Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Bentuk daripada suatu formula proposisional perlu di manipulasi sehingga bentuk menjadi lebih sederhana, tetapi mempunyai tabel kebenaran yang tetap sama, sehingga tetap ekuivalen dengan formula aslinya. Bentuk sederhana dimaksud adalah bentuk jumlahan hasilkali minimal, yaitu bentuk jumlahan hasilkali dan tak ada bentuk yang lebih sederhana daripada ia. Sederhana artinya cacah literalnya serta cacah yang dijumlahkan paling sedikit. (lihat buku “Essential Computer Mathematics”, Schaum’s out line Series, Seymour Lipschutz, Ph.D. hal 194)

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Identitas Baku (Standard Identities) Andaikan p, q, r suatu proposisi, maka konsekuen si-konsekuensi dan ekuivalensi-ekuivalensi di bawah ini benar : Hukum Tetapan : pT p , pF F , pT T, pF p , 2. Hukum excluded middle : p  ¬p T 3. Hukum Kontradiksi : p ¬p F T

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Identitas Baku(Standard Identrities 4. Hukum negasi ganda : ¬¬ p p 5. Hukum Idempotensi : p  p p , p  p p 6. Hukum Komutatif : pq qp , pq qp 7. Hukum Asosiatif : p(qr) (pq)r , p(qr) (pq)r T T T T T T T

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] Identitas Baku (Standard Identities 8. Hukum Distributif : p(qr) (pq)(pr) p(qr) (pq)(pr) 9. Hukum De Morgan : ¬(pq) (¬p¬q) ¬(pq) (¬p¬q) 10. Hukum Implikasi p→q ¬pq T T T

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] Identitas Baku (Standard Identities) 11. Hukum De Morgan : ¬(pq) (¬p¬q) ¬(pq) (¬p¬q) 12.Hukum Implikasi p→q ¬pq 13. Hukum Kontraposisi/Kontrapositif : p→q ¬q→¬p 14. Hukum Bikondisional : p↔q (p→q)(q→p) T T T GP DALIYO T

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] Contoh Contoh Tanpa menggunakan tabel kebenaran tunjukan bahwa : p  ((r  s)  (r  s))  (p  q) =T p  q  r Jawab : p  ((r  s)  (r  s))  (p  q) =T ((r  s)  (r  s))  p  (p  q) Aturan 6 =T (r  (s  s))  p  (p  q) Aturan 8 =T (r  T)  p  (p  q) Aturan 13 =T r  p  (p  q) Aturan 12 =T r  ((p  p)  (p  q)) Aturan 8 =T r  (F  (p  q) Aturan 14 =T r  (p  q) Aturan 11 =T p  q  r Aturan 6 GP DALIYO

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Contoh Contoh Tanpa menggunakan tabel kebenaran tunjukan bahwa : p  (p  q) =T p Jawab : p  (p  q) =T (p  F)  (p  q) Aturan 11 =T p  (F  q) Aturan 7 =T p  F Aturan 10 =T p Aturan 11 GP DALIYO

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] Soal Kerjakan tanpa menggunakan tabel kebenaran 1. p  (p  (p  q))  q =T p  q 2. (p  q)  (p  q) =T (p  q)  (p  q) 3. p  q =T (p  q)  (p  q) 4. (p  q) =T p  q 5. (p  q)  r =T (p  r)  q GP DALIYO

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO GP DALIYO Himpunan pengandeng lengkap Himpunan lengkap daripada penggandeng Definisi (a). Jika suatu himpunan daripada operator-operator da pat digunakan untuk mendefinisikan semua fungsi ke benaran (formula proposisional) yang mungkin, maka ia dikatakan Himpunan Operator lengkap (pada bebera pa buku dikatakan cukup/adequate) (b). Metasimbol =df , dibaca “didefinisikan sebagai” misal nya P =df Q berarti bahwa pernyataan P didefinisikan sebagai pernyataan Q. Perhatikan perbedaannya dng =T . Untuk P =T Q berarti dua formula proposisional P dan Q mempunyai tabel kebenaran yang sama/identik. GP DALIYO

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Himpunan penggandeng  dan  yaitu { , } dapat di gunakan untuk mendefinisikan semua operator diadika seperti dilihat dibawah ini : 1) pq pq; 2) pq (pq); 3) pq (pq); 4) p/q pp; (Buku Arindama Singh menggunakan ) 5) pq (pq); 6) pq (pq)(pq) ((p  q))  ((pq)) 7) pq (pq) [(p  q)  (p  q)] Perhatikan di ruas kiri semua operator diadika sedang diruas kanan hanya muncul operator  dan  =df GP DALIYO

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Teorema : Himpunan {  ,  } adalah suatau Himpunan Leng- kap dp Penggandeng Logis ( Himpunan Operator Lengkap (HOL) ) Bukti : Berdasarkan teorema diatas ( yaitu sebarang fung si kebenaran f(p1 ,p2 , . . pn) daripada n variabel pro posisional p1 ,p2 , . . pn dapat diekspresikandalam fungsi kebenaran monadika dan diadika ) dan dari pembicaraan diatas maka teorema terbukti. GP DALIYO

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Himpunan Operator Lengkap lainnya : {  ,  } {  ,  } {  ,  } { , Disjungsi terkondisi} ; Disjungsi terkon disi yaitu : If … Then … Else … yaitu [p,q,r] Kebenarannya dapat ditunjukan ????

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] Fungsi Sheffer Perhatikan simbol ↑ yang merupakan simbol Incompatibilitas atau NAND serta simbol ↓ yang me rupakan simbol Joint Denial atau NOR. Dengan menggunakan inkompatibilitas maka da pat didefinisikan  sebagai berikut : p =df p↑p Juga p  p =df (p)↑(p) p  p =df (p↑p)↑(p↑p)

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] Fungsi Sheffer Dari : p =df p↑p dan p  p =df (p)↑(p) p  p =df (p↑p)↑(p↑p) karena kita dapat didefinisikan  dan  dalam sim bol ↑ maka didapat bahwa simbol ↑ adalah komplit sendirian. Hal tersebut disebut fungsi Sheffer.

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] Fungsi Sheffer-Pseudo Bentuk lain adalah : Jika dibenarkan menggunakan tetapan logis T dan F maka kita dapat mendifinisikan : p =df T → p dan p  q =df (p  q) ini berarti bahwa → merupakan fungsi Sheffer-Pse udo Yang lain adalah Disjungsi terkondisi : p =df [F,p,T] dan p  q =df [T,p,q]

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Bentuk Normal Agar dapat membandingkan formula, maka sangat diperlukan adanya bentuk baku dimana formula-formula dapat diekspresi kan . Bentuk Normal Disjungtif (BND) dan Bentuk Normal Disjungtif Penuh (BNDP) Untuk sebarang formula dalam n variabel proposisional p1, p2, . . . pn yg bukan absorditi (yaitu bhw ia mempunyai suatu model) terdapatlah suatu formula yang ekuivalen logis daripada bentuk : U  W  V . . . . (suatu disjungsi daripada sejumlah suku) dima na disjungan U, V, W, . . . masing-masing mempunyai bentuk : P1  P2  . . .  Pn (suatu konjungsi daripada tepat n suku) dima na Pi adl salah satu pi atau pi (negasi dp variabel ke i)

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] Bentuk Normal Disjungtif Penuh (BNDP). Perhatikan bahwa formula : U  V  W  . . . Tidak di tentukan berapa banyak suku, tetapi dalam formula : P1  P2  . . .  Pn , banyaknya suku tepat n buah ; Formula berbentuk tsb disebut dengan : Jika ada yang kurang dari n suku ataupun lebih maka dinamakan : Bentuk Normal Disjungtif (BND). P1  P2 . . .  Pn

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] Untuk menuliskan suatu formula dalam bentuk BDNP,ambil setiap entri T dalam tabel kebenarannya, ekspresikan entri tsb sbg suatu konjungsi dp semua variabel-2 (T) atau nega si mereka (F) , dan kemudian disjoinkan mereka Contoh : ((p  q)  ((p)  (r))) p T F q r ((p  q)  ((p)  (r))) Konjungan p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p   q  r

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] T F q r ((p  q)  ((p)  (r))) Konjungan p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p   q  r BNDP – nya adalah : ( p  q  r)  ( p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r)  (p   q  r) Perhatikan bhw cacah disjungan dlm suatu BNDP adl smdng cacah T pada entri di tabel kebenaran

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] BNDP : ( p  q  r)  ( p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r)  (p   q  r) Perhatikan bhw cacah disjungan dalam suatu BNDP adl sm dgn cacah T pada entri di tabel kebenaran. Setiap konjungsi dr pd variabel-2 atau negasi mereka mempunyai nilai kebenaran T hanya pada satu satu titik pada tabel kebenaran, sehingga ekpresi p  q  r ,sebagai contoh mempunyai nilai T hanya pada baris dimana p, q, dan r masing-2 bernilai T, F, dan F. Bilamana kita kombinasikan beberapa dr pd mereka dgn di disjungsi kan maka formula yang diperoleh akan T disetiap titik-2 seperti dimaksud diatas dalam tabel kebenaran , tetapi akan tetap F diluar titik-2 tsb

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] T F q r ((p  q)  ((p)  (r))) Konjungan p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p   q  r Ambil p  q  r , maka untuk p=T, q=T, r=F (brs 2) nilai kebe naran F ; untuk brs/titik ke 3, nilai kebenarannya F; dst, tetapi untuk baris 1 nilainya T, jadi p  q  r bernilai T hanya di sa tu titik/baris yaitu brs ke 1 saja. Contoh lainnya adl ambil p  q  r , maka untuk p=T, q=T, dan r=T , nilainya F dan lainnya kecuali di baris ke 6 (tunjukan!!).

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] BNDP – nya adalah : (p  q  r)  ( p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r)  (p   q  r) = (p  q  r)  ( p  q  r)  ((p  q)  r)  ((p  q)  r)  ((p  q)  r)  ((p   q) r) = (p  q  r)  ( p  q  r)  ((p  q) (r  r)  ((p  q)  (r  r) = (p  q  r)  ( p  q  r)  ((p  q)  T)  ((p  q)  T) = (p  q  r)  ( p  q  r)  (p  q)  (p  q) = (p  q  r)  ( p  q  r)  (p  ( q  q)) = (p  q  r)  ( p  q  r)  (p  T) = (p  q  r)  ( p  q  r)  p

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] BNDP : (p  q  r)  ( p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r)  (p   q  r) disederhanakan menjadi BND : = (p  q  r)  ( p  q  r)  p perhatikan bahwa suku terakir hanya memuat 1 (satu) lite ral yaitu p sedang yang pertama dan keduanya memuat 3 (tiga) literal. Sehingga disebut sebagai bentuk normal disjung si (tidak penuh/full)

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] Bentuk normal yang lain adalah : Bentuk Normal Kunjungtif (BNK) dan Bentuk Normal Kunjungtif Penuh (BNKP) Dengan konsep yang similar dengan BND/BNDP maka di dapat konsep sebagai berikut : Untuk sebarang formula dalam n variabel proposisional p1 ,p2 , . . pn yg bukan tautologi ( yaitu setiap interpretasi nya merupakan suatu model) terdapatlah suatu formula yang ekuivalen logis daripada bentuk : U  W  V . . . . (suatu disjungsi dp sejumlah suku) dimana disjungan U, V, W, . . Yg masing-masing mempunyai bentuk : P1  P2  . . .  Pn , (suatu konjungsi daripada tepat n suku) dimana Pi adalah salah satu pi atau pi (negasi dp variabel ke i) BNK/BNKP

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] Bentuk Normal Kusjungtif Penuh (BNKP). Perhatikan bahwa formula : U  V  W  . . . tidak di tentukan berapa banyak suku, tetapi dalam formula : P1  P2  . . .  Pn , banyaknya suku tepat n buah ; Formula berbentuk tsb disebut dengan : Bentuk Normal Kunjungtif Penuh (BNKP). Jika ada yang kurang dari n suku ataupun lebih maka dinamakan : Bentuk Normal Kunjungtif (BNK).

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] Untuk menuliskan suatu formula dalam bentuk BKNP,ambil setiap entri F dalam tabel kebenarannya, ekspresikan entri tsb sbg suatu disjungsi dp semua variabel-2 (jika F) atau negasi mereka (jika T) , dn kemudian konjungsikan mereka Contoh : ((p  q)  ((p)  (r))) p T F q r ((p  q)  ((p)  (r))) Konjungan p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] BNKP – nya adalah : (p  q  r)  (p  q  r) Perhatikan bahwa cacah konjungan dalam suatu BNKP adl samadengan cacah F pada entri di tabel kebenaran p T F q r ((p  q)  ((p)  (r))) Konjungan p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r p  q  r

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] T F q r ((p  q)  ((p)  (r))) Konjungan - p  q  r p  q  r Perhatikan bahwa satu suku untuk setiap entri F pada tabel kebenaran dan masing-2 disajikan dengan disjungsi daripada negasi daripada ni lai variabel (kalau nilainya T maka dinegasikan jika F tidak dinegasikan) untuk entri tersebut. Setiap suku seperti mis. p  q  r sekarang bernilai T disemua baris kecuali disatu baris tertentu yaitu baris dimana p = T, q = T, dan r = F , (cek : p = T, q = T, r = T (brs ke 1) maka ia bernilai T, yang lainnya silahkan dicoba!!!)

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] Sekali lagi kita gunakan BNK (Bentuk Normal Konjungtif) sebagai lawan/pasangan daripada BNKP (Bentuk Normal Kongjungsi Penuh) untuk menggambarkan formula dimana tidak semua va riabel diperlukan untuk muncul dalam setiap kon jungan