Jumat, 07 April 2017 Teorema Ramsey sunarsih03@gmail.com.

Presentasi berjudul: "Jumat, 07 April 2017 Teorema Ramsey sunarsih03@gmail.com."— Transcript presentasi:

1 Jumat, 07 April 2017 Teorema Ramsey

2 BY DARWIN DJENI NIM. 080210101043 YUNIKA DEWI WULANINGTYAS
Jumat, 07 April 2017 DARWIN DJENI NIM BY YUNIKA DEWI WULANINGTYAS NIM

3 Ramsey Theory Problem 2 Problem 1 Teorema 4.3.2 Problem 3
Jumat, 07 April 2017 Ramsey Theory Problem 2 Problem 1 Teorema 4.3.2 Problem 3 Teorema 4.3.1

4 Jumat, 07 April 2017 Tunjukkan bila sisi K6 diwarnai oleh dua warna maka akan memuat segitiga monokromatik, tunjukkan pula bahwa K6 minimal dengan sifat ini. Problem 1

5 Jumat, 07 April 2017 Proof Diberikan pewarnaan sisi dari K6 dengan merah dan biru, misal v adalah sembarang titik pada K6. Ada paling sedikit 3 sisi merah terjadi dengan v atau paling sedikit 3 sisi biru dengan v, karena v mempunyai derajat 5.

6 Jumat, 07 April 2017 Proof Kita asumsikan ada 3 sisi merah. Jika yang digambarkan dengan titik–titik (garis putus-putus) pada gambar adalah merah, maka akan ada segitiga merah. Jika semua biru , maka akan membentuk segitiga biru.

7 Jumat, 07 April 2017 Figure 4.3.1 V V

8 Jumat, 07 April 2017 Dengan demikian, sembarang pewarnaan sisi pada K6 oleh dua warna akan memuat segitiga monokromatik

9 Jumat, 07 April 2017 Figure 4.3.2 Figure menunjukkan bahwa pewarnaan K5 dengan dua warna dan tidak memuat segitiga monokromatik

10 Teorema Ramsey Teorema 4.3.1
Jumat, 07 April 2017 Teorema Ramsey Teorema 4.3.1 Untuk setiap bilangan n, ada sebuah bilangan r(n) sedemikian hingga sembarang pewarnaan sisi dari komplit graf dengan r(n) titik, menggunakan merah dan biru harus memuat salah satu dari Kn merah atau Kn biru.

11 Jumat, 07 April 2017 Problem 2 K9 Tunjukkan bahwa jika sisi K9 diwarnai dengan merah dan biru, maka akan ada sebuah K3 merah atau sebuah K4 biru. Tunjukkan pula bahwa K9 minimal dengan sifat ini.

12 Jumat, 07 April 2017 Teorema Ramsey Kita asumsikan bahwa sisi dari K9 diwarnai dengan merah dan biru. Jika dalam suatu titik dalam K9 ada 4 sisi merah, seperti dalam gambar 4.3.3, maka akan ada sebuah segitiga merah atau sebuah K4 biru. Proof

13 Jumat, 07 April 2017 Teorema Ramsey V V

14 Jumat, 07 April 2017 Teorema Ramsey Ini pasti benar jika sisi yang digambar dengan garis putus-putus berwarna merah, maka ada sebuah K3 merah Jika semua sisi yang digambar dengan garis putus-putus berwarna biru, maka akan membentuk sebuah K4 biru. Proof

15 Jumat, 07 April 2017 no K4 no K3

16 Jumat, 07 April 2017 Bilangan Ramsey r(m,n) Bilangan Ramsey r(m,n) adalah bilangan terkecil dengan sifat untuk setiap pewarnaan sisi grap komplit dengan r(m,n) titik dengan menggunakan warna merah dan biru haruslah memuat sebuah Km merah atau sebuah Kn biru. Seperti telah diketahui bahwa r(3,4)=9. Sangat sedikit bilangan Ramsey yang telah diketahui.

17 Jumat, 07 April 2017 Perhatikan bahwa r(1,n)=1, karena untuk sembarang pewarnaan sisi pada K1 dengan dua warna memuat sebuah K1 merah atau sebuah Kn biru. Hal ini benar karena K1 tidak memiliki sisi, sehingga semua sisi K1 adalah merah. Demikian juga r(2,n)=n, karena untuk sembarang pewarnaan sisi Kn dengan merah dan biru memuat sebuah K2 merah, dengan demikian dia memuat sebuah sisi merah, dia memuat sebuah Kn biru.

18 Bilangan Ramsey r(m,n) yang telah diketahui: r(1,n) = 1 r(2,n) = n
Jumat, 07 April 2017 Bilangan Ramsey r(m,n) yang telah diketahui: r(1,n) = 1 r(2,n) = n r(3, 3) = 6 r(3,4) = 9 r(3,5) = 14 r(3,6) = 18 r(3,7) = 23 r(3,9) = 36 r(4,4) = 18

19 Jumat, 07 April 2017 Untuk setiap m dan n, ada bilangan Ramsey r(m,n) sedemikian hingga untuk sembarang pewarnaan sisi Kr(m,n) dengan merah dan biru memuat sebuah Km merah atau sebuah Kn biru. Selanjutnya r(m,n) memenuhi pertidaksamaan Teorema r(m,n) ≤ r(m-1,n) + r(m,n-1)

20 Jumat, 07 April 2017 Kita memulai dengan induksi pada K=m+n. Nilai terkecil yang memenuhi persamaan adalah K=4, untuk n=2 dan m=2 maka r(2,2) = 2 ≤ 1+1 = r(1,2) + r(2,1) Proof Theorem

21 Jumat, 07 April 2017 Sekarang andaikan bahwa teorema ini benar untuk semua nilai k Misalkan G adalah grap komplit r(m-1,n)+r(m,n-1) titik. Proof Theorem

22 Jumat, 07 April 2017 Kita asumsikan bahwa sisi dari G diwarnai dengan merah dan biru. Misalkan v adalah sembarang titik pada G. Pada salah satu v ada r(m-1,n) sisi merah atau r(m,n-1) sisi biru. Proof Theorem

23 Jumat, 07 April 2017 V … r (m,n-1) … r (m-1,n) Untuk membuktikan bahwa ini benar, anggap bahwa degree dari v adalah r(m-1,n)+r (m,n-1) – 1.

24 Jumat, 07 April 2017 Theorem Case 1 Case 2

25 Jumat, 07 April 2017 1 Jika ada r(m-1,n) sisi merah pada v, the subgraph H induced by the other endpoints of these edges is a complete graph with r(m-1,n) vertices that is edge colored with red and blue. C A S E 1 2 Thus either there is a red Km-1 in H, that together with v forms a red Km in G, or there is a blue Kn in H and hence also in G.

26 Jumat, 07 April 2017 3 C A S E 1 Oleh karena itu, jika ada r(m-1,n) sisi merah pada v, maka salah satu G memuat sebuah Km merah atau sebuah Kn biru.

27 Jumat, 07 April 2017 1 If there are r (m, n-1) blue edges at v, the subgraph I induced by the other endpoints of these edges is a complete graph with r(m,n-1) vertices that is edge colored with red and blue. C A S E 2 2 Thus either there is a red Km in I and hence in G, or there is a blue Kn-1 in I, that together with v forms a blue Kn in G.

28 Jumat, 07 April 2017 3 Oleh karena itu, jika ada r(m,n-1) sisi biru pada v, maka salah satu G memuat sebuah Km merah atau sebuah Kn biru C A S E 2 Dan dapat kita tetapkan bahwa r (m, n) ≤ r(m-1,n) + r(m,n-1) Jika kita definisikan r(n,n)=r(n), maka Teorema adalah sebuah kasus khusus dari Teorema 4.3.2

29 Jumat, 07 April 2017 PROBLEM 3 Tunjukkan bahwa jika sisi dari K5,5 diwarnai dengan dua warna, maka akan ada sebuah monokromatik K 2,2

30 satu warna akan mewarnai sedikitnya 13 sisi
Jumat, 07 April 2017 PROOF Ada 25 sisi pada K5,5 satu warna akan mewarnai sedikitnya 13 sisi Karena masing-masing sisi memiliki titik ujung pada masing-masing himpunan partisinya, dapat kita lihat banyaknya sisi dengan 5 titik pada salah satu himpunannya

31 Secara umum ada tiga kasus:
Jumat, 07 April 2017 PROOF Perhatikan bahwa pewarnaan dengan memuat sebuah monokromatik K2,2 dengan tepat saat dua dari titiknya memiliki dua tetangga Secara umum ada tiga kasus:

32 Jumat, 07 April 2017 Satu titik v mempunyai derajat 5 dalam S. Karena rata-rata derajat dari 4 titik tersisa adalah 2, sedikitnya satu titik mempunyai derajat paling sedikit 2, sebut itu dengan w. Maka v dan w dua tetangga yang sama dan ada K2,2 C A S E 1

33 Jumat, 07 April 2017 C A S E 2 Satu titik memiliki derajat 4 di S. Karena masih ada sisa 9 sisi lagi, maka paling sedikit titik w memiliki derajat 3 di S, sehingga akan ada minimal 2 tetangga yang sama dengan v, sehingga ada K2,2

34 Jumat, 07 April 2017 C A S E 3 Minimal ada 3 titik yang berderajat 3 di S, sehingga pasti ada K2,2

35 Jumat, 07 April 2017