Konsep dasar probabilitas, distribusi normal, uji hipotesis Nurratri Kurnia Sari, M. Pd

1. Konsep dasar probabilitas Nurratri Kurnia Sari, M. Pd

Pengertian dan Manfaat Probabilitas adalah harga perbandingan jumlah kejadian (A) yang mungkin dapat terjadi terhadap (N) jumlah keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi dalam sebuah peristiwa. P(A) = Peluang n(A) = Peluang kejadian A n(N) = Peluang seluruh kejadian Manfaat mengetahui probabilitas adalah membantu pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, dan informasi yang tidak sempurna.

Contoh Peluang munculnya angka ganjil pada pelemparan sebuah dadu? Percobaan melempar sebuah dadu sekali S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Peluang munculnya angka ganjil pada pelemparan sebuah dadu? 2. Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, tentukanlah peluang kejadian muncul 2 angka?

Keterkaitan Antar Kejadian Hubungan atau Peluang akan semakin besar Ex: Peluang munculnya angka 3 atau 4 pada pelemparan sebuah dadu adalah : Hubungan dan Peluang akan semakin kecil Peluang munculnya angka 3 dan 4 pada pelemparan sebuah dadu adalah : Keterkaitan Antar Kejadian

Kaidah Penjumlahan A AB B B A Peristiwa atau Kejadian Bersama P(A ATAU B) = P(A) + P(B) – P (AB) Peristiwa Saling Lepas P(AB) = 0 Maka P(A ATAU B) = P (A) + P(B) + 0 = P(A) + P(B) B A Kaidah Penjumlahan

Peluang seorang mahasiswa lulus statistika adalah 2/3 dan peluang lulus matematika adalah 4/9. Peluang sekurang-kurangnya lulus salah satu pelajaran tersebut adalah 4/5. Berapa peluang lulus kedua pelajaran tersebut? Dari pelemparan 2 buah dadu, A adalah kejadian munculnya jumlah 7 dan B adalah kejadian munculnya angka 11. Kejadian A dan B adalah saling terpisah karena tidak mungkin terjadi bersamaan. Berapa peluang jumlah 7 atau jumlah 11? Pada eksperimen melemper dua koin sekaligus. Jika A adalah kejadian munculnya tepat dua sisi muka, dan B adalah kejadian munculnya tepat satu sisi muka. Tentukan Peluang munculnya kejadian A atau B ! Latihan

Bila A dan A’ adalah dua kejadian yang satu merupakan komplemen lainnya, maka : Example: Peluang tidak munculnya angka 3 pada pelemparan sebuah dadu adalah: Kaidah Penjumlahan

Peluang Bersyarat Adalah peluang dengan suatu syarat kejadian lain. Contoh : Peluang terjadinya kejadian B bila diketahui suatu kejadian A telah terjadi. Dilambangkan : P(B|A) Didefinisikan : Contoh : Populasi sarjana berdasarkan jenis kelamin dan status pekerjaan. Bekerja Menanggur Laki-Laki 300 50 Perempuan 200 30 Peluang Bersyarat

Sebuah akademi tertentu memiliki 100 orang mahasiswa, 25% diantaranya lulus dalam ujian matematika, 15% lulus ujian statistika dan 10% lulus keduanya. Seorang mahasiswa dipanggail secara acak Berapa peluangnya mahasiswa tersebut lulus dalam matematika atau statistika Jika mahasiswa tersebut lulus dalam matematika berapa peluangnya lulus dalam statistika Jika mahasiswa tersebut gagal dalam statistika, berapa peluang gagal dalam matematika Contoh

Nurratri Kurnia Sari, M. Pd 2. distribusi normal Nurratri Kurnia Sari, M. Pd

KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL Kurva berbentuk genta (= Md= Mo) Kurva berbentuk simetris Kurva normal berbentuk asimptotis Kurva mencapai puncak pada saat X=  Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.

DEFINISI KURVA NORMAL Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah , dan standar deviasi , maka persamaan kurva normalnya adalah: N(X; ,) = 1 e –1/2[(x-)/]2, 22 Untuk -<X<   di mana  = 3,14159 e = 2,71828

Dari penelitian terhadap 150 siswa kelas 5 SD Makmur didapatkan rata-rata nilai matematika (μ) mereka 7 dan simpangan baku σ = 0,5. Hitunglah peluang kita mendapatkan siswa yang nilai matematika: a. < 6 b. > 8 c. antara 6-8

Transformasi dari X ke Z Distribusi Probabilitas Normal TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z Transformasi dari X ke Z x z Distribusi Normal Baku yaitu distribusi probabilitas acak normal dengan nilai tengah nol dan simpangan baku 1 Di mana nilai Z: Z = Skor Z atau nilai normal baku X = Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran = Nilai rata-rata hitung suatu distribusi = Standar deviasi Z = X -  

TRANSFORMASI DARI X KE Z Contoh Soal: 1. Rata-rata nilai IPA di SD Makmur tahun 2015 adalah 6, dengan simpangan baku adalah 0.9.  Nilai IPA berdistribusi normal (data tentatif), tentukan a. berapa probabilitas nilai IPA lebih dari 8 ? b. berapa probabilitas nilai IPA kurang dari 5? c. berapa probabilitas nilai IPA antara 4 – 7? 2. PT GS mengklaim rata-rata berat buah mangga “B” adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bahwa berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen.

TRANSFORMASI DARI X KE Z 3. Suatu Perguruan Tinggi di Surakarta ingin menyeleksi calon mahasiswa baru. Calon Mahasiswa yang diterima merupakan 12.5 % dari calon mahasiswa yang ikut seleksi. Skor rata-rata pada ujian seleksi saat ini adalah 350 dengan standar deviasi 50. Berapa skor minimal yang harus diperoleh calon mahasiswa menjadi mahasiswa di Perguruan Tinggi tersebut? 4. PT Arthakita Jagaselama memproduksi buah melon, di mana setiap melon mempunyai berat sebesar 750 gram dengan standar deviasi 80 gram. Buah yang termasuk dalam 10% terberat dimasukkan ke dalam kelas atau mutu A. Berapa berat minimal dari buah melon supaya dapat masuk ke dalam mutu A?

PENGUJIAN HIPOTESIS

Hipotesis Suatu pernyataan yang masih lemah kebenarannya dan perlu dibuktikan/ dugaan yg sifatnya masih sementara Hipotesis ini perlu untuk diuji utk kmd diterima/ ditolak Pengujian hipotesis : suatu prosedur yg akan menghasilkan suatu keputusan yi keputusan menerima atau menolak hipotesis

Tidak cukupnya bukti untuk menolak Penolakan Hipotesis Penerimaan Hipotesis Hipotesis Tersebut Salah Tidak cukupnya bukti untuk menolak Penolakan suatu hipotesis bukan berarti menyimpulkan bahwa hipotesis salah dimana bukti yg tidak konsisten dgn hipotesis Penerimaan hipotesis sebagai akibat tidak cukupnya bukti untuk menolak dan tidak berimplikasi bahwa hipotesis itu pasti benar

3 BENTUK RUMUSAN HIPOTESIS 1. Hipotesis Deskriptif hipotesis tentang nilai suatu variabel mandiri, tidak membuat perbandingan atau hubungan. Sebagai contoh bila rumusan masalah penelitian sbb: Seberapa tinggi produktifitas alat tangkap gillnet? Berapa lama umur teknis alat tangkap bagan tancap? Rumusan hipotesis: Produktifitas gillnet mencapai 8 ton. Umur teknis bagan tancap mencapai 5 tahun.

3 BENTUK RUMUSAN HIPOTESIS 2. Hipotesis Komparatif Pernyataan yg menunjukkan dugaan nilai dalam satu variabel atau lebih pada sampel yang berbeda. Sebagai contoh rumusan hipotesis komparatif: Apakah ada perbedaan produktifitas gillnet di Situbondo dan di Probolinggo? Apakah ada perbedaan efektivitas trawl dan cantrang? Rumusan hipotesis: Tidak terdapat perpedaan produktivitas padi di Situbondo dan Probolinggo. Ho: µ1 = µ2 Ha: µ1 ≠ µ2 Efektivitas trawl tidak berbeda dibandingkan cantrang Ho: µ1 = µ2 Ha: µ1 ≠ µ2.

3 BENTUK RUMUSAN HIPOTESIS 3. Hipotesis Hubungan (asosiatif) Pernyataan yg menunjukkan dugaan tentang hubungan antara dua variabel atau lebih. Sebagai contoh rumusan hipotesis asosiatif: • Apakah ada hubungan antara jumlah fitoplankton dengan hasil tangkapan? • Apakah ada pengaruh penambahan jumlah ABK terhadap kuantitas hasil tangkapan? Rumusan hipotesis: • Tidak ada hubungan antara jumlah fitoplankton dengan hasil tangkapan. Ho: α = 0 Ha: α ≠ 0 • Tidak ada pengaruh penambahan jumlah ABK terhadap kuantitas hasil tangkapan . Ho: α = 0 Ha: α ≠ 0.

Prosedur Pengujian Hipotesis

Prosedur Pengujian Hipotesis 1. Menentukan formulasi hipotesis Hipotesis nol yaitu (Ho) dirumuskan sebagai pernyataan yang akan diuji. Rumusan pengujian hipotesis, hendaknya Ho dibuat pernyataan untuk ditolak Hipotesis Alternatif / Tandingan (Ha / H1) dirumuskan sebagai lawan /tandingan hipotesis nol. Bentuk Ha terdiri atas : Ho ; q = qo Ha : q > qo Ha : q < qo Ha : q ≠ qo

Prosedur Pengujian Hipotesis 1. Menentukan formulasi hipotesis .......... Contoh : Pengujian bubu berumpan lebih efektif dibanding bubu tanpa umpan. Hipotesisnya : Ho : Bubu berumpan = Bubu tanpa umpan Ha : Bubu berumpan lebih efektif daripada bubu tanpa umpan Soaking time bubu berumpan lebih singkat dibanding bubu tanpa umpan Ho : soaking time bubu berumpan = soaking time bubu tanpa umpan Ha : soaking time bubu berumpan lebih singkat dibanding bubu tanpa umpan

Prosedur Pengujian Hipotesis 2. Tentukan taraf nyata (Significant Level) Taraf nyata (α ) adalah besarnya toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis terhadap nilai parameter populasinya. Taraf nyata dalam bentuk % umumnya sebesar 1%, 5% dan 10% ditulis α0,01; α 0,05 ; α 0,1. Besarnya kesalahan disebut sbg daerah kritis pengujian (critical region of a test) atau daerah penolakan (region of rejection)

3. Tentukan Kriteria Pengujian bentuk keputusan menerima / menolak Ho

5. Membuat kesimpulan Pembuatan kesimpulan merupakan penetapan keputusan dalam hal penerimaan atau penolakan hipotesis nol yang sesuai dengan kriteria pengujiaanya.

Contoh uji hipotesis satu rata-rata Contoh kasus 1 Seorang peneliti ingin mengetahui apakah nilai matematika rata-rata masih tetap 75 atau lebih kecil dari itu. Data-data sebelumnya diketahui bahwa simpangan nilai matematika 20. Sampel yang diambil 100 siswa untuk diteliti dan diperoleh rata-rata 65. Apakah nilai tersebut masih dapat diterima Sehingga nilai matematika rata-rata 75? Ujilah dengan taraf nyata 5%.

Contoh uji hipotesis satu rata-rata Contoh kasus 2 Populasi ikan lemuru hasil tangkapan purse seine panjang rata-rata 80 cm dengan simpangan baku 7 cm. Setelah 3 tahun beroperasi, konsumen meragukan panjang ikan tersebut. Guna meyakinkan keabsahan hipotesis itu, seorang peneliti mengambil sampel acak 100 ekor ikan lemuru dan diperoleh hasil perhitungan panjang rata-rata ikan adalah 83 cm dan standar deviasinya tetap. Apakah ada alasan untuk meragukan bahwa rata-rata panjang ikan lemuru yang dihasilkan alat tangkap purse seine sama dengan 80 cm pada taraf signifikan 5% ?

Contoh uji hipotesis satu rata-rata Contoh kasus 3 Hasil tangkapan ikan bandeng memiliki berat 15 ekor ikan ( kg)seperti pada data berikut : 1,21 ; 1,21 ; 1,23 ; 1,20 ; 1,21 ; 1,24 1,22 ; 1,24 ; 1,21 ; 1,19 ; 1,19 ; 1,18 1,19 ; 1,23 ; 1,18. Jika taraf nyata 1%, dapatkah diyakini bahwa populasi ikan bandeng rata-rata memiliki berat 1,2 kg?

Contoh uji hipotesis satu rata-rata Contoh kasus 4 Telur Ayam disuntik hormon bertujuan menambah berat telurnya rata-rata dengan 4,5 gram. Sampel acak yang terdiri atas 29 butir telur dari ayam yang telah diberi suntikkan hormon tersebut memberikan rata-rata 4,9 gram dan simpangan baku s = 0,8 gram. Jika taraf nyata 1%, dapatkah diyakini untuk menerima pernyataan bahwa pertambahan rata-rata berat telur paling sedikit 4,5 gram?

Contoh uji hipotesis dua rata-rata Contoh kasus 1 Dosen PGSD ingin menguji mahasiswa menggunakan dua metode yang berbeda. Kelas A terdiri dari 12 mahasiswa sedangkan Kelas B terdiri dari 10 mahasiswa. IPK rata-rata mahasiswa pada kelas A adalah 2 dengan simpangan baku 0.4 sedangkan IPK rata-rata mahasiswa pada kelas B adalah 4 dengan simpangan baku 0.5. Yakinkah dosen bahwa kelas B lebih pintar dengan taraf signifikan 1 %? (Asumsikan dua populasi berdistribusi normal dengan variansi yang sama.)

Contoh uji hipotesis dua rata-rata Contoh kasus 2   N rata-rata SD Makanan A 11 3,22 0,45 Makanan B 10 3,07 0,33

Contoh uji hipotesis dua rata-rata Contoh kasus 3  

Contoh kasus 4 Untuk mempelajari kemampuan belajar tentang menjumlahkan bilangan, 10 anak laki-laki dan 10 anak perempuan telah diambil secara acak. Dari pengamatan masa lampau kemampuan belajar anak laki-laki umumnya lebih baik dari kemampuan belajar anak perempuan. Hasil ujian yang dilakukan adalah: Apakah yang dapat disimpulkan dari hasil ujian ini? Signifikansi 5%? Laki-laki 30 21 21 27 20 25 27 22 28 18 Perempuan 31 22 37 24 30 15 25 42 19 38