, yaitu perpotongan baris kunci dan kolom kunci.
d. Mengubah baris kunci dengan cara membagi dengan angka kunci (nilai angka kunci menjadi 1) e. Sedang untuk baris lain diubah nilainya dengan mengurangkan dengan nilai baris tersebut dengan angka kunci dikalikan baris kunci baru sehingga nilai kolom kunci menjadi 0.

9 6.Buat tabel selanjutnya sampai semua harga baris z bernilai 0 atau positif
7. Nilai optimal adalah nilai z pada kolom solusi, yg terjadi pada xi pada kolom solusi tabel terakhir.

10 Contoh 1 : Contoh Kombinasi Produk
Fungsi tujuan : Memaksimalkan Z = 4x1 + 5x2 Fungsi batasan : x1 + 2x2  40 4x1 + 3x2  120 x1,x2  0

11 Langkah : 1.Ubah formulasi model menjadi bentuk baku: Fungsi batasan :
x1 + 2x2 + S1 = 40 4x1 + 3x2 + S2 = 120 Fungsi tujuan : Z = 4x1 +5x2 + 0 S1 + 0 S2

12 Untuk menyelesaikannya, diubah dalam bentuk matriks yang berisi variabel basis dan variabel non basis.

13 Buat tabel simpleks dasar (iterasi 0)yang berbentuk :
Isi sesuai dengan koefisien pada formulasi modelnya.

14 Keterangan: Tabel 0 menunjukkan kondisi pada titik original.
Cj adalah koefisien fungsi tujuan, yang mencerminkan kontribusi pada keuntungan ( atau biaya), untuk setiap variabel xj dan Sj. Isi kolom kuantitas pada baris variabel basis dengan nilai kanan pada fungsi batasan Penghitungan pada baris Zj dengan jalan mengalikan tiap nilai kolom Cj (pada sisi kiri) dengan tiap kolom nilai variabel (dibawah x1,x2,S1,S2) kemudian menjumlahkan tiap set nilainya satu persatu. Kemudian lengkapi tabel yang ada, sehingga :

15 2. Isi tabel 0 (Iterasi 0) Setelah tabel 0 terisi, kemudian tentukan apakah solusi sudah optimal dengan cara mengecek baris cj-zj. Jika cj-zj sudah nol atau negatif, maka solusi telah optimal. Tetapi jika masih terdapat nilai positif, yang berarti belum optimal, buat tabel 1, dengan langkah sebagai berikut :

16 3. Buat tabel 1 (iterasi 1) dengan langkah :
Menentukan kolom pemutar/kolom pivot dengan cara memilih kolom yang memiliki nilai positif terbesar pada baris Cj-Zj. Kolom pivot ini digunakan untuk menentukan variabel non basis yang akan masuk ke variabel basis

17 Menentukan baris pivot dengan cara menentukan rasio pada masing-masing baris. Rasio didapat dengan membagi nilai-nilai pada kolom kuantitas dengan nilai-nilai pada kolom pivot. Setelah itu, pilih baris dengan rasio non negatif terkecil. Baris pivot ini digunakan untuk menentukan variabel basis yang akan keluar dari variabel basis. Perpotongan antara baris pivot dan kolom pivot menghasilkan nilai pivot

18 Variabel yang menjadi kolom pivot, masuk menjadi variabel non basis, sehingga kerangka tabel menjadi :

19 Mengubah nilai baris pivot yang baru dengan cara :

20 Menghitung nilai baris lainnya dengan cara :
Nilai baris tabel baru = nilai baris tabel lama – (koef kolom pivot yg berhubungan x nilai baris pivot tabel baru yg berhub ) Tabel 1 lengkap terisi:

21 4. Menentukan apakah solusi sudah optimal dengan cara mengecek baris cj-zj. Jika cj-zj sudah nol atau negatif, maka solusi telah optimal. Tetapi jika masih terdapat nilai positif, maka ulangi lagi langkah 3 dan buat tabel 2 dst.

22 4. Buat tabel 2 (iterasi 2) Untuk mengisi tabel 2, ulangi langkah 3,sehingga tabel 2 seluruhnya terisi.

23 Tabel 2 Karena pada baris Zj – Cj semua sudah non positif, maka tabel sudah optimal Diperoleh solusi : x1 = 24, x2 = 8 dan Z = 136.

24 Contoh 2 :

25 Contoh 3:

26 Kasus Khusus: Solusi optimal majemuk
 pada tabel optimal, untuk baris cj-zj terdapat angka 0 pada kolom yang bukan variabel basis 2. Tidak ada daerah fisible :  pada tabel optimal, masih ada variabel artificial 3. Solusi tidak terbatas  semua rasio bertanda negatif atau nol, yang berarti tidak ada titik yang dibatasi.

27 1. Solusi optimal majemuk
Contoh :

28 2. Tidak ada daerah fisible
Nilai pada baris Cj-zj sudah negatif atau nol, tapi masih terdapat variabel artificial

29 3. Masalah solusi tdk terbatas
Contoh:

30 Contoh Soal 1. x1 + 2 x2  40 2. 8x1 + 6x2 + x3  48 4x1 + 2x2  20
Memaksimumkan Z = 4 x1 + 5 x2 2. 8x1 + 6x2 + x3  48 4x1 + 2x2  20 2x1 + 1,5 x2 + 1,5 x3  8 x2  5, x1,x2, x3  0 Memaksimumkan Z = x1+30x2+20x3

31 3. Fungsi batasan : x1+ x2  4 x1 - x2  6 x1,x2  0 Fungsi tujuan : Meminimumkan z = 2x1 - 3x2 Catatan : untuk menyelesaikan persoalan LP dengan fungsi tujuan meminimumkan Z, dilakukan dengan cara menginversikan fungsi tujuan ( dikalikan minus 1 )

32 4. Sebuah perusahaan elektronik memproduksi tape recorder dan amplifier yang proses nya dilakukan di 2 statiun kerja yaitu perakitan dan pengetesan. Setiap untuk tape recorder memerlukan 2 jam perakitan dan 2 jam pengetesan. Sedangkan setiap unit amplifier memerlukan 4 jam perakitan dan 3 jam pengetesan. Waktu yang tersedia di departemen perakitan adalah 72 jam/minggu. Sedangkan departemen pengetesan adalah 48 jam/minggu. Kontribusi profit dari tape recorder adalah Rp ,-/unit, dan dari setiap unit amplifier adalah Rp ,-. Bagaimanakah formulasi persoalan di atas agar dapat ditentukan strategi produksi terbaik yang memberikan kontribusi profit maksimum

33 Contoh 5