UKURAN PEMUSATAN Rata-rata (average) : mempunyai kecenderungan memusat

Presentasi berjudul: "UKURAN PEMUSATAN Rata-rata (average) : mempunyai kecenderungan memusat"— Transcript presentasi:

1 UKURAN PEMUSATAN Rata-rata (average) : mempunyai kecenderungan memusat
adalah nilai tunggal yang dianggap dapat mewakili keseluruhan nilai dalam data Nilai rata-rata umumnya cenderung terletak di tengah suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai mempunyai kecenderungan memusat

2 JENIS RATA-RATA Rata-rata hitung (arithmatic mean)
Rata-rata ukur (geometric mean) Rata-rata harmonis (harmonic mean)

3 Rata-rata Hitung _ X n n Rata-rata sebenarnya (populasi)
= 1 N Xi = 1 N ( X1 + X2 + …. + XN ) Rata-rata Perkiraan (sampel) _ X = 1 n Xi = 1 n ( X1 + X2 + …. + Xn )

4 Rata-rata sebenarnya (populasi)
CONTOH: Rata-rata sebenarnya (populasi) Berikut disajikan data penjualan perusahaan selama 10 tahun. X1 = 50 ; X2 = 60 ; X3 = 40 ; X4 = 70 ; X5 = 80 ; X6 = 90 ; X7 = 100 ; X8 = 65 ; X9 = 75 ; X10 = 85. Hitung rata-rata hasil penjualan sebenarnya! Penyelesaian :

5 Rata-rata Perkiraan (sampel)
CONTOH: Rata-rata Perkiraan (sampel) Berikut disajikan data lima sampel penjualan perusahaan selama 10 tahun. X2 = 60 ; X4 = 70 ; X5 = 80 ; X8 = 65 ; X10 = 85. Hitung rata-rata hasil penjualan perkiraan! Penyelesaian :

6 Rata-rata Hitung Data Berkelompok
Apabila data sudah disajikan dalam bentuk tabel frekuensi dimana Xi adalah nilai tengah kelas, misalkan X1 terjadi f1 kali, X2 terjadi f2 kali, dan seterusnya sampai Xk terjadi fk kali, maka rumus rata-rata dari data yang sudah dibuat tabel frekuensinya adalah sebagai berikut:

7 Rata-rata Hitung Data Berkelompok
CONTOH: Rata-rata Hitung Data Berkelompok Berat Badan (kg) Frekuensi (f) 60 – 62 5 63 – 65 18 66 – 68 42 69 – 71 27 8 Hitunglah rata-rata perkiraan berat seorang mahasiswa!

8 Penyelesaian Rata-rata Hitung Data Berkelompok
Berat Badan Xi fi fi Xi 61 5 305 63 – 65 64 18 1.152 66 – 68 67 42 2.814 69 – 71 70 27 1.890 73 8 584 Jumlah ----- 100 6.745 Xi = nilai tengah kelas.

9 Data Tunggal Data berkelompok MEDIAN Ditulis singkat dengan Med
adalah nilai tengah dari data yang ada setelah data tersebut diurutkan Ditulis singkat dengan Med Cara mencari median dibedakan menjadi dua : Data Tunggal Data berkelompok

10 Median data tunggal n ganjil n genap

11 Median data tunggal Untuk n ganjil :
kalau k adalah suatu bilangan konstan dan n ganjil, maka selalu dapat ditulis n = 2k + 1 atau k = ½(n – 1) Misalnya: n = 7  7 = 2k + 1 2k = 7 – 1 = 6 k = 6/2 = 3 n = 9  9 = 2k + 1 2k = 9 – 1 = 8 k = 8/2 = 4 Kelompok nilai X1, X2, …,Xk-1, Xk, Xk+1, …, Xn   terkecil terbesar Median = Xk+1 atau nilai yang ke (k + 1)

12 Contoh median data tunggal untuk n ganjil
Nilai ujian Linear Programming mahasiswa MDP, masing-masing adalah sebagai berikut : 90, 70, 60, 75, 65, 80, 40, 45, 50. Berapa besarnya nilai Median? Penyelesaian : X1 = 40, X2 = 45, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 65, X6 = 70, X7 = 75, X8 = 80, X9 = 90. 9 = 2k + 1 k = (9 – 1)/2 = 4. Med = Xk+1 = X5 = 65 X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9  Med

13 Median data tunggal Untuk n genap :
kalau k adalah suatu bilangan konstan dan n genap, maka selalu dapat ditulis n = 2k atau k = n/2. Misalnya: n = 8  8 = 2k k = 8/2 = 4 Median = ½(Xk + Xk+1)

14 Contoh median data tunggal untuk n genap
Ada delapan karyawan dan upahnya dalam ribuan rupiah adalah sebagai berikut : 20, 80, 75, 60, 50, 85, 45, 90. Berapakah nilai Mediannya? Penyelesaian : X1 = 20, X2 = 45, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 75, X6 = 80, X7 = 85, X8 = 90. 8 = 2k k = 8/2 = 4. Med = ½(X4 + X5) = ½( ) = 67,5 Jadi Median upah karyawan = Rp ,- X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8  Med = ½(X4 + X5)

15 Median data berkelompok
Untuk data yang berkelompok, nilai Median dapat dicari dengan interpolasi yang rumusnya adalah sebagai berikut : Med = di mana: Lo = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat nilai median. n = banyak observasi = jumlah semua frekuensi. (fi)o = jumlah frekuensi dari semua kelas di bawah kelas yang mengandung median (kelas yang mengandung median tak termasuk). fm = frekuensi dari kelas yang mengandung median. c = besarnya kelas interval, jarak antara kelas yang satu dengan lainnya atau besarnya kelas interval yang mengandung median.

16 Median data berkelompok
Secara geometrik Median juga merupakan nilai X dari absis (sumbu horizontal) sesuai dengan jarak tegak lurus yang membagi suatu histogram (seluruh kurva) menjadi dua daerah yang sama luasnya (50% sebelah kiri median, 50% sebelah kanan median). Jadi seluruh observasi seolah –olah dibagi menjadi dua, setengah di sebelah kiri median (yang terdiri dari observasi yang nilainya sama atau lebih kecil dari median) dan setengahnya lagi disebelah kanan median (yang terdiri dari observasi yang nilainya sama atau lebih besar dari median).

17 Contoh Median Data Berkelompok
Upah dari 40 orang karyawan disajikan dalam tabel frekuensi, dimana bentuk tabelnya adalah sebagai berikut: UPAH f 118 – 126 3 127 – 135 5 136 – 144 9 145 – 153 12 154 – 162 163 – 171 4 172 – 180 2 Jumlah 40 Hitunglah nilai Mediannya!

18 Contoh Median Data Berkelompok
lanjutan Contoh Median Data Berkelompok Upah dianggap sebagai bilangan –bilangan yang didistribusikan secara kontinu. Dalam hal ini, median merupakan upah yang mempunyai ciri/sifat sedemikian rupa sehingga setengah atau 50% dari observasi (jumlah frekuensi), yaitu 40/2 = 20 observasi, terletak dibawah median dan setengah lainnya di atas median tersebut. Jumlah tiga frekuensi pertama f1 + f2 + f3 = = 17 obsevasi belum sampai 20, atau belum ada setengahnya. Untuk mencapai 20 observasi diperlukan tiga observasi dari kelas keempat yang frekuensinya = f4 = 12. Jadi median terletak dalam kelas keempat.

19 Contoh Median Data Berkelompok
lanjutan Contoh Median Data Berkelompok Karena kelas interval yang keempat, yaitu 145 – 153, sama dengan (setelah memperhitungkan bahwa upah merupakan data kontinu). Lo = 145 – 0,5 = 144,5 (nilai batas kelas bawah, setelah diadakan koreksi kontinuitas). n/2 = 40/2 = 20 (fi)o = f1 + f2 + f3 = 17. fm = 12 C = 153 – 144 = 9 (Jarak antara suatu kelas dengan kelas berikutnya, baik diukur dengan nilai atas bawah atau batas atas).

20 Contoh Median Data Berkelompok
lanjutan Contoh Median Data Berkelompok Med =

21 Modus ( Mode ) Sering disingkat dengan Mod
adalah nilai yang paling sering muncul di dalam suatu kelompok data. Sering disingkat dengan Mod Suatu distribusi mungkin tidak mempunyai Mod atau Mungkin mempunyai dua Mod atau lebih. Distribusi Disebut Unimodal, kalau mempunyai satu Mod, Bimodal, kalau mempunyai dua Mod, atau Multimodal, kalau mempunyai lebih dari dua Mod.

22 modus data tunggal Adalah data yang sering muncul atau data dengan frekuensi tertinggi.

23 Contoh Modus Data Tunggal
Dari data berikut, apakah ada Mod-nya? Kalau ada tentukan nilainya. a). 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18. b). 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16. c). 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9.

24 Contoh Modus Data Tunggal
Lanjutan Contoh Modus Data Tunggal Penyelesaian : a). Langkah pertama, susunlah tabel frekuensinya: X f 2 5 7 9 10 11 12 18 1 3 Mod Jadi Mod = 9, sebab nilai obeservasi ini yang paling banyak atau mempunyai frekuensi terbesar.

25 Contoh Modus Data Tunggal
Lanjutan Contoh Modus Data Tunggal Penyelesaian : b). Langkah pertama, susunlah tabel frekuensinya: X f 3 5 8 10 12 15 16 1 Karena semua nilai mempunyai frekuensi yang sama, maka distribusi ini tidak mempunyai Mod.

26 Contoh Modus Data Tunggal
Lanjutan Contoh Modus Data Tunggal Penyelesaian : c). Langkah pertama, susunlah tabel frekuensinya: X f 2 3 4 5 7 9 1 Mod 1 Mod 2 Oleh karena terdapat dua nilai observasi yang mempunyai frekuensi terbanyak, maka distribusi memiliki dua Mod, yaitu 4 dan 7.

27 Modus data berkelompok
Apabila data sudah dikelompokkan dan disajikan dalam tabel frekuensi, maka dalam mencari modusnya harus di pergunakan rumus berikut ini. Mod = di mana: Lo = nilai batas bawah, kelas yang memuat modus. (f1)o = selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sebelumnya (bawahnya). (f2)o = Selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sesudahnya (atasnya). c = besarnya kelas interval, jarak antara kelas yang satu dengan lainnya atau besarnya kelas interval yang memuat modus.

28 Contoh Modus Data Kelompok
Dari data yang disajikan dalam tabel frekuensi berikut ini, carilah modusnya! Kelas f 50,00 – 59,99 8 60,00 – 69,99 10 70,00 – 79,99 16 80,00 – 89,99 14 90,00 – 99,99 100,00 – 109,99 5 110,00 – 119,99 2 Jumlah 65 Kelas yang berisi modus

29 Contoh Modus Data Kelompok
Lanjutan Contoh Modus Data Kelompok Penyelesaian : Data ini ketelitiannya tiga desimal, sehingga. Lo = 70,00 – 0,005 = 69,995. (f1)o = 16 – 10 = 6 (f2)o = 16 – 14 = 2 c = 70,00 – 60,00 = 10. Jadi nilai modus = 77,50

30 Rata-rata Ukur Jika perbandingan setiap dua data berurutan adalah tetap atau Hampir tetap maka rata-rata ukur lebih baik digunakan daripada rata-rata hitung. Jika seperangkat data adalah X1, X2, X3, …., Xn maka rata-rata ukurnya dirumuskan :

31 Contoh hitungan Rata-rata Ukur
Cari rata-rata ukur dari data dibawah ini: X1 = 2, X2 = 4, X3 = 8. Penyelesaian : Atau dapat dihitung dengan :

32 Rata-rata Harmonis Data Tunggal Data berkelompok
Rata-rata harmonis dari n angka, X1, X2, ….., Xn adalah nilai yang diperoleh dengan jalan membagi n dengan jumlah kebalikan dari masing-masing X tersebut diatas. Rumusnya adalah sebagaia berikut. Rata-rata Harmonis Data Tunggal Data berkelompok

33 Contoh Rata-rata Harmonis Data Tunggal
Seorang pedagang batik di Tegal memperoleh hasil penjualan sebesr Rp peer minggu dengan rincian, sebagai berikut : Minggu Pertama : dapat menjual 10 helai seharga Rp /helai. Minggu kedua : dapat menjual 25 helai seharga Rp /helai. Minggu ketiga : dapat menjual 20 helai seharga 5.000/helai. Minggu keempat : dapat menjual 40 helai seharga Rp /helai. Berapa harga rata-rata kain tersebut per helai?

34 Contoh Rata-rata Harmonis Data Tunggal
Penyelesaian : Untuk menghitung rata-rata harga batik per helai di pergunakan rumus rata-rata harmonis sebagai berikut: Jadi harga rata-rata batik per helai adalah Rp ,53

35 Contoh Rata-rata Harmonis Data Berkelompok
Tentukan rata-rata harmonis dari distribusi frekuensi pada tebel dibawah ini!. Pengukuran f X f/X 50 – 54 6 52 0,115 55 – 59 10 57 0,175 60 – 64 9 62 0,145 65 – 69 25 67 0,373 70 – 74 28 72 0,389 75 – 79 13 77 0,169 82 0,110 Jumlah 100 ----- 1,476

36 Contoh Rata-rata Harmonis Data Berkelompok
Penyelesaian : Rata-rata Harmonis pengukuran = 67,75

37 Kuartil ( Q ) Desil ( D ) Persentil ( P ) Fraktil
Fraktil adalah nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi beberapa bagian yang sama. Fraktil dapat berupa: Kuartil ( Q ) Desil ( D ) Persentil ( P ) Fraktil

38 Kuartil Data Tidak Berkelompok
Kuartil adalah fraktil yang mebagi seperangkat data yang telah terurut menjadi empat bagian yang sama. Terdapat tiga jenis kuatil, yaitu kuartil bawah atau pertama (Q1), kuartil tengah atau kedua (Q2), dan kuartil atas atau ketiga (Q3). Kuartil kedua sama dengan median. Qi = nilai yang ke ; i = 1,2,3

39 Desil Data Tidak Berkelompok
Desil adalah fraktil yang mebagi seperangkat data yang telah terurut menjadi sepuluh bagian yang sama. Terdapat sembilan jenis desil, yaitu desil pertama (D1), desil kedua (D2), …., dan desil sembilan (D9). Di = nilai yang ke ; i = 1,2,3,…,9

40 Persentil Data Tidak Berkelompok
Persentil adalah fraktil yang mebagi seperangkat data yang telah terurut menjadi seratus bagian yang sama. Terdapat sembilan puluh sembilan jenis persentil, yaitu persentil pertama (P1), persentil kedua (P2), …., dan persentil sembilan puluh sembilan (P99). Pi = nilai yang ke ; i = 1,2,3,…,99

41 Contoh Kuartil, Desil dan Persentil Data Tidak Berkelompok
Berikut ini adalah data upah bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100. Cari nilai Q1, dan Q2, D6, dan P50! Penyelesaian : X1 = 30, X2 = 35, X3 = 40, X4 = 45, X5 = 50, X6 = 55, X7 = 60, X8 = 65, X9 = 70, X10 = 80, X11 = 85, X12 = 95, X13 = 100. Q1 = nilai yang ke Nilai yang ke-3,5; berarti rata-rata dari X3 dan X4. Jadi. Q1 = ½(X3 + X4) = ½( ) = 42,5 Q2 = nilai yang ke Nilai ke-7, berarti nilai X7. Jadi. Q2 = X7 = 60.

42 Contoh Kuartil, Desil dan Persentil Data Tidak Berkelompok
Penyelesaian : X1 = 30, X2 = 35, X3 = 40, X4 = 45, X5 = 50, X6 = 55, X7 = 60, X8 = 65, X9 = 70, X10 = 80, X11 = 85, X12 = 95, X13 = 100. D6 = nilai yang ke Nilai yang ke-8,4; berarti X8 + 4/10( X9 – X8) Jadi. D6 = /10(70 – 65) = = 67 P50 = nilai yang ke Nilai yang ke-7; berarti X7 Jadi. P50 = 60

43 Kuartil Data berkelompok Di mana :
Lo = nilai batas bawah dari kelas yang memuat kuartil ke-i. (fi)o = jumlah frekuensi dari semua kelas sebelum kelas yang mengandung kuartil ke-I (kelas yang mengandung kuartil ke-I tidak termasuk). fq = frekuensi dari kelas yang mengandung kuartil ke-i. c = besarnya kelas interval yang mengandung kuartil ke-i atau jarak nilai batas bawah (atas) dari suatu kelas terhadap nilai batas bawah (atas) kelas berikutnya. i = 1, 2, 3. in = i kali n.

44 Desil Data berkelompok Di mana :
Lo = nilai batas bawah dari kelas yang memuat desil ke-i. (fi)o = jumlah frekuensi dari semua kelas sebelum kelas yang mengandung desil ke-i (kelas yang mengandung desil ke-i tidak termasuk). fq = frekuensi dari kelas yang mengandung desil ke-i. c = besarnya kelas interval yang mengandung desil ke-i atau jarak nilai batas bawah (atas) dari suatu kelas terhadap nilai batas bawah (atas) kelas berikutnya. i = 1, 2, 3, ….., 9 in = i kali n.

45 Persentil Data berkelompok Di mana :
Lo = nilai batas bawah dari kelas yang memuat persentil ke-i. (fi)o = jumlah frekuensi dari semua kelas sebelum kelas yang mengandung persentil ke-i (kelas yang mengandung peersentil ke-i tidak termasuk). fq = frekuensi dari kelas yang mengandung persentil ke-i. c = besarnya kelas interval yang mengandung persentil ke-i atau jarak nilai batas bawah (atas) dari suatu kelas terhadap nilai batas bawah (atas) kelas berikutnya. i = 1, 2, 3,…..,99 in = i kali n.

46 Contoh Kuartil, Desil, dan Persentil Data Berkelompok
Berdasarkan data beriku, hitunglah Q1, Q3, D6, dan P50! Nilai Kelas f 72,2 – 72,4 2 72,5 – 72,7 5 72,8 – 73,0 10 73,1 – 73,3 13 73,4 – 73,6 27 73,7 – 73,9 223 74,0 – 74,2 16 74,3 – 74,5 4 Jumlah 100

47 Contoh Kuartil Data Berkelompok
Penyelesaian : Untuk menghitung Q1: f1 + f2 + f3 = 17 belum mencapai 25% (25). Agar mencapai jumlah frekuensi 25, harus ikut dijumlahkan frekuensi kelas ke-4, dengan demikian diketahui kelas ke-4 memuat Q1. Dari data. Lo = 73,1 – 0,05 = 73,05 n = f = 100 1n/4 = 100/4 = 25 (fi)o = 17( jumlah frekuensi dibawah kelas kuartil ke-1). fq = 13. c = 73,1 – 72,8 = 0,3

48 Contoh Kuartil Data Berkelompok
Lanjutan: Contoh Kuartil Data Berkelompok

49 Contoh Kuartil Data Berkelompok
Lanjutan: Contoh Kuartil Data Berkelompok Untuk menghitung Q3: f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 57 belum mencapai 75% (75), masih kurang (75 – 57) = 18. Kekurangan ini harus ditambah dengan frekuensi kelas ke-6, sehingga kelas ke-6 memuat Q3. Dari data. Lo = 73,1=7 – 0,05 = 73,65 n = f = 100 3n/4 = 300/4 = 75 (fi)o = 57( jumlah frekuensi dibawah kelas kuartil ke-1). fq = 23. c = 73,7 – 73,4 = 0,3

50 Contoh Kuartil Data Berkelompok
Lanjutan: Contoh Kuartil Data Berkelompok

51 Contoh Desil Data Berkelompok
Lanjutan: Contoh Desil Data Berkelompok Penyelesaian : Untuk menghitung D6: f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 57 belum mencapai 60% (60). Agar mencapai jumlah frekuensi 60, harus ikut dijumlahkan frekuensi kelas ke-6, dengan demikian diketahui kelas ke-6 memuat D6. Dari data. Lo = 73,7 – 0,05 = 73,65 n = f = 100 6n/10 = 600/10 = 60 (fi)o = 57( jumlah frekuensi dibawah kelas desil ke-6). fd = 23. c = 73,1 – 72,8 = 0,3

52 Contoh Desil Data Berkelompok
Lanjutan: Contoh Desil Data Berkelompok

53 Contoh Persentil Data Berkelompok
Lanjutan: Contoh Persentil Data Berkelompok Untuk menghitung P50: f1 + f2 + f3 + f4 = 30 belum mencapai 50% (50), masih kurang (50 – 30) = 20. Kekurangan ini harus ditambah dengan frekuensi kelas ke-6, sehingga kelas ke-5 memuat P50. Dari data. Lo = 73,4 – 0,05 = 73,35 n = f = 100 50n/100 = 5000/100 = 50 (fi)o = 30( jumlah frekuensi dibawah kelas persentil ke-5). fq = 27. c = 73,7 – 73,4 = 0,3

54 Contoh Persentil Data Berkelompok
Lanjutan: Contoh Persentil Data Berkelompok