HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR Pertemuan 3

Presentasi berjudul: "HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR Pertemuan 3"— Transcript presentasi:

1 HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR Pertemuan 3
Matakuliah : K0342 / Metode Numerik I Tahun : 2006 HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR Pertemuan 3

2 HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR
Pertemuan 3 HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR

3 PERSAMAAN NIRLANJAR (N0N LINIER)
Yaitu persamaan yang mengandung variabel berpangkat lebih dari satu dan/atau yang mengandung fungsi-fungsi transenden Contoh: 1. 2. 3. dsb

4 Numerical method for finding roots of non linear equations
Bracketing methods Open Newton-Raphson method Bisecton method False position method Fixed point method Secant method

5 Bracketing Methods: - At least two guesses are required - Require that the guesses bracket the root of an equation - More robust that open methods Open Methods: - Most of the time, only one initial guess is required - Do that require that the guesses bracket the root of the equation - More computationally efficient than bracketing methods but they do not always work…..may blow up !!

6 Bracketing Methods Bisection method Method of False position
These methods are known as bracketing methods because they rely on having two initial guesses. - xl - lower bound and - xu - upper bound. The guesses must bracket (be either side of) the root. WHY ?

7 f(x) x xu xl xr Bila f(xu) dan f(xl) berlainan tanda maka pasti akar, xr, diantara xu dan xl. i.e. xl < xr < xu. f(x) x xl xu xr Atau terdapat akar yang banyaknya ganjil.

8 f(x) x Bila f(xu) dan f(xl) mempunyai tanda yang sama, maka kemungkinan tidak terdapa akar diantara xl and xu. xl xu f(x) x xl xu xr Atau kemungkinan terdapat banyaknya akar genap diantara xl and xu.

9 There are exceptions to the rules f(x)
Multiple roots occur here When the function is tangential to the x-axis, multiple roots occur f(x) x Functions with discontinuities do not obey the rules above

10 The Bisection Method can be used to solve the roots for such an equation.  The method can be described by the following algorithm to solve for a root for the function f(x): Choose upper and lower limits (a and b) 2. Make sure a < b, and that a and b lie within the range for which the function is defined. 3. Check to see if a root exists between a and b (check to see if f(a)*f(b) < 0) 4. Calculate the midpoint of a and b (mid = (a+b)/2) 5. if f(mid)*f(a) < 0 then the root lies between mid and a (set b=mid), otherwise it lies between b and mid (set a=mid) 6. if f(mid) is greater than epsilon then loop back to step 4, otherwise report the value of mid as the root.

11 Metoda Bisection Metode Bisection

12 Bisection method… This method converges to any pre-specified tolerance when a single root exists on a continuous function Example Exercise: write a function that finds the square root of any positive number that does not require programmer to specify estimates

13 Iterasi Metoda bagi dua
Double Click disini

14

15

16 Metode Bisection

17

18 Metoda Posisi Salah Metoda posisi salah (Regula Falsi) tetap menggunakan dua titik perkiraan awal seperti pada metoda bagi dua yaitu a0 dan b0 dengan syarat f(a0).f(b0) < 0. Metoda Regula Falsi dibuat untuk mempecepat konvergensi iterasi pada metoda bagi dua yaitu dengan melibatkan f(a) dan f(b) Rumus iterasi Regula Falsi: n=0,1,2,3,…

19 Metoda Posisi Salah

20

21 Pada metoda tetap, rumus iterasi diperoleh dari f(x) =0 yaitu
Metoda Terbuka 1. Metoda titik tetap Pada metoda tetap, rumus iterasi diperoleh dari f(x) =0 yaitu dengan mengubah f(x) = 0 menjadi: atau

22

23

24 Rumus iterasi diperoleh dengan x=x +f(x) yaitu:
Contoh: f(x) = 1 – x – x^3=0 Rumus iterasi diperoleh dengan x=x +f(x) yaitu: 1-2x-x^3 = -x, kemudian diubah menjadi: Jawab : Jawab : Jadi akar pendekatan adalah

25 Jadi akar pendekatan adalah 1.732051
Hitung f(x) = 3 – x2 X + kx + 3 – x2 = x + kx Jawab : x0 = 1 x1= (1) + 1-(1)2/3 = x2= ( ) + 1-( )2/3 = x3= ( ) + 1-( )2/3 = x4= ( ) + 1-( )2/3 = Jawab : x5= ( ) + 1-( )2/3 = x6= ( ) + 1-( )2/3 = Jadi akar pendekatan adalah

26

27 Metode Newton

28 Double click disini

29 Terima kasih Terima kasih