Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

PERSAMAAN DIFERENSIAL (DIFFERENTIAL EQUATION) metode euler metode runge-kutta.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "PERSAMAAN DIFERENSIAL (DIFFERENTIAL EQUATION) metode euler metode runge-kutta."— Transcript presentasi:

1 PERSAMAAN DIFERENSIAL (DIFFERENTIAL EQUATION) metode euler metode runge-kutta

2 Persamaan Diferensial Persamaan paling penting dalam bidang rekayasa, paling bisa menjelaskan apa yang terjadi dalam sistem fisik. Menghitung jarak terhadap waktu dengan kecepatan tertentu, 50 misalnya.

3

4 Rate equations

5 Persamaan Diferensial Solusinya, secara analitik dengan integral, C adalah konstanta integrasi Artinya, solusi analitis tersebut terdiri dari banyak ‘alternatif’ C hanya bisa dicari jika mengetahui nilai x dan t. Sehingga, untuk contoh di atas, jika x(0) = (x saat t=0) = 0, maka C = 0

6 Klasifikasi Persamaan Diferensial Persamaan yang mengandung turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas, terhadap satu atau lebih variabel bebas. Dibedakan menurut: –Tipe (ordiner/biasa atau parsial) –Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada –Liniarity (linier atau non-linier)

7 PDO Pers.dif. Ordiner = pers. yg mengandung sejumlah tertentu turunan ordiner dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas. y(t) = variabel tak bebas t = variabel bebas dan turunan y(t) Pers di atas: ordiner, orde dua, linier

8 PDO Dinyatakan dalam 1 peubah dalam menurunkan suatu fungsi Contoh:

9 Partial Differential Equation Jika dinyatakan dalam lebih dari 1 peubah, disebut sebagai persamaan diferensial parsial Pers.dif. Parsial mengandung sejumlah tertentu turunan dari paling tidak satu variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variabel bebas. Banyak ditemui dalam persamaan transfer polutan (adveksi, dispersi, diffusi)

10 PDO Ordiner, linier, orde 3 Ordiner, linier, orde 2 Ordiner, non linier, orde 1

11 Solusi persamaan diferensial Secara analitik, mencari solusi persamaan diferensial adalah dengan mencari fungsi integral nya. Contoh, untuk fungsi pertumbuhan secara eksponensial, persamaan umum:

12 Rate equations

13 But what you really want to know is… the sizes of the boxes (or state variables) and how they change through time That is, you want to know: the state equations There are two basic ways of finding the state equations for the state variables based on your known rate equations: 1)Analytical integration 2)Numerical integration

14 Suatu kultur bakteria tumbuh dengan kecepatan yang proporsional dengan jumlah bakteria yang ada pada setiap waktu. Diketahui bahwa jumlah bakteri bertambah menjadi dua kali lipat setiap 5 jam. Jika kultur tersebut berjumlah satu unit pada saat t = 0, berapa kira-kira jumlah bakteri setelah satu jam?

15 Jumlah bakteri menjadi dua kali lipat setiap 5 jam, maka k = (ln 2)/5 Jika P 0 = 1 unit, maka setelah satu jam… Solusi persamaan diferensial

16 Rate equationState equation(dsolve in Maple) The Analytical Solution of the Rate Equation is the State Equation

17 There are very few models in ecology that can be solved analytically.

18 Solusi Numerik Numerical integration –Eulers –Runge-Kutta

19 Numerical integration makes use of this relationship: Which you’ve seen before… Relationship between continuous and discrete time models *You used this relationship in Lab 1 to program the logistic rate equation in Visual Basic:

20 , known Fundamental Approach of Numerical Integration y = f(t), unknown  t, specified y t y t, known y t+  t, estimated y t+  t, unknown

21 Euler’s Method: y t+  t ≈ y t + dy / dt  t Calculate dN/dt*1 at N t Add it to N t to estimate N t+  t N t+  t becomes the new N t Calculte dN/dt * 1 at new N t Use dN/dt to estimate next N t+  t Repeat these steps to estimate the state function over your desired time length (here 30 years)

22 Example of Numerical Integration Analytical solution to dy/dt Y 0 = 10  t = 0.5 point to estimate

23 y Euler’s Method: y t+  t ≈ y t + dy / dt  t y t = 10 m 1 = dy/dt at y t m 1 = 6* *(10) 2  y = m 1 *  t y est = y t +  y  t = 0.5 yy estimated y(t+  t) analytical y(t+  t)

24 Runge-Kutta Example  t = 0.5 point to estimate Problem: estimate the slope to calculate  y yy

25 Runge-Kutta Example ytyt Weighted average of > 1 slope Unknown point to estimate, y t+Δt ½ Δt ΔtΔt t estimated y t+Δt  t = 0.5

26 Uses the derivative, dy/dt, to calculate 4 slopes (m 1 …m 4 ) within Δt: Runge-Kutta, 4th order These 4 slopes are used to calculate a weighted slope of the state function between t and t + Δt, which is used to estimate y t+ Δt :

27 y Step 1: Evaluate slope at current value of state variable. y 0 = 10 m 1 = dy/dt at y 0 m 1 = 6* *(10) 2 m 1 = 59.3 m 1 =slope 1 y0y0

28 Step 2: A) Calculate y 1 at t +  t/2 using m 1. B) Evaluate slope at y 1. A) y 1 = y 0 + m 1 *  t /2 y 1 = B) m 2 = dy/dt at y 1 m 2 = 6* *(24.8) 2 m 2 = m 2 =slope 2  t = 0.5/2 y1y1

29 Step 3: Calculate y 2 at t +  t/2 using k 2. Evaluate slope at y 2. y 2 = y 0 + k 2 *  t /2 y 2 = 46.2 k 3 = dy/dt at y 2 k 3 = 6* *(46.2) 2 k 3 = k 3 = slope 3  t = 0.5/2 y2y2

30 Step 4: Calculate y 3 at t +  t using k 3. Evaluate slope at y 3. y 3 = y 0 + k 3 *  t y 3 =141.5 k 4 = dy/dt at y 3 k 4 = 6* *(141.0) 2 k 4 = k 4 = slope 4  t = 0.5 y2y2 y3y3

31 m 4 = slope 4  t = 0.5 m 3 = slope3 m 2 = slope 2 m 1 = slope 1 Now you have 4 calculations of the slope of the state equation between t and t+Δt

32 Step 5: Calculate weighted slope. Use weighted slope to estimate y at t +  t  t = 0.5 weighted slope = true value estimated value weighted slope

33 Conclusions 4th order Runge-Kutta offers substantial improvement over Eulers. Both techniques provide estimates, not “true” values. The accuracy of the estimate depends on the size of the step used in the algorithm. Runge-Kutta Analytical Eulers


Download ppt "PERSAMAAN DIFERENSIAL (DIFFERENTIAL EQUATION) metode euler metode runge-kutta."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google