Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Pertemuan ke-4. Dua operasi matematis penting dalam pengolahan citra:  Operasi konvolusi (spatial filter/ discret convolution filter)  Transformasi.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Pertemuan ke-4. Dua operasi matematis penting dalam pengolahan citra:  Operasi konvolusi (spatial filter/ discret convolution filter)  Transformasi."— Transcript presentasi:

1 Pertemuan ke-4

2 Dua operasi matematis penting dalam pengolahan citra:  Operasi konvolusi (spatial filter/ discret convolution filter)  Transformasi Fourier Konvolusi 2 buah fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai berikut: Tanda * menyatakan operator konvolusi, dan peubah (variable) a adalah peubah bantu (dummy variable)

3 Cont. Konvolusi merupakan proses penting pada analisis domain frekwensi karena f(x)*g(x) dan F(u)G(u) membentuk suatu pasangan transformasi Fourier (Fourier transform pair). Teori konvolusi: f(x)*g(x)   F(u)G(u) f(x)g(x)   F(u)*G(u)

4 Konvolusi pada Domain Diskrit Bila A adalah periode dalam diskritisasi f(x) dan B adalah periode dalam diskritisasi g(x), maka hasil konvolusi akan mempunyai periode M dimana M=A+B Periode f(x) dan g(x) masing-masing dibesarkan menjadi M dengan menyisipkan 0 f(x)=f(x) bila 0 ≤ x ≤ A-1 dan f(x)=0 bila A ≤ x ≤ M-1 g(x)=g(x) bila 0 ≤ x ≤ B-1 dan f(x)=0 bila B ≤ x ≤ M-1 Konvolusi diskrit dilakukan melalui proses flip dan shift terhadap fungsi g(x).

5 Cont.  g(x) disebut kernel konvolusi atau kernel penapis (filter).  Kernel g(x) merupakan suatu jendela yang dioperasikan secara bergeser pada sinyal masukan f(x), yang dalam hal ini, jumlah perkalian kedua fungsi pada setiap titik merupakan hasil konvolusi yang dinyatakan dengan keluaran h(x).

6 Pendekatan Shift Kernel Operator Maka f(x)*g(x)= 0x-1 + 0x4 + 1x-1 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = -1 0x0 + 0x-1 + 1x4 + 2X-1 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x0 +0x0 = 2 0x0 + 0x0 + 1x-1 + 2x4 + 3x-1 + 4x0 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = 4 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x-1 + 3x4 + 4x-1 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = 6 0x0 +0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x-1 + 4x4 + 0x-1 + 0x0 + 0x0 = 13 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x-1 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = -4 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x-1 + 0x4 + 0x-1 = 0 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x-1 + 0x4 = 0 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x0 + 0x-1 = 0 F(x)*g(x) = [ ]

7 Pendekatan Rumus Konvolusi Kita lihat kembali rumusan konvolusi: f(0)=0; f(1)=0; f(2)=1; f(3)=2; f(4)=3; f(5)=4; f(6)=0;...; f(8)=0 g(6)=0;...; g(1)=0; g(0)=-1; g(-1)=4; g(-2)=-1 f(0)*g(0) = f(0)g(0) + f(1)g(-1) + f(2)g(-2) + dst = -1 f(1)*g(1) = f(0)g(1) + f(1)g(0) + f(2)g(-1) + dst = 2 f(2)*g(2) = f(0)g(2) + f(1)g(1) + f(2)g(0) + dst = 4 Dst Hasil yang diperoleh sama dengan cara sebelumnya!

8 Proses Konvolusi padaCitra2-D BentukKontinuedanDiskrit: 8

9 Ilustrasikonvolusi 9

10 Contoh : citra f(x,y) berukuran 5X3X3 5 dengankernelataumask3X f(x,y)*g(x,y) Operasinya : Tempatkan kernel pada sudut kiri atas kemudian pada posisi (0,0) dari kernel hitung nilai piksel Geser kernel satu piksel ke kanan kemudian hitung nilai piksel pada posisi (0,0) kernel, begitu seterusnya hingga geser satu piksel ke bawah, lalu mulai lagi melakukan konvolusi dari sisi kiri citra. 10

11 Dengan cara dikovolusi yangsama,setiapbarispiksel 11

12 Hasilkonvolusi: Jika nilai piksel (-), nilai tsb dijadikan level maka dilakukan clipping 0, jika nilai > nilai max gray Untuk masalah piksel pinggir, solusi untuk masalah ini adalah : –––– Piksel pinggir diabaikan, tidak dikonvolusi Duplikasi elemen citra, elemen kolom ke-1 disalin ke kolom M+1, begitu juga sebaliknya lalu konvolusikan. Elemen yang ditandai dengan (?) diasumsikan bernilai 0 atau konstanta yang lain sehingga konvolusi piksel pinggir dapat dilakukan. – Konvolusi piksel pinggir tidak memperlihatkan efek yang kasat mata. 12

13 Proses Konvolusi dan Dekonvolusi (1) Blurring merupakan efek pemerataan (integrasi), sedangkan deblurring / sharpening / outlining merupakan efek differensiasi Proses blurring dapat diperoleh dengan mengaplikasikan low pass filter dan sebaliknya, proses sharpening dapat diperoleh dengan mengaplikasikan high pass filter Filtering akan dipelajari pada proses peningkatan mutu citra (image enhancement) 13

14 Proses Konvolusi dan Dekonvolusi (2) Contoh efek blurring (bayangkan piksel citra 2-dimensi) bilaterjadipada pointresponse functionideal response (averaging) deconvolution function (filtering) 14

15 Filter/mask/kernelgaussian 15

16 TRANSFORMASI Mengapa perlu transformasi ? CITRA –Setiap orang pada suatu saat pernah menggunakan suatu analisis dengan transformasi untuk menyederhanakan penyelesaian suatu masalah [Brigham,1974] Contoh: penyelesaian fungsi y = x/z Analisa konvensional : pembagian secara manual Analisa transformasi : melakukan transformasi – log(y) = log(x) – log(z) – look-up table  pengurangan  look-up table teknik – Transformasi juga diperlukan bila kita ingin mengetahui suatu informasi tertentu yang tidak tersedia sebelumnya 16

17 TransformasiCitra Contoh : –jika ingin mengetahui informasi frekuensi kita memerlukan transformasi Fourier –Jika ingin mengetahui informasi tentang kombinasi skala dan frekuensi kita memerlukan transformasi wavelet Transformasi citra, sesuai namanya, merupakan proses perubahan bentuk citra untuk mendapatkan suatu informasitertentu Transformasi bisa dibagi menjadi 2 : – Transformasi piksel/transformasi geometris – Transformasi ruang/domain/space 17

18 TransformasiPikseldan Ruang Transformasi piksel masih bermain di ruang/domain yang sama (domain spasial), hanya posisi piksel yang kadang diubah Contoh: rotasi, translasi, scaling, invers, shear, dll. Transformasi jenis ini relatif mudah diimplementasikan dan banyak aplikasi yang dapat melakukannya (Paint, ACDSee, dll) Transformasi ruang merupakan proses perubahan citra dari suatu ruang/domainke ruang/domain lainnya, contoh: dari ruang spasial ke ruang frekuensi Ada beberapa transformasi ruang yaitu : –––– Transformasi Transformasi ortogonal) Transformasi Fourier (basis: cos-sin) Hadamard/Walsh (basis: kolom dan baris yang –DCT (basis: cos) 18

19 19

20 TransformasiFourier(FT) Pada tahun 1822, Joseph Fourier, ahli matematika dari Prancis menemukan bahwa: setiap fungsi periodik (sinyal) dapat dibentuk dari penjumlahan gelombang-gelombang sinus/cosinus. Contoh : Sinyal kotak merupakan penjumlahan fungsi sinus berikut darifungsi- f(x) = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9 … 20

21 Fungsi kotak sebagai penjumlahan fungsi-fungsi sinus Cobakan juga program matlab berikut untuk melihat sampai batas n berapa fungsi berbentuk fungsi kotak. yangdihasilkansudah –function kotak(n) t = 0:pi/200:8*pi; kot = sin(t); for i = 3 : 2: n kot = kot + (sin(i*t))/i; end plot(kot) 21

22 (a)(b) (c) Gambar (d) a) n = 1, b) n =3, c) n = 7, d) n = 99 22

23 FT-Motivasi Jika semua sinyal periodik dapat dinyatakan dalam penjumlahan fungsi-fungsi sinus-cosinus, pertanyaan berikutnya yang muncul adalah: –Jika saya memiliki sebuah sinyal sembarang, bagaimana saya tahu fungsi-fungsi cos – sin apa yang membentuknya ? Atau dengan kata lain – Berapakah frekuensi yang dominan di sinyal tersebut ? Pertanyaan di atas dapat dijawab dengan menghitung nilai F(u) dari sinyal tersebut.Dari nilai F(u) kemudian dapat diperoleh kembali sinyal awal dengan menghitung f(x), menggunakan rumus: 23

24 RumusFT–1D Rumus FTkontinu 1 dimensi f (x) exp[ − 2 j π ux]dx ∞ ∫−∞∫−∞∫−∞∫−∞ F (u) =F (u) = ∞ F (u) exp[2 j π ux]du f (x) =f (x) = Euler's formula: exp[ − 2 j π ux] = cos2 π ux − j sin 2 π ux Rumus FT diskret 1dimensi f ( x) exp[ − 2 j π ux / N ] 1 N −1N −1 ∑x =0∑x =0 F (u) =F (u) = N1N1 N −1N −1 ∑x =0∑x =0 F (u) exp[2 j π ux / N ] f ( x) = N 24

25 ContohFT1 D1 D Contoh berikut diambil dari Polikar (http://engineering.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html) Misalkan kita memiliki sinyal x(t) dengan rumus sbb: x(t) = cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) + cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t) Sinyal ini memiliki empat komponen 5,10,20,50 frekuensiyaitu 25

26 Contohsinyal1Dimensix(t) Gambar sinyal satu dimensi dengan rumus x(t)= cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t)+ cos(2*pi*20*t)+ cos(2*pi*50*t) (Sumber: Polikar) 26

27 FTdarisinyaltersebut FT dari sinyal tersebut. Terlihat bahwa FT dapat menangkap frekuensi- frekuensi yang dominan dalam sinyal tersebut, yaitu 5,10, 20, 50 (nilai pada maksimum F(u) angka 5,10, 20, berada 50) 27

28 Contoh Penghitungan FT 1 dimensi (Gonzalez hlm 90-92) 11 N −1N −1N −1N −1 ∑∑ f (x) exp[ − 2 j π ux / N] = f (x)(cos(2 π ux / N) − j sin(2 π ux / N))] F(u) =F(u) = x=0x=0x=0x=0 NN contoh: f (0) = 2, f (1) = 3, f (2) = 4, f (3) = 4 1 N − 1 ∑ f (x)(cos(2 π 0x / N) − j sin(2 π 0x / N))] F(0) =F(0) = x=0x=0 N = 1 [ f (0) + f (1) + f (2) + f (3)] = ∑31 ∑3 f (x)(cos(2 π x / 4) − j sin(2 π x / 4))] F(1) =F(1) = x=0x=0 4 = 1 [2(1 − 0) + 3(0 − j) + 4( − 1 − 0) + 4(0 + j) 4 = 1 (2 − 3 j − j) = 1 ( − 2 + j) = − j 4 F(2) = − 1 [1] = − F(3) = − 1 [2 + j] = − 0.5 − 0.25 j 4 28

29 ContohPenghitunganFT Hasil penghitungan FT biasanya mengandung bilangan real dan imajiner Fourier Spectrum didapatkan dari magnitude kedua bilangan tersebut shg|F(u)| = [R 2 (u) + I 2 (u)] 1/2 Untuk contoh di halaman sebelumnya, Fourier Spectrumnya adalah sebagai berikut: |F(0)| = 3.25 |F(1)| = [(-0.5) 2 +(0.25) 2 ] 1/2 = |F(2)| = 0.25 |F(3)| = [(0.5) 2 +(0.25) 2 ] 1/2 =

30 Rumus Rumus FT 2 dimensi FT–2D M −1 N −1∑∑M −1 N −1∑∑∑ 1 f ( x, y) exp[ − 2 j π (ux / M FT : F (u, v) =+ vy / N )] MN x =0 y =0x =0 y =0 M − 1 N − 1 InversFT : f ( x, y) = ∑∑ F (u, v) exp[2 j π (ux / M u = 0 v = 0 M = tinggi citra (jumlah baris) N = lebar citra (jumlah kolom) + vy / N )] 30

31 Contoh FT 2 Dimensi Sumber: Untuk menampilkan nilai FT suatu citra, karena keterbatasan display, seringkali digunakan nilai D(u,v)= c log [1 + |F(u,v)|] 31

32 Sifat-sifat Separable : FT2dimensi – Pemrosesan FT 2 dimensi dapat dengan melakukan FT 1 dimensi kemudian dilanjutkan dengan FT terhadap baris Translasi : dilakukan terhadap kolom, 1 dimensi f (x, y) exp[ − 2 j π (u 0 x + v 0 y) / N] ⇔ F(u − u 0, v − v 0 ) f (x − x, y − y) ⇔ F(u, v) exp[ − 2 j π (ux 0 + vy 0 ) / N] 32

33 Sifat-sifat Periodik FT2dimensi – FT dan IFT bersifat periodik dengan periode N adalah jumlah titik) Rotasi – Jika kita merotasikan f(x,y) sebanyak θ 0. maka (N F(u,x) θ 0, demikian pula juga akan berotasi sebanyak sebaliknya. Distributif – FT dan IFT bersifat distributif tapi tidak terhadap perkalian terhadap penjumlahan 33

34 Sifat-sifat Penskalaan FT2dimensi af (x, y) ⇔ aF(u, v) f (ax,by) ⇔ 1 F(u / a, v / b) ab Nilai rata-rata N − 1 ∑ x = 0 y = 0 11 y ) =y ) = = f ( x,f ( x,f ( x,f ( x,y )y )F ( 0,0 )F ( 0,0 ) 2 NN 34

35 FastFourierTransform(FFT) Merupakan algoritma penghitungan yang N2N2 mengurangi kompleksitas FT biasa dari menjadi N log 2 N saja Pada implementasinya, FFT merupakan cara yang umum digunakan untuk menghitung FT diskret InversFT juga dapat dihitung dengan kompleksitas N log 2 N (IFFT) – Di Matlab : fft(x) atau fft2(X) untuk FT dan ifft2(X) untuk invers FT ifft(x) atau 35


Download ppt "Pertemuan ke-4. Dua operasi matematis penting dalam pengolahan citra:  Operasi konvolusi (spatial filter/ discret convolution filter)  Transformasi."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google