Tabel Simplex (MetodE Big-M & 2 Fasa) Amelia Kurniawati, ST., MT.

Presentasi berjudul: "Tabel Simplex (MetodE Big-M & 2 Fasa) Amelia Kurniawati, ST., MT."— Transcript presentasi:

1 Tabel Simplex (MetodE Big-M & 2 Fasa) Amelia Kurniawati, ST., MT.

2 Contents Review Primal Simplex Method Penentuan Basis Layak
Metode Big M Metode 2 Fasa

3 Goals Menguasai konsep tabel simplex
Memahami permasalahan dengan variabel & pembatas khusus Menguasai metode Big M dan 2 Fasa Back to school

4 Chapter 1 Review Primal Simplex Method

5 Contoh Minimize z = x1 + x2 – 4 x3 Subject to x1 + x2 + 2x3 ≤ 9 x1 + x x3 ≤ 2 -x1 + x2 + x3 ≤ 4 x1, x2, x3 ≥ 0

6 Minimize z = x1 + x2 – 4 x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 Subject to
Bentuk Standard? Minimize z = x1 + x2 – 4 x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 Subject to x1 + x2 + 2x3 + x4 = 9 x1 + x x x = 2 -x1 + x2 + x x6 = 4 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

7 Basis Awal? Minimize z = x1 + x2 – 4 x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 Subject to x1 + x2 + 2x3 + x4 = 9 x1 + x x x5 = 2 -x1 + x2 + x x6 = 4 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

8 Iterasi 1

9 Iterasi 1

10 Iterasi 1

11 Iterasi 2

12 Iterasi 2

13 Iterasi 3

14 Iterasi 3 Seluruhnya ≥ 0

15 Solusi Optimal: x1 = 1/3; x2 = 0; x3= 13/3 dengan z = -17

16 Minimize z = 4x1 + 3x2 Subject to 3x1 + x2 = 3 3x1 + 3x2 ≥ 6
Contoh Lain Minimize z = 4x1 + 3x2 Subject to 3x1 + x2 = 3 3x1 + 3x2 ≥ 6 x1 + 2x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0

17 Minimize z = 4x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 Subject to 3x1 + x2 = 3
Bentuk Standard? Minimize z = 4x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 Subject to 3x1 + x = 3 3x1 + 3x2 - x = 6 x1 + 2x x4 = 4 x1, x2, x3, x4 ≥ 0

18 Basis awal? Minimize z = 4x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 Subject to 3x1 + x = 3 3x1 + 3x2 - x = 6 x1 + 2x x4 = 4 x1, x2, x3, x4 ≥ 0

19 Chapter 2 Penentuan Basis Layak

20 Pendekatan untuk mendapatkan solusi basis layak awal
Trial-and-Error Variabel basis dipilih sebarang untuk tiap pembatas Tidak efisien Penggunaan variabel semu (artificial variable)

21 Contoh masalah LP Meminimumkan Z = 4x1 + 3x2 dengan pembatas-pembatas:

22 Bentuk standar Meminimumkan Z = 4x1 + 3x2 dengan pembatas-pembatas:
3x1 + 3x2 – x = 6 x x x4 = 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0

23 Penambahan variabel semu
3x x x = 3 3x1 + 3x2 – x x6 = 6 x x x = 4 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0 Variabel semu : x5, x6

24 Ide penggunaan variabel semu
Variabel semu merupakan variabel tak negatif yang ditambahkan pada ruas kiri untuk tiap persamaan yang tidak mempunyai solusi basis awal. Variabel semu ini berperan sebagai variabel sisipan (slack variable) untuk memberikan solusi basis awal. Variabel semu tidak mempunyai arti fisik pada permasalahan awal.

25 Ide penggunaan variabel semu
Prosedur memaksa variabel semu untuk bernilai nol jika kondisi optimal tercapai. Cara yang logis adalah memberikan penalti pada variabel semu dalam fungsi tujuan. Pendekatan Metode big M Metode dua fasa

26 Chapter 3 Metode Big M

27 Metode Big M Variabel semu diberikan suatu penalti dengan suatu bilangan yang besar sekali pada fungsi tujuan. Metode simplex mencoba untuk memperbaiki fungsi tujuan dengan cara membuat variabel semu tidak ekonomis lagi untuk dipertahankan sebagai variabel basis dengan nilai yang positif. Untuk masalah Minimasi : M Maksimasi: -M dimana M adalah bilangan yang sangat besar

28 Metode big M Meminimumkan Z = 4x1 + 3x2 + Mx5 + Mx6
dengan pembatas-pembatas: 3x x x = 3 3x1 + 3x2 – x x6 = 6 x x x = 4 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

29 cB 4 3 M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1 6 2 cj Basis

30 Nilai fungsi tujuan

31 Pemeriksaan optimalitas
Nilai fungsi tujuan relatif (profit relatif /ongkos relatif ) untuk variabel non basis: Kondisi optimal terjadi apabila semua nilai koefisien fungsi tujuan relatif untuk variabel basis adalah tak positif [untuk masalah maximize] atau tak negatif [untuk masalah minimize]

32 Nilai fungsi tujuan relatif untuk variabel non basis

33 Tabel 1 cj Basis cB 4 3 M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1 6 2 4 – 6M
M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1 6 2 4 – 6M 3 – 4M Z = 9M cj Basis

34 Tabel 2 cj Basis cB 4 3 M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 1/3 2 -1 5/3
M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 1/3 2 -1 5/3 -1/3 -2M -4/3 +2M Z = 4 + 3M cj Basis

35 Tabel 3 (optimal) cj Basis cB 4 3 M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 1/6
M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 1/6 1/2 -1/6 -1/2 3/2 5/6 -5/6 + M Z = 13/2 cj Basis

36 Contoh Kasus Hellbrunn Schloβ merupakan sebuah kastil di Salzburg, Austria. Kastil ini akan melakukan penambahan jumlah kamar tidur. Terdapat dua jenis kamar tidur yang akan dibangun, yaitu kamar tidur kecil yang hanya dapat menampung 1 orang, dan kamar tidur besar yang dapat menampung 2 orang. Dalam pembangunan ini, terdapat 2 syarat yaitu total kamar baru minimal berjumlah 4 kamar, dan total daya tampung minimal adalah 6 orang. Biaya pembangunan satu kamar tidur kecil adalah 2 kantung emas, sedangkan biaya pembangunan satu kamar tidur besar adalah 3 kantung emas. Berapa jumlah kamar tidur kecil dan kamar tidur besar yang harus dibangun, agar biaya minimum?

37 Contoh masalah LP Meminimumkan Z = 2x1 + 3x2 dengan pembatas-pembatas:

38 Bentuk standar Meminimumkan Z = 2x1 + 3x2 dengan pembatas-pembatas:
x1 + x2 – x = 4 x x – x = 6 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0

39 Penambahan variabel semu
x x2 – x x = 4 x1 + 2x – x x6 = 6 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0 Variabel semu : x5, x6

40 Metode big M Meminimumkan Z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + Mx5 + Mx6
dengan pembatas-pembatas: x x2 – x x = 4 x1 + 2x – x x6 = 6 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

41 Solusi Optimal: x1 = 2; x2 = 2 dengan z = 10

42 Chapter 4 Metode 2 Fasa back

43 Metode dua-fasa Fasa I Mendapatkan solusi basis layak awal pada masalah original. Penghilangan variabel semu. Fungsi tujuan semu merupakan jumlah dari variabel semu yang diminimasi. Jika nilai fungsi tujuan sama dengan nol, maka semua variabel semu bernilai nol dan solusi basis layak diperoleh bagi masalah original. Jika nilai minimum fungsi tujuan adalah positif, maka paling sedikit terdapat satu variabel yang positif dan ini berarti masalah original adalah tak layak, dan algoritma berhenti.

44 Metode dua-fasa Fasa II
Solusi basis layak yang diperoleh pada Fase I dioptimisasi terhadap fungsi tujuan original. Tabel akhir pada Fase I menjadi tabel awal pada Fase II dengan perubahan pada fungsi tujuan.

45 Metode dua-fasa (Fasa I)
Meminimumkan W = x5 + x6 dengan pembatas-pembatas: 3x x x = 3 3x1 + 3x2 – x x6 = 6 x x x = 4 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

46 Tabel 1 [Fase I] cj Basis cB 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 3 -1 6 2 4
1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 3 -1 6 2 4 – 6 – 4 W = 9 cj Basis

47 Tabel 2 [Fase I] cj Basis cB 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1/3 2 -1 3
1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1/3 2 -1 3 5/3 -1/3 -2 W = 3 cj Basis

48 Tabel 3 [Fase I] cj Basis cB 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1/6 1/2
1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1/6 1/2 -1/6 -1/2 3/2 5/6 -5/6 W = 0 cj Basis

49 Tabel 1 [Fase II] (Optimal)
cB 4 3 Konstanta x1 x2 x3 x4 1 1/6 1/2 -1/2 3/2 5/6 Z = 13/2 cj Basis

50 Solusi tak layak (infeasible solution)
Dengan metode big M Pada tabel optimal, satu atau lebih variabel semu tetap sebagai variabel basis Dengan metode dua-fase Pada tabel optimal pada fase I, nilai fungsi tujuannya adalah positif, dimana satu atau lebih variabel semu sebagai basis

51 Contoh masalah LP Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2
dengan pembatas-pembatas: 2x x2  2 3x1 + 4x2 ≥ 12 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

52 Bentuk standar Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 dengan pembatas-pembatas:
2x x2 + x = 2 3x1 + 4x x = 12 x1, x2, x3, x4 ≥ 0

53 Penambahan variabel semu
2x x2 + x = 2 3x1 + 4x x x5 = 12 x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

54 Metode big M Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 – Mx5
dengan pembatas-pembatas: 2x x2 + x = 2 3x1 + 4x x x5 = 12 x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

55 Tabel 1 cj Basis cB 3 2 -M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 1 4 -1 12 Z = -12M
-M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 1 4 -1 12 3 + 3M 2 + 4M Z = -12M cj Basis

56 Tabel 2 cj Basis cB 3 2 -M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 1 -5 -4 -1 4 Z =
-M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 1 -5 -4 -1 4 -1-5M -2– 4M Z = 4 – 4M cj Basis

57 Metode dua fasa Meminimumkan W = x5 dengan pembatas-pembatas:
2x x2 + x = 2 3x1 + 4x x x5 = 12 x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

58 Tabel 1 [Fase I] cj Basis cB 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 2 3 4 -1 12
1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 2 3 4 -1 12 -3 -4 W = 12 cj Basis

59 Tabel 2 [Fase I] cj Basis cB 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 2 -5 -4 -1 4
1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 2 -5 -4 -1 4 5 W = 4 cj Basis

60 Latihan Soal Maximize Z = x1 + 2x2 dengan pembatas-pembatas:
Selesaikan dengan metode big M dan metode dua fasa

61 Metode Big M Bentuk standar : Maximize Z = x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 -M x5
dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2 + x = 11 2x1 + x x4 + x5 = 9 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

62 Tabel 1 cj Basis cB 1 2 -M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 3 11 -1 9 Z = -9M
-M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 3 11 -1 9 1 + 2M 2 + M Z = -9M cj Basis

63 Tabel 2 cj Basis cB 1 2 -M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 5/2 1/2 -1/2 13/2
-M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 5/2 1/2 -1/2 13/2 9/2 3/2 -1/2-M Z = 9/2 cj Basis

64 Tabel 3 cj Basis cB 1 2 -M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 2/5 1/5 -1/5 13/5
-M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 2/5 1/5 -1/5 13/5 -3/5 3/5 16/5 -1/5-M Z = 42/5 cj Basis

65 Tabel 4 cj Basis cB 1 2 -M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 5 -1 13 3 11
-M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 5 -1 13 3 11 Z = 11 cj Basis

66 Metode Dua Fasa Minimize W = x5 dengan pembatas-pembatas:
x1 + 3x2 + x = 11 2x1 + x x4 + x5 = 9 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

67 Tabel 1 [Fase 1] cj Basis cB 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 3 11 2 -1 9
1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 3 11 2 -1 9 -2 W = 9 cj Basis

68 Tabel 2 [Fase 1] cj Basis cB 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 5/2 1/2 -1/2
1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 5/2 1/2 -1/2 13/2 9/2 W = 0 cj Basis

69 Tabel 1 [Fase 2] cj Basis cB 1 2 Konstanta x1 x2 x3 x4 5/2 1/2 13/2
Konstanta x1 x2 x3 x4 5/2 1/2 13/2 -1/2 9/2 3/2 Z = 9/2 cj Basis

70 Tabel 2 [Fase 2] cj Basis cB 1 2 Konstanta x1 x2 x3 x4 2/5 1/5 13/5
Konstanta x1 x2 x3 x4 2/5 1/5 13/5 -1/5 -3/5 16/5 Z = 42/5 cj Basis

71 Tabel 3 [Fase 2] cj Basis cB 1 2 Konstanta x1 x2 x3 x4 5 13 3 11
Konstanta x1 x2 x3 x4 5 13 3 11 -1 Z = 11 cj Basis

72 Selamat Belajar