Bab 18 Karakteristik Butir. ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------

Presentasi berjudul: "Bab 18 Karakteristik Butir. ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------"— Transcript presentasi:

1 Bab 18 Karakteristik Butir

2 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Bab 18 Karakteritik Butir A. Dasar 1. Butir Di Dalam Pengukuran (a) Kedudukan Butir Pada umumnya, alat ukur (ujian atau survei) terdiri atas sejumlah butir Butir merupakan komponen dasar di dalam alat ukur dan pengukuran Sekor butir adalah komponen dasar di dalam pensekoran pada pengukuran

3 ------------------------------------------------------------------------------ Karakeritik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Perangkat alat ukur dan butir  – Perangkat alat ukur  –  – adalah butir

4 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ 2. Pembentukan Alat Ukur Alat ukur biasanya dibentuk melalui perakitan butir- butir melalui tata cara tertentu Butir dapat diambil dari Kumpulan butir yang sudah tersedia Bank butir Bank butir memiliki butir yang diseleksi dari kumpulan butir melalui prosedur tertentu Hanya butir yang memenuhi persyaratan yang disimpan di dalam bank butir Butir di dalam bank butir diadministrasi dan dipelihara menurut tata cara tertentu

5 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Perakitan alat ukur dari kumpulan butir atau bank butir Kumpulan butir Bank butir Seleksi berdasarkan karakteristik butir Perangkat alat ukur

6 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ 3. Sekor Satuan Butir dan Sekor Responden Pensekoran Perangkat alat ukur yang ditanggapi oleh para responden menghasilkan sekor butir Sekor satuan Sekor satu butir dari satu responden merupakan sekor satuan (komponen dasar) Nilai sekor satuan dapat terbentuk dari (a) sekor 1 untuk jawaban betul dan sekor 0 untuk jawaban salah, (b) sekor sesuai dengan nilai skala yang ditetapkan untuk tiap jawaban atau tanggapan Sekor responden Biasanya merupakan jumlah sekor satuan pada responden bersangkutan Di sini banyak digunakan sekor responden berupa jumlah jawaban betul

7 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ 4. Proporsi Jawaban Betul Dalam hal jawaban betul (sekor 1) dan jawaban salah (sekor 0), dikenal proporsi jawaban betul Proporsi jawaban betul dilakukan pada butir tertentu, misalkan, pada butir ke-i Pada butir ke-i, kita kelompokkan responden berdasarkan sekor responden A. Seperti pada contoh 1, ada kelompok responden sekor 12, adalah kelompok responden sekor 11, dan seterusnya Pada butir ke-i, proporsi jawaban betul pada kelompok responden sekor A, adalah P i (A), yakni proporsi menjawab betul di kelompok itu Misalkan pada butir ke-2, di kelompok responden sekor 7 ada 4 orang. Apabila 1 dari 4 responden itu menjawab betul, maka proporsi jawaban betul di kelompok itu adalah P 2 (7) = 1 / 4 = 0,25 Artinya 25% responden menjawab betul butir itu

8 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 1 Respon- Butir Sekor res- den ke-2 ponden A 1 1 12 19 1 8 2 1 12 20 1 8 3 1 11 21 1 8 4 1 11 22 1 8 5 1 11 23 0 8 6 1 10 24 0 7 7 1 10 25 0 7 8 1 10 26 0 7 9 1 10 27 1 7 10 1 10 28 0 6 11 0 10 29 0 6 12 1 9 30 0 5 13 1 9 14 1 9 15 1 9 16 0 9 17 1 9 18 1 9

9 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Proporsi jawaban betul untuk butir ke-2 Sekor Proporsi jawaban betul A P 2 (A) 5 0 / 1 = 0,00 6 0 / 2 = 0,00 7 1 / 4 = 0,25 8 4 / 5 = 0,80 9 6 / 7 = 0,86 10 5 / 6 = 0,83 11 3 / 3 = 1,00 12 2 / 2 = 1,00 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 56789101112 A P 2 (A)

10 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 2 Respon- Butir Sekor res- den 2 4 6 ponden A 1 1 1 1 12 19 1 0 1 8 2 1 1 1 12 20 1 0 1 8 3 1 1 0 11 21 1 0 0 8 4 1 1 1 11 22 1 0 0 8 5 1 1 1 11 23 0 0 0 8 6 1 1 0 10 24 0 0 0 7 7 1 1 1 10 25 0 0 1 7 8 1 1 0 10 26 0 0 0 7 9 1 1 1 10 27 1 0 0 7 10 1 1 0 10 28 0 0 0 6 11 0 1 1 10 29 0 0 0 6 12 1 0 0 9 30 0 0 0 5 13 1 0 0 9 14 1 0 1 9 15 1 0 1 9 16 0 0 1 9 17 1 0 0 9 18 1 0 0 9

11 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Proporsi jawaban betul untuk butir ke-4 Sekor Proporsi jawaban betul A P 4 (A) 5 0 / 1 = 0,00 6 0 / 2 = 0,00 7 0 / 4 = 0,00 8 0 / 5 = 0,00 9 0 / 7 = 0,00 10 6 / 6 = 1,00 11 3 / 3 = 1,00 12 2 / 2 = 1,00 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 56789101112 A P 4 (A)

12 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Proporsi jawaban betul untuk butir ke-6 Sekor Proporsi jawaban betul A P 6 (A) 5 6 7 8 9 10 11 12 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 56789101112 A P 2 (A)

13 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 3 Respon- Butir Sekor res- den 1 2 3 4 5 6 7 8 ponden A 18 1 1 1 1 1 1 1 1 8 4 1 1 1 1 1 1 1 0 7 11 1 1 1 1 1 1 0 1 7 2 1 1 1 1 0 0 1 1 6 9 1 1 1 0 1 1 1 0 6 13 1 1 1 1 1 1 0 0 6 7 1 0 1 1 1 1 0 0 12 1 1 0 1 1 0 1 0 19 1 1 1 1 0 1 0 0 20 1 1 1 1 1 0 0 0 5 1 1 1 1 0 0 0 0 10 1 0 0 1 1 1 0 0 14 0 1 1 1 1 0 0 0 16 1 1 1 0 1 0 0 0 18 1 1 1 0 0 0 0 0 15 1 1 1 0 0 0 0 0 17 1 1 0 1 0 0 0 0 3 1 0 1 0 0 0 0 0 6 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

14 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Sekor Proporsi jawaban betul pada butir Resp A 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 0 0 0 0 0,33 0,50 1,00 2 0 0 0 0 0,25 0,67 0,50 1,00 3 4 5 6 7 8 Buatlah grafik proporsi jawaban betul untuk setiap butir

15 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ B. Parameter Responden dan Parameter Butir 1. Parameter Responden Sekor responden mencerminkan kemampuan responden sehingga sekor responden dan kemampuan responden merupakan parameter responden Kemampuan responden merupakan suatu kontinum dari rendah ke tinggi Biasanya sekor responden tinggi menunjukkan kemampuan tinggi dan sekor responden rendah menunjukkan kemampuan responden rendah Biasanya, pada sekor responden tinggi atau kemampuan tinggi, proporsi jawaban betul juga tinggi

16 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Biasanya terjadi Sekor Kemampuan Proporsi jawaban responden responden betul tinggi tinggi tinggi... rendah rendah rendah Pada karakteristik butir, proporsi jawaban betul dikenal sebagai probabilitas jawaban betul Sekor responden = kemampuan responden (  ) Proporsi jawaban betul = probabilitas jawaban betul P(  )

17 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ 2. Probabilitas Jawaban Betul Untuk butir ke-i, probabilitas jawaban betul berkaitan dengan dengan kemampuan responden  Makin tinggi kemampuan responden , makin besar pula probabilitas jawaban betul Hubungan di antara probabilitas jawaban betul pada butir ke-i dengan kemampuan responden  adalah P i (  ) = f (  ) Sebagai probabilitas: 0  P i (  )  1 56789101112 P i (  )  1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

18 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ 3. Parameter Butir (a) Taraf Sukar Butir Ada butir yang sukar, ada butir yang sedang, dan ada butir yang mudah Taraf sukar butir merupakan suatu kontinum dari mudah ke sukar Taraf sukar butir ke-i dinyatakan dengan b i Makin tinggi taraf sukar butir b i, diperlukan kemampuan responden  yang makin tinggi untuk dapat menjawabnya dengan betul  > b i P i (  ) tinggi  < b i P i (  ) rendah Kontinum taraf sukar berimpit dengan kontinum kemampuan responden

19 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Hubungan di antara kemampuan responden dan taraf sukar butir untuk butir ke-i  b  > b;  – b > 0 P(  ) > 0,5  > b  b  < b;  – b < 0 P(  ) < 0,5  < b  = b  b  = b; P(  ) = 0,5

20 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Probabilitas jawaban betul pada butir ke-i berhubungan dengan letak  terhadap b i atau terhadap (  – b i ) atau P i (  ) = f (  – b) Ini dikenal sebagai kararteristik butir satu parameter P i (  ) = f ( , b i ) Nilai taraf sukar butir ke-i ditentukan oleh  – b i = 0 atau b i =  pada saat P i (  ) = 0,5 bibi  P i (  ) 1,0 0,5

21 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Makin sukar butir, maka makin ke kanan letak karakteristik butir seperti tampak pada diagram berikut butir j lebih sukar dari butir i P(  )  bibi bjbj ij 1,0 0,5 P(  ) 1,0 0,5 bibi bjbj  i j

22 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ (b) Daya Beda Butir Ada butir yang memiliki ciri dapat dijawab dengan betul oleh kebanyakan responden yang berkemampuan tinggi tidak dapat dijawab dengan betul oleh kebanyakan responden yang berkemampuan rendah Butir demikian memiliki daya untuk membedakan responden berdasarkan kemampuan mereka Butir memiliki parameter berupa daya beda butir P(  ) Perbedaan besar Banyak jawab salah Banyak jawab betul 1,0 0,5 

23 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Makin besar daya beda butir, maka makin curam lengkungan karakteristik butir, seperti tampak pada diagram berikut P(  ) 1,0 0,5   b b 11 11 22 22 Perbedaan kecil Perbedaan besar

24 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Kecuraman pada lengkungan merupakan koefisien arah a pada fungsi a(   b).Makin curam makin besar koefisien arah a Pada butir ke-i, daya beda butir dinyatakan sebagai koefisien arah yang menunjukkan kecuraman pada lengkungan yakni a i sehingga P i (  ) = f (a i (   b i )) Di sini terdapat dua parameter butir: b i dan a i dan ini dikenal sebagai karakteristik butir dua parameter P i (  ) = f ( , a i, b i ) P(  ) 1,0 0,5 11 bibi 22  j i a j > a i

25 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ (c) Tingkat Kebetulan Betul pada Butir Pada butir pilihan ganda dapat saja terjadi bahwa jawaban betul dicapai melalui terkaan Jawaban betul ini adalah kebetulan betul Tingkat kebetulan menjawab betul pada butir ke-i dinyatakan dengan parameter butir c i dan merupakan probabilitas jawaban betul minimum P i (  ) min = c i P(  ) 1,0 cici (1  c i )  bibi 0,5(1  c i )

26 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Di sini, taraf sukar butir b i tidak diperoleh melalui probabilitas jawaban betul P i (  ) = 0,5 melainkan pada P i (  ) = c i + 0,5 (1  c i ) = 0,5 (1 + c i ) Bentangan P i (  ) tidak lagi dari 0 sampai 1,0 melainkan dari c i sampai 1,0 yakni selebar (1  c i ) sehingga f (a i (  b i )) menjadi (1  c i ) f (a i (  b i )) dan probabilitas jawaban betul menjadi P i (  ) = c i + (1  c i ) f (a i (   b i )) Di sini terdapat tiga parameter butir a i, b i, dan c i sehingga dikenal sebagai karakteristik butir tiga parameter P i (  ) = f ( , a i, b i, c i )

27 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ 4. Tiga Model Karakteristik Butir (a)Model satu parameter (1P) Bentuk umum P(  ) = f ( , b) Bentuk khusus P i (  ) = f (   b i ) b i =  pada P i (  ) = 0,5 (b)Model dua parameter (2P) Bentuk umum P(  ) = f ( , a, b) Bentuk khusus P i (  ) = f (a i (   b i )) b i =  pada P i (  ) = 0,5

28 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ (c) Model tiga parameter (3P) Bentuk umum P(  ) = f ( , a, b, c) Bentuk khusus P i (  ) = c i + (1  c i ) f (a i (   b i )) b i =  pada P i (  ) = c i + 0,5 (1  c i ) = 0,5 (1 + c i ) (d)Model Karakteristik Butir Selanjutnya model karateristik butir 1P, 2P, dan 3P ini ditentukan oleh bentuk f ( , b i ) f ( , a i, b i ) f ( , a i, b i, c i ) yang dipilih atau ditentukan bentuknya

29 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ C. Lengkungan Karateristik Butir 1. Model Ideal (a) Model Skala Sempurna P i (  )   bibi b1b1 b2b2 b3b3 b4b4  < b i P i (  ) = 0  ≥ b i P i (  ) = 1

30 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ (b) Model Jarak Laten  < b i P i (  ) = c  ≥ b i P i (  ) = d P i (  ) 1,00 d 0,75 0,50 0,25 c  bibi

31 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ 2. Model Linier P i (  ) = c i + a i (   b i ) 0 ≤ P i (  ) ≤ 1 Pada b i = 0 P i (  ) = c i + a i  Pada c i = 0 P i (  ) = a i (   b i ) P i (  )   1,0 0,5 bibi bibi cici

32 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ 3. Model Nonlinier (a) Data Empirik Sebagian besar data empirik menunjukkan lengkungan nonlinier

33 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Contoh empirik lainnya

34 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ (b) Model Ojaif Normal Peningkatan P(  ) terhadap peningkatan kemampuan  dipandang sebagai berdistribusi probabilitas ojaif normal Lengkungan karakteristik butir menjadi berbentuk ojaif normal (c) Model Logistik Perhitungan pada model ojaif normal cukup rumit sehingga dicarikan model serupa dengan perhitungan yang lebih sederhana Ditemukan bentuk yang mirip melalui pendekatan ke fungsi logistik sehingga menjadi model logistik

35 ------------------------------------------------------------------------------ Karakeristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ 4. Komparasi Model Terdapat tiga macam model berupa model ideal, model linier, dan model nonlinier Model ideal Ini adalah model terbaik atau sempurna karena secara jelas membagi dua responden menurut kemampuan mereka (batas jelas) Sukar sekali untuk (praktis tidak dapat) menemukan butir seperti ini 1,0  P(  )

36 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Model linier Ini adalah model yang cukup dilakukan melalui perhitungan yang sederhana Sukar untuk (praktis tidak dapat) menemukan model linier  P(  )

37 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteritik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Model Nonlinier Ini terletak di antara model ideal dan model linier dan paling sering ditemukan pada butir Kita perlu menentukan model nonlinier yang bagaimana yang paling memadai Biasanya model nonlinier berbentuk ojaif atau berbentuk lengkungan S  P(  )

38 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ D. Keterampilan Matematika 1. Fungsi Eksponensial Konstanta e dinamakan juga sebagai konstanta eksponensial, memiliki nilai tetap e = 2,718281828 … dapat diteruskan sampai tidak ada batas Di dalam pemakaian, e sering dibatasi sampai 2 atau 3 digit pecahan desimal e = 2,72 atau e = 2,718 Fungsi eksponensial menggunakan e dalam bentuk seperti e x atau e f(x)

39 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Nilai fungsi eksponensial e x dapat langsung ditemukan melalui kalkulator elektronik Misalnya e 0,5 dapat langsung ditemukan di dalam kalkulator Casio melalui Terbaca bahwa hasilnya adalah 1,6487 … AC bertujuan mengosongkan isi memori kalkulator AC Shift exex 0  5 =

40 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 4 Dengan kalkulator, carilah nilai berikut e -1,5 = e -2,75 = e -1,0 = e -1,87 = e 0 = e 0,5 = e 1,5 = e 1,75 = e 2,0 = e 2,25 = e 2,5 = e 2,75 = e 2,9 = e 3,0 = e 3,75 = e 4,0 =

41 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ 2. Fungsi Logaritma Logaritma berkaitan dengan pangkat dan akar pada bilangan, misalnya 3 2 = 9 Pangkat Pangkat bersangkutan dengan pertanyaan 3 2 = ? ? = 3 2 Akar Akar bersangkutan dengan pertanyaan ? 2 = 9 ? = √9

42 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Logaritma Logaritma bersangkutan dengan pertanyaan 3 ? = 9 ? = 3 log 9 Di sini, 3 dinamakan basis logaritma Kalau basis logaritma adalah 10, biasanya 10 itu tidak perlu ditulis 10 ? = 100 ? = log 100 Kalau basis logaritma adalah e, maka logaritma ini dinamakan logaritma naturalis dan ditulis sebagai ln e ? = 1,6487 ? = ln 1,6487

43 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Nilai logaritma dapat langsung dihitung pada kalkulator elektronik Perhitungan log (yakni basis 10) Misalnya untuk log 25 pada kalkulator Casio Hasilnya adalah 1,3979 … Ini berarti bahwa 10 1,3979… = 25 AC log25 =

44 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 5 Dengan kalkulator elektronik, carilah nilai log sebagai berikut log 15 = log 27,5 = log 50,5 = log 58 = log 75 = log 83 = log 100 = log 118 = log 1350 = log 2750 = log 0,75 = log 0,025 = log 0,50 = log 0,95 = log e = log  =

45 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Perhitungan ln (yakni basis e) Misalnya ln 2,75 pada kalkulator Casio Hasilnya adalah 1,0116 … Contoh 6 Dengan kalkulator elektronik, carilah nilai ln 0,75 = ln 0,90 = ln 1,25 = ln 15 = ln 20 = ln 27,5 = ln 50 = ln 75 = ln 150 = AC ln2  = 75

46 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ 3. Diferensial Di dalam matematika, diferensial adalah bilangan yang sangat kecil mendekati ke 0  x = x 2 – x 1 Jika x 2  x 1 maka  x  0  x  0 ini dikenal sebagai diferensial dx Cara yang sama berlaku untuk variabel lainnya, misalnya, y  y  0 dikenal sebagai dy x1x1 x2x2

47 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ 4. Hasibagi (quotient) diferensial Pembagian di antara dy dan dx dikenal sebagai hasilbagi diferensial atau juga sebagai y’ Kalau y = f (x), maka hasilbagi diferensial menjadi atau juga sebagai f’(x) Dengan demikian, hasilbagi diferensial adalah hasilbagi dari bilangan sangat kecil yang mendekati 0 Terdapat sejumlah rumus untuk menghitung hasilbagi diferensial

48 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Hasilbagi diferensial (dikenal juga sebagai turunan pertama) bergantung kepada fungsi yang dideferensialkan Beberapa rumus umum a = konstanta

49 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 7

50 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Rumus selanjutnya

51 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 8

52 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 9

53 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ 5. Hasilbagi diferensial sebagai sudut garis singgung  y ----- berkaitan dengan besarnya sudut  x Jika  x  0 maka B bergerak ke A dy maka ----- merupakan sudut pada garis dx singgung di titik A yy xx y x Garis singgung A B C

54 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ 6. Titik Minimum, Titik Maksimum, dan Titik Balik Pada titik minimum dan maksimum garis singgung menajdi horizontal sehingga sudut singgung menjadi nol Pada titik minimum atau titik maksimum, karena sudut singgung adalah noi, maka dy ------ = 0 dx y x y x

55 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Titik Balik adalah titik ketika grafik membalik, misalnya, dari melengkung ke kanan membalik menjadi melengkung ke kiri Pada titik balik, garis singgung horizontal sehingga sudut singgung menjadi 0 yakni dy ----- = 0 dx y x

56 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ 7. Integrasi Di dalam matematika, integrasi adalah proses penjumlahan sedjumlah bilangan yang sangat kecil mendekati 0 Notasi integrasi adalah ∫, misalnya, ∫ydx Luas yang sangat kecil adalah y dx Jumlah dari semua luas y dx dari x 1 sampai x 2 adalah luas seluruh gambar x1x1 x2x2 x y dx y

57 ----------------------------------------------------------------------------- Karakteristik Butir ----------------------------------------------------------------------------- Integrasi pada distribusi probabilitas normal baku Integrasi ini menghasilkan luas pada histogram distribusi probabilitas normal baku Luas ini bergantung kepada letak z 1 dan nilainya dijadikan tabel fungsi distribusi bawah untuk berbagai nilai z 1 (lihat tabel) –∞  z1z1  z1 z

58 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 10 Nilai ini dapat dilihat pada tabel fungsi distribusi (bawah) pada distribusi probabilitas normal baku Dapat juga dicari pada program komputer tentang statistika seperti Minitab Fungsi distribusi (bawah) pada distribusi normal baku merupakan kumulasi distribusi (luas histogram pada distribusi probabilitas normal baku) dari – ∞ sampai suatu nilai z 1 = – 1,13 - 1,13  -1,13 n (z; 0, 1) z

59 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ 8. Perhitungan integral Secara umum integrasi adalah kebalikan dari hasilbagi diferensial Hasilbagi diferensial dan integral C = suatu konstanta (karena hasilbagi dife- rensial konstanta sama dengan 0) C dapat ditentukan kemudian

60 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 11 Tampak di sini bahwa jika hasilbagi diferensial diintegralkan maka hasilnya kembali asal Asal adalah y = x 4 dan setelah didiferensial serta diintegralkan maka hasilnya kembali ke y = x 4

61 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Integral definit Integral definit adalah integral yang diberi batas nilai dari sesuatu ke sesuatu Misalkan integrasi dilakukan dari x 1 sampai ke x 2 maka bentuknya adalah Contoh 12

62 ------------------------------------------------------------------------------ Karakteristik Butir ------------------------------------------------------------------------------ Rumus umum beberapa integral Diferensial diintegral akan kembali asal sehingga jika y didiferensialkan dan kemudian diintegralkan maka hasilnya akan kembali ke y