HARGA TENGAH (UKURAN PEMUSATAN)

Kompetensi Setelah mengikuti kuliah pada bab ini maka diharapkan mahasiswa dapat terampil melakukan perhitungan harga tengah (ukuran pemusatan) untuk data tidak dikelompokkan dan data dikelompokan

Harga Tengah Harga tengah sekumpulan data (distribusi) adalah harga yang kita pandang dapat menggambarkan distribusi itu, khususnya dalam hal letaknya (lokasinya) Beberapa harga tengah Rata-rata atau aritmatic mean Median, Kuartil, Desil, dan Persentil Modus Geometrik mean Harmonic mean Nilai tengah mempunyai satuan (unit) yang sama dengan satuan pengamatan asal

Centre Spread

Harga Tengah Data Tunggal (tidak dikelompokkan)

1. Mean Rata-rata hitung = rata-rata = mean = yaitu jumlah seluruh pengamatan dibagi banyaknya pengamatan. Simbol rata-rata sampel adalah X , untuk populasi adalah μ. Xi =nilai pengamatan ke i, n = jumlah seluruh pengamatan. Contoh :

lanjutan Apabila diketahui terdapat 100 sampel mahasiswa; 20 mahasiswa mempunyai nilai 6, 40 mahasiswa bemilai 7, 30 mahasiswa bernilai 8 dan 10 mahasiswa bernilai 9, maka rata-rata nilai mahasiswa dapat dihitung dengan memasukkan pembobotnya (jumlah mahasiswa seluruhnya). Definisi dari rata-rata terbobot adalah: Xi Wi XiWi 20 6 120 40 7 280 30 8 240 10 9 90 100 730

2. Median adalah nilai tengah dari data yang diurutkan yaitu nilai yang membagi data menjadi dua bagian yang sama atau 50% dari pengamatan semuanya setelah diurutkan terlebih dahulu, terletak di bawahnya atau di atasnya. Untuk data berukuran ganjil Contoh: Median dari data nilai 9 mahasiswa 7 8 9 7 5 4 9 8 6 dalah: hasil pengurutan data dari data terkecil sampai terbesar adalah 4, 5, 5, 7, 7,7, 8, 9, 9

Untuk data berukuran genap lanjutan Untuk data berukuran genap Contoh: Median data dari 10 mahasiswa 7 8 9 7 5 4 9 8 6 7 adalah- hasil pengurutan data 4 5 6 6 7 8 8 9 9 9 , Median pada data di atas terletak pada data urutan ke (9+1) = 5 dan urutan ke 10 +1= 6 yaitu pada nilai 7 dan 7 sehingga median dari data tersebut adalah = (7+8) / 2= 7,5

3. Modus adalah nilai yang paling sering terjadi (muncul) pada suatu data atau harga yang mempunyai frekuensi tertinggi (paling banyak). Modus suatu data dapat satu atau lebih atau tidak ada modusnya. Contoh : 89765489795231 Modus = 9 897654897952318 Modus = 8 dan 9 123456789 Modus = Tidak ada

4 Quartil, Desil dan Persentil Quartil (dari istilah Quarter = perempatan) adalah ukuran lokasi yang membagi kelompok data menjadi 4 bagian atau subkelompok, sehingga terdapat 3 harga kuartil. Q1 = Kuartil bawah, Q2 = Me (Median) Q3 = Kuartil atas Contoh : 4 4 4 5 5 7 7 7 8 8 9 9 (N=12) Q1 = Q2 = Q3 =

Kuartil untuk jumlah data (n) ganjil. Q2 Q2 Q1 Q1 Q3 Q3

Kuartil untuk jumlah data (n) genap Q3 Q1 Q2

Cara mencari persentil ke - p lanjutan Desil  membagi ukuran lokasi menjadi 10 bagian yang sama. (D1, D2,……..D9) Persentil  membagi ukuran lokasi menjadi 100 bagian yang sama. (P1, P2,……..D99 Cara mencari persentil ke - p Urutkan n data dari kecil ke besar Hitung lokasi persentil i= (p/100)*n Jika i bilangan bulat, maka persentil ke p adalah (bil ke i + bil ke i+1)/2 Jika i bukan bilangan bulat, maka persentil ke p adalah bil ke i +1

5. Geometric mean dan Harmonic mean Apabila ada sekumpulan data X1, X2, X3, ........... Xn, Geometric mean didefinisikan sebagai berikut: Geometrik mean dari 1, 3, 9 adalah Jika angka yang dipunyai cukup banyak maka perhitungan dapat digunakan Logaritma

Harmonic Mean didefinisikan sebagai berikut : lanjutan Harmonic Mean didefinisikan sebagai berikut : Harmonic mean dari 1, 3, 9 adalah Kegunaan Geometric mean dalam perhitungan bilangan indeks, sedangkan harmonic mean untuk menghitung rata-rata tingkat kelajuan

Latihan 1. Pengukuran tinggi tanaman kedelai diperoleh hasil 73, 72, 79, 67, 78, 82, 78, 67, 92 Tentukan a. Rata-rata b. Median c. Modus 2. Hasil tanaman padi yang diperoleh 100 sampel petani adalah sebagai berikut: 30 petani memperoleh hasil 6,5 ton ha-1, 25 petani 7,0 ton ha-1, 20 petani 7,5 ton ha-1, 15 potani 6,0 ton ha-1, dan 10 petani 5,5 ton ha-1, Hitunglah rata-rata hasil padi yang diperoleh petani. 3. Diketahui data nilai ujian statistika adalah sebagai berikut 7,8,8,7,6,8,9,5,6,7,6,7,8,9 Tentukan a. Kuartil I b. Kuartil II c. Kuartil III d. Median e Modus f Persentil 50 4 Carilah (a) Geometric mean dan (b) rata-rata aritmatika dan (c) Harmonic mean dad data berikut: 3,5,6,6,7,10,12

Harga Tengah Data yang dikelompokkan

Harga Tengah Data Dikelompokkan Data dikelompokkan merupakan data yang telah tersusun dalam distribusi frekuensi. Interval kelas Titik Tengah Frekuensi Kumulatif 4,5 - 6,5 5,5 2 6,5 - 8,5 7,5 5 7 8,5 - 10,5 9,5 10 17 10,5 -12,5 11,5 20 37 12,5 -14,5 13,5 14 51 14,5 -16,5 15,5 6 57 16,5 -18,5 17,5 3 60

Rata-rata Untuk mencari harga rata-rata dipedukan nilai tengah interval = harga rata-rata dari interval, dengan asumsi bahwa angka yang terletak dalam suatu interval sebagian lebih kecil, dan sebagian lebih besar dari titik tengahnya. Rata-rata didefinisikan (Rumus) dimana : xi = titik tengah interval kelas ke-i, fi = frekuensi kelas ke-i,

Berdasarkan anggapan : Dari distribusi di atas kita beranggapan bahwa ada 2 petani yang mengalami kehilangan hasil 4,5% - 6,5%, ada dua petani yang mengalami kehilangan hasil rata-rata 5,5% (titik tengah). Apabila menggunakan data asli akan di dapat nilai rata-rata : Hasil kedua perhitungan di atas tidak 60 banyak berbeda

2. Median a. Menggunakan gambar Untuk mengetahui letak median digunakan gambar histogram atau ogive dari distribusi frekensi sebagai berikut I II III IV a 4,5 6,5 8,5 10,5 12,5 14,5 16,5 18,5 Gambar 3.2. Histogram distribusi frekuensi kehilangan hasil oleh petani

Dari Tabel distribusi frekuensi dan melihat histogram Luas seluruh histogram = 60 x 2 = 120 Luas setengahnya = 60 Luas I = 2 X 2 = 4 Luas II = 2 X 5 = 10 Luas III = 2 X 10 = 20 --------------------------------------------------------------- Jumlah = 34 Luas IV =??? untuk mendapatkan luas 60 (setengah luas histogram) maka luas IV adalah 60 – 34 = 26, sehingga dapat diketahui bahwa a X 20 = 26, (a = panjang, 20 tinggi) a = 1,3 dengan demikian median adalah 10,5 + 1,3 = 11,8 %

Dengan cara interpolasi Dengan cara ini menghasilkan rumus untuk median adalah Dimana : Tb = batas bawah interval median n = Banyaknya data i = Lebar interval fm = Frekuensi pada saat median fb = Frekuensi kuulatif sebelum median

Harga Tengah Median fmed i Interval kelas Frekuensi Kumulatif Data dikelompokkan merupakan data yang telah tersusun dalam distribusi frekuensi. Interval kelas Frekuensi Kumulatif 4,5 - 6,5 2 6,5 - 8,5 5 7 8,5 - 10,5 10 17 10,5 -12,5 20 37 12,5 -14,5 14 51 14,5 -16,5 6 57 16,5 -18,5 3 60 fb Tb Median fmed

MODUS Pada distribusi frekuensi Tidak dapat dilakukan dengan tepat, melainkan dengan pendekatan Rumus yang digunakan Dimana : Tb = batas bawah interval 1 = beda antara interval modus dengan interval sebelumnya 2 = beda antara interval modus dengan interval sesudahnya i = lebar interval

Modus data dikelompokan Data dikelompokkan merupakan data yang telah tersusun dalam distribusi frekuensi. Interval kelas Titik Tengah Frekuensi 4,5 - 6,5 5,5 2 6,5 - 8,5 7,5 5 8,5 - 10,5 9,5 10 10,5 -12,5 11,5 20 12,5 -14,5 13,5 14 14,5 -16,5 15,5 6 16,5 -18,5 17,5 3 1=10 Modus 2=6

Contoh : Tabel distribusi frek

contoh 2 : Data kehilangan hasil 60 petani L =10,5, C =2, a = 14 (20-6), b = 10 (20-10)

Hubungan Empirik Antara Rata-rata, Median dan Modus Jika distribusi tidak terlalu melenceng maka terdapat hubungan antara mean, median, dan modus secara matematis : Mean - Modus = 3 (Mean – Median)

Grafik Hubungan rata, median dan modus Frekuensi relatif Rata-rata Frekuensi relatif Median Menceng ke kanan Rata-rata Modus Modus Median simetris Rata-rata Frekuensi relatif Menceng ke kiri

Quartil

Desil

Soal latihan 1. Berat buah melon disajikan bedkut (satuan kg) 1,8 1,9 2,1 2,6 3,2 2,3 3,3 2,7 2,9 1,6 1,5 2,2 1,4 2,5 0,8 1,7 2,4 0,7 3,4 3,1 2.3 2,0 Buatlah Distribusi frekuensi dari data di atas Hitung rata-rata aritmatik Hitung median Hitung modus Hitung kuatil ke I dan III Hitung persentil 40% Jawaban

Soal latihan Berat panen Frekensi 6,0-6,2 5 6,3-6,5 18 6,6-6,8 42 2. Distribusi frekuensi berat panen padi (ton ha-1) dari 100 petani disajikan pada label berikut Berat panen Frekensi 6,0-6,2 5 6,3-6,5 18 6,6-6,8 42 6,9-7,1 27 7,2-7,4 8 Tentukan : Interval kelas Batas atas kelas ke 3 Batas bawah kelas ke 4 Hitung rata-rata aritmetik Hitung median Hitung Modus Hitung Kuartil I, II, dan III Hitung persentil 70%