DISTRIBUSI PROBABLITAS (SSTS 2305 / 3 sks)

Presentasi berjudul: "DISTRIBUSI PROBABLITAS (SSTS 2305 / 3 sks)"— Transcript presentasi:

1 DISTRIBUSI PROBABLITAS (SSTS 2305 / 3 sks)
Dra. Noeryanti, M.Si

2 Pengantar: Di bidang statistika, bentuk distribusi probabilitas perlu dipelajari untuk memahami dan menafsirkan implikasi umum dari studi staistik yang lebih lanjut. Misalnya dalam statistik inferensial yaitu suatu cara pengambilan kesimpulan tentang populasi yang didasarkan pada pengambilan sampel random. Inferensinya bergantung pada bentuk distribusi probabilitas populasi. Kadang-kadang pencatatan hasil percobaan yang kita peroleh tidak selalu berasal dari perubah acak yang tunggal. Ada kalanya diperlukan pencacatan beberapa perubah acak yang terjadi secara serentak (distribusi probabilitas gabungan). Pokok bahasan disini memberikan konsep dasar yang berguna untuk mempermudah perhitungan yang berkaitan dengan distribusi probabilitas.

3 Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa diharapkan:
Kompetensi: Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa diharapkan: Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori distribusi probabilitas secara benar. Mampu dan terampil dalam melakukan hitungan-hitungan yang berkaitan dengan perubah acak, distribusi probabilitas diskrit, kontinyu, fungsi padat gabungan, distribusi marginal, distribusi bersyarat, dan bebas statistik. Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.

4 Perubah Acak Diskrit dan Komtinyu Distribusi Probabilitas Diskrit
Daftar Isi Materi: Perubah Acak Diskrit dan Komtinyu Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi Probabilitas Kontinyu Fungsi Padat gabungan Distribusi Marginal Probabilitas Bersyarat Bebas Statistik

5 3.1. Perubah acak Suatu percobaan statistika yang dilakukan selalu menghasilkan pengamatan yang berkemungkinan. Sering kali kita mengkaitkan suatu bilangan sebagai pemberian hasil tersebut. Sebagai contoh suatu percobaan dengan ruang sampel yang memberikan secara rinci setiap kemungkinan hasilnya bila ada 3 suku cadang elektronik yang diuji dapat dinyatakan sebagai: Dimana, B menyatakan barang yang baik dan C menyatakan barang yang cacat. Jika kita ingin mengetahui berapa banyaknya barang yang cacat, maka setiap titik dalam ruang sampel dikaitkan dengan bilangan 0, 1, 2, atau 3. Bilangan ini merupakan besaran acak yang ditentukan oleh hasil percobaan, dan dapat dipandang sebagai nilai perubah acak, X, yaitu banyaknya barang yang cacat.

6 Definisi (3.1): Contoh (3.1):
Peubah acak adalah suatu fungsi yang mengkaitkan bilangan riel pada setiap unsur dalam ruang sampel S. Perubah acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x. Pada contoh diatas, Jika X menyatakan banyaknya 2-barang yang cacat, maka Contoh (3.1): Kembali ke contoh (1.2). Jika X menyatakan banyaknya pasien yang sembuh, maka X = {0, 1, 2, 3, 4} Artinya untuk x=0 menyatakan tidak ada yang sebuh, x=1 menyatakan ada satu pasien yang sembuh, analog yang lainya.

7 Definisi (3.2): Definisi (3.3):
Jika suatu ruang sampel memuat titik yang berhingga, atau banyaknya unsur sesuai dengan banyaknya bilangan cacah, maka ruang sampel tersebut dikatakan ruang sampel diskret. Ruang sampel untuk contoh 3.1 dikatakan ruang sampel diskret Definisi (3.3): Jika suatu ruang sampel memuat titk sampel yang takberhingga banyaknya, dan banyaknya unsur sesuai dengan banyaknya titik pada sepotong garis, maka dikatakan ruang sampel kontinyu. Ruang sampel yang datanya diukur seluruh kemungkinan berat badan, tinggi, jarak, temperatur, dan jangka hidup

8 3.2. Distribusi Probabilitas Diskrit
Suatu perubah acak disebut perubah acak diskrit jika himpunan kemungkinan hasilnya terhitung. Pada contoh (3.1) nilai X adalah 0, 1, 2, 3, 4 maka X adalah perubah acak diskrit. Perubah acak diskrit ini menggambarkan data cacah. Lebih mudah jika semua probabilitas dari perubah acak X dinyatakan dalam rumusan, misalnya f(x), g(x), h(x), dst. Kadang ditulis f(x)=P(X=x). Pasangan (x, f(x)) disebut fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas perubah acak X Jadi sebuah tabel yang memuat perubah acak diskrit X beserta nilai fungsi probabilitasnya disebut distribusi probabilitas diskrit. Dan distribusi kumulatif dari f(x) dinyatakan sebagai F(x)

9 Definisi (3.4): Misalkan f(x) merupakan fungsi probabilitas, fungsi massa probabilitas, atau distribusi probabilitas dari perubah acak diskrit X, maka berlaku: 1. 2. 3. Distribusi kumulatif F(x) dinyatakan sebagai

10 Contoh (3.2): Suatu eksperimen dari pelemparan sebuah mata uang logam sebanyak 3 kali. Tentukan distribusi probabilitas X yang menyatakan banyaknya sisi muka yang tampak dari hasil eksperimen tersebut Jawab: Hasil eksperien adalah sbb; dimana M = sisi muka ; B = sisi belakang Misalnya: X = perubah acak yang menyatakan banyaknya sisi muka yg muncul X = { 0, 1, 2, 3} Untuk x=0, artinya tidak ada sisi muka yg muncul x=1, artinya ada 1-sisi muka yg muncul

11 x=2, artinya ada 1-sisi muka yg muncul
Tabel 3.1 Distribusi Probabilitas perubah acak X X 1 2 3 Tabel diatas, memenuhi: 1. 2. 3. Distribusi kumulatif perubah acak X:

12 Contoh (3.3): Sebuah toko elektronik menjual 15 radio yang diantaranya ada 5 yang rusak. Jika seoarang calon pembeli melakukan test 3 radio yang dipilih secara random, tuliskan distribusi peluang dari banyaknya radio yang rusak dalam sampel tersebut Jawab Misalkan:X = perubah acak yang menyatakan banyaknya radio yg rusak X = {0, 1, 2, 3} 10B, 5R ; x=0,1,2,3 15 Diperoleh: x= ; x=1

13 Tabel diatas, memenuhi: 1. 2. 3.
x= ; x=3 Tabel 3.2 Distribusi Probabilitas perubah acak X X 1 2 3 Tabel diatas, memenuhi: 1. 2. 3. Distribusi kumulatif perubah acak X:

14 3.3. Distribusi Probabilitas Kontinyu
Distribusi probabilitas kontinyu adalah distribusi yang memuat perubah acak kontinyu. Distribusi probabilitas kontinyu dinyatakan dalam bentuk rumusan (dan tidak dapat dinyatakan dalam bentuk tabel) karena perubah acaknya berupa interval (selang). Cara menghitung fungsi peluang utk berbagai selang dari perubah acak kontinyu adalah sebagai berikut: y x a b Gambar 3.1. Luas daerah yang diarsir = Tidak menjadi soal, apakah titik ujung selang diikutsertakan atau tidak. Lihat gambar 3.1

15 Definisi (3.5): Misalkan f(x) merupakan fungsi probabilitas, dari perubah acak diskrit X, maka berlaku: 1. 2. 3. Distribusi kumulatif F(x) dinyatakan sebagai Akibatnya:

16 Contoh (3.4): Misalkan galat suatu reaksi dalam derajat celsius (0c) pada percobaan di laboratorium yang dikontrol merupakan perubah acak X yang mempunyai fungsi peluang sbb: a). Tunjuan b). Hitung Jawab

17 Contoh (3.5): Carilah distribusi kumulatif dari contoh(3.4) dan kemudian hitung P(0 < X < b) Jawab: untuk -1 < X < 2 Jadi: Diperoleh:

18 3.4. Fungsi Massa Gabungan Kadang-kadang pencatatan hasil percobaan yang kita peroleh tidak selalu berasal dari perubah acak yang tunggal. Ada kalanya diperlukan pencacatan beberapa perubah acak yang terjadi secara serentak. Jika X dan Y perubah acak, maka probabilitas terjadinya secara serentak dari X dan Y dinyatakan sebagai f(x,y) disebut Distribusi Probabilitas Gabungan, untuk setiap pasangan (x,y) dalam rentangan X dan Y Jika X dan Y merupakan dua perubah acak diskret yang dapat terjadi secara serentak dinyatakan dengan notasi f(x,y), maka f(x,y) disebut Fungsi ( atau distribusi ) Massa Gabungan dari perubah acak X dan Y.

19 Definisi (3.6): Fungsi f(x,y) disebut distribusi probabilitas gabungan atau fungsi massa gabungan dari perubah acak diskret X dan Y jika: 1. f(x,y) ≥ 0; untuk semua (x,y) 2. 3. P(X=x,Y=y) = f(x,y) Untuk setiap daerah A di bidang xy, maka P[(X,Y)єA] =

20 Contoh (3.6): Dua buah bolam dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 bolam berwarna biru, 2 berwarna merah, dan 3 berwarna hijau. Jika X menyatakan banyaknya bolam berwarna biru dan Y berwarna merah yang terpilih, maka hitunglah: a. fungsi probabilitas gabungan X dan Y b. P[(X,Y)єA], bila A daerah {(x,y)/ x+y≤ 1} Jawab: a. Misalkan, X = banyaknya bolam biru yang terambil = {0, 1, 2} Y = banyaknya bolam merah yang terambil = {0, 1, 2} Pasangan nilai (x,y) yang terjadi :(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)

21 2 n(S) = 3B 2M,3H 8 y = 0, 1, 2 0 ≤ x+y ≤ 2 Ilustrasi:
Misalnya n(S) = banyaknya cara memilih 2 bolam dari 8 yang ada Fungsi peluang gabungan f(x,y) dinyatakan dengan rumus: x = 0, 1, 2 y = 0, 1, 2 0 ≤ x+y ≤ 2

22 b. Dari hasil a), diperoleh sbb:
;

23 Jadi P[(X,Y)єA] = P(x+y ≤ 1) = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0) = + + =
Dari hasil diatas dapat dibuat tabel distribusi probabiliatas sbb: Tabel Distribusi Peluang Gabuangan X dan Y f(x,y) X Jumlah baris Y 1 2 Jumlah kolom Jadi P[(X,Y)єA] = P(x+y ≤ 1) = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0) = =

24 3.5 Fungsi Padat Gabungan Jika X dan Y, perubah acak kontinu, maka f(x,y) disebut fungsi padat gabungan dari X dan Y yaitu suatu permukaan yang terletak di atas bidang xy, dan P[(X,Y)єA] dimana A adalah daerah di bidang xy , sama dengan isi silinder kanan yang dibatasi oleh dasar A dan permukaan. Fungsi padat gabungan ini merupakan cara menjelaskan distribusi probabilitas untuk populasi atau sistem.

25 Definisi (3.7): Fungsi f(x,y) disebut fungsi padat gabungan dari perubah acak kontinu X dan Y jika: 1. f(x,y) ≥ 0; untuk semua (x,y) 2. 3. P[(X,Y)єA] = untuk tiap daerah di bidang xy

26 Contoh (3.7): Suatu pengiriman barang yang memproduksi coklat dengan campuran krem,cofee dan kacang, dengan berlapis coklat cerah dan pekat. Bila sebuah kotak diambil secara acak , serta X dan Y masing-masing menyatakan proporsi campuran krem berlapis coklat cerah dan pekat dengan fungsi padat gabungannya adalah : a. Tunjukan b. Cari P[(X,Y)єA] jika A daerah {(x,y)/ 0 < x < ; < y < }

27 Jawab: a. b. P[(X,Y)єA] = P ( 0 < x < ; < y < )

28 3.5 Distribusi Marginal (pias)
Jika f(x,y) peluang gabungan dari perubah acak diskrit X dan Y maka peluang g(x) dari X sendiri diperoleh dengan menjumlahkan f(x,y) terhadap semua Y. demikian pula untuk distribusi peluang h(y) dari Y diperoleh dengan menjumlahkan f(x,y) terhadap semua nilai X. g(x) disebut distribusi marginal dari X, dan h(y) disebut distribusi marginal dari Y. Jika X dan Y perubah acak kontinu, tanda penjumlahan diganti dengan integral.

29 Definisi (3.8): Distribusi marginal dari perubah acak X sendiri dan Y sendiri didefinisikan sebagai : a. Untuk hal diskrit, maka dan b. untuk hal kontinu, maka

30 a. Tunjukan jumlah kolom dan baris pada tabel 3.3 memberikan
Contoh (3.8): a. Tunjukan jumlah kolom dan baris pada tabel 3.3 memberikan distribusi marginal dari X sediri dan Y sendiri. b. Cari g(x) dan h(y) untuk fungsi padat gabungan pada contoh (3.6) Jawab: a. Untuk perubah acak X P(X=0) = g(0) = P(X=1) = g(1) = P(X=2) = g(2) =

31 Untuk perubah acak Y P(Y=0) = h(0) = P(Y=1) = h(1) = P(Y=2) = h(2) = Distribusi Marginal dalam bentuk tabel sbb: x 1 2 g(x) y 1 2 h(y)

32 b. Untuk perubah acak X dan Untuk perubah acak Y

33 P(a< X < b) = P(a< X < b; -∞ < Y < ∞ )
Catatan: Distribusi marginal g(x) dan h(y) adalah distribusi masing-masing perubah X dan Y sendiri. Hal ini dapat dengan mudah dengan menunjukan misalnya untuk hal kontinu: Dan P(a< X < b) = P(a< X < b; -∞ < Y < ∞ )