KALKULUS I STIMIK BINA ADINATA

BIODATA DOSEN  Muhammad Awal Nur, S.Pd., M.Pd  Bulukumba, 24 – 10 – 1988  Desa Balong, Kec. Ujung Loe   266DCA6E  S.1 Pendidikan Matematika Unismuh Makassar  S.2 Pendidikan Matematika UNM 

PEMBAHASAN  KONTRAK PERKULIAHAN  KONSEP KALKULUS I

KONTRAK PERKULIAHAN  KONTRAK PERKULIAHAN KALKULUS I KONTRAK PERKULIAHAN KALKULUS I  SAP KALKULUS I SAP KALKULUS I  BERISI - Materi kuliah - Aturan Perkuliahan - Aturan Penilaian - Daftar Pustaka - dll

PENGANTAR SIAPA YANG BISA JAWAB ! PERBEDAAN ANTARA : BILANGAN, ANGKA DAN NOMOR

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran Angka adalah lambang dari bilangan Nomor adalah menunjuk pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan

 SISTEM BILANGAN REAL

SUSUNAN BILANGAN

Sistem Bilangan Real N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real N : 1,2,3,…. Z : …,-2,-1,0,1,2,.. Q : Contoh Bil Irasional

SIFAT OPERASI BILANGAN REAL  Bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian ( a + b) dan ab adalah bilangan bulat real  Komutatif terhadap operasi penjumlahan (a + b) = (b + a) dan perkalian ( ab = ba)  Asosiatif terhadap operasi penjumlahan ( a + (b + c) = (a + b) + c dan perkalian a (bc) = (ab)c  Distributif ( a (b + c) = ab + ac

 Memiliki elemen identitas yaitu 0  R pada operasi +, sehingga x + 0 = x, untuk semua x  R  Memiliki elemen identitas yaitu 1  R pada operasi X, sehingga 1x = x, untuk semua x  R  Memiliki invers, yaitu  Terhadap penjumlahan,  a  R, terdapat x  R sedemikian sehingga a + x = x + a = 0, dimana x = - a (invers penjumlahan)  Terhadap perkalian,  a  R, terdapat x  R sedemikian sehingga ax = xa = 1, dimana x = (invers perkalian)

PERSAMAAN  PERSAMAAN GARIS  PERSAMAAN LINGKARAN

PERSAMAAN GARIS  Persamaan garis yg melalui titik (x1,y1) dengan kemiringan m mempunyai persamaan :  Persamaan garis melaui dua titik P (x1,y1) dan Q (x2,y2), persamaannya adalah

PERSAMAAN LINGKARAN  Persamaan lingkaran yang berjari-jari r dan pusat (h,k) mempunyai persamaan :

 Pertidaksamaan  Kalimat terbuka yang dihubungkan oleh notasi ketidaksamaan ( dan ≥ )

PERTIDAKSAMAAN  Pertidaksamaan a < x < b memberikan selang terbuka yang memuat semua bil real antara a dan b, dinyatakan dengan lambang (a,b). Sebaliknya pertidaksamaan a ≤ x ≤ b memberikan selang tutup yang memuat semua bil real antara a dan b, dinyatakan dengan lambang (a,b) dan [a,b] dinamakan selang buka dan selang tutup

HIMPUNAN PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN

Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan ????

solusinya  Menambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas  Mengalikan kedua ruas dengan bilangan real positif  Mengalikan kedua ruas dengan bilangan real negatif kemudian membalikkan arah tanda ketaksamaan

contoh  2 + 3x < 5x +8  2x -7 < 4x – 2  -5 ≤ 2x + 6 < 4  4x + 3 < 2x -5  -8 < 2x-4 ≤ 2

Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat????

solusinya  Ruas kanan dijadikan nol  Ruas kiri difaktorkan  Gambar harga-harga nol pada garis bilangan  Daerah yang tandanya sama dengan tanda pertidaksamaan adalaha daerah penyelesaian

Contoh

NILAI MUTLAK

 FUNGSI

Fungsi  Misalkan A dan B dua buah himpunan, fungsi dari A ke B adalah aturan memasangkan (memadankan) setiap elemen di A dengan satu elemen di B

 Notasi fungsi:

Macam-macam Fungsi  Menurut operasi yang bekerja padanya  Fungsi aljabar, yaitu diperoleh dengan mengadakan operasi aljabar terhadap bilangan 1 dan x  Fungsi transenden  Menurut cara perpadanannya  Fungsi satu-satu (injektif)  Fungsi surjektif (pada)  Fungsi bijektif

 Menurut kesimetrian grafiknya  Fungsi genap jika f (-x) = f(x) untuk setiap x di A  Fungsi ganjil jika f (-x) = - f(x) untuk setiap x di A  Fungsi banyak persamaan  Fungsi nilai mutlak  Fungsi periodik  Fungsi bilangan bulat terbesar

Operasi pada fungsi

Trigonometri  Definisi  Trigonometri berasal dari kata Yunani, yaitu  Trigonon dan metro  Trigonon adalah tiga sudut  Metro adalah mengukur  Trigonometri adalah suatu cabang ilmu matematika yang berhubungan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus dan tangen.

Trigonomentri  Misalkan t menentukan titik p (x,y) seperti pada gambar disamping,  Maka  Sin t =  Cos t =

Fungsi trigonometri  Fungsi yang memetakan himpunan x  R ke himpunan bilangan real oleh suatu relasi sin, cos, tan, cot, sec dan csc.  Adapun bentuk fungsinya  F(x) = sin x  F(x) = cos x  F(x) = tan x  F(x) = csc x  F(x) = sec x  F(x) = cot x

Rumus-Rumus Fungsi Trigonometri  Rumus dasar trigonometri  Rumus jumlah dan selisih dua sudut  Cos (x+y) = cos x cosy – sin x sin y  Cos (x-y) = cos x cosy + sin x sin y  Sin (x+y) = sin x cosy + cos x sin y  Sin (x-y) = sin x cosy - cos x sin y

 Rumus sudut ganda  Rumus perkalian  Sin x cos y =1/2(sin(x+y)+sin (x-y))  Cos x sin y =  1/2 (sin (x+y)- sin (x-y))  Cos x cos y = 1/2(cos(x+y)+cos (x-y))  Sin x sin y =  1/2(cos(x-y)+ cos (x+y))

 Rumus jumlah dan selisih kosinus dan sinus  Cos x + cos y = 2 cos ½ (x + y) cos ½ (x – y)  Cos x - cos y = -2 sin ½ (x + y) sin ½ (x – y)  sin x + sin y = 2 sin ½ (x + y) cos ½ (x – y)  sin x - sin y = 2 cos ½ (x + y) sin ½ (x – y)

Fungsi Komposisi  Jika f dan g adalah fungsi-fungsi dengan Rf  Dg   maka terdapat himpunan bagian Df ke himpunan bagian Rg. Fungsi ini dinamakan komposisi g dan f dan ditulis g  f Penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan akan menghasilkan sebuah fungsi baru.

Sifat-sifat fungsi komposisi 1. Tidak komutatif:  f o g ≠ g o f  2. Bersifat assosiatif:  f o (g o h) = (f o g) o h = f o g o h

Fungsi Invers

 KONSEP LIMIT

 LIMIT  Misalkan f diberikan pada selang buka I yang memuat a. jika L  R maka berarti

Rumus-rumus Limit

Limit Fungsi Trigonometri

Limit Tak Hingga  Definisi ( Limit untuk x menuju tak hingga)  1. Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (a, +  ), maka  2. Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (- , b), maka

LIMIT TAK HINGGA Tabel di bawah ini memperlihatkan nilai untuk berbagai nilai x. Dari tabel terlihat semakin besar nilai x (arah positif), nilai f(x) semakin kecil mendekati nol. Sedangkan apabila nilai x semakin besar (arah negatif) maka f(x) juga akan mendekati nol. dalam hal ini dikatakan : xx 100,1− ,000001− −0, , − −0, , − −0,

TURUNAN  Definisi  Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang buka I yang memuat titik x, turunan pertama fungsi f di titik x di definisikan sebagai :

Contoh 1. Jika f(x)= x 3 + 7x, Carilah f’(c) Penyelesaian

Contoh 2. Jika f(x) = 13x – 6, Carilah f’(4) Penyelesaian:

TURUNAN  Turunan Fungsi  Turunan Fungsi Trigonometri  Turunan fungsi komposisi  Turunan fungsi pangkat rasional  Turunan fungsi pangkat tinggi  Turunan fungsi implisit

Manfaat Penggunaan Turunan  Aplikasi: mencari kecepatan sesaat (fisika), laju pertumbuhan organisme (biologi), keuntungan marjinal (ekonomi), dll