Pendahuluan Persamaan Diferensial

Dalam kuliah sebelumnya kita telah mengintegrasikan suatu fungsi f untuk memperoleh suatu fungsi baru F. Kita tuliskan ∫ f(x) dx = F(x) + C dan ini benar, asalkan F´(x) = f(x) dalam baasa turunan setara dF(x) = f(x) dx

Jadi kita dapat mengatakan: ∫ dF(x) = F(x) + C Dari segi ini kita mengintegrasikan diferensial suatu fungsi untuk memperoleh fungsi tersebut ( tambah suatu konstanta). Ini adalah segi pandangan Leibniz; dengan menerimanya akan sangat membantu kita dalam menyelesaikan persamaan diferensial Apakah Persamaan diferensial itu ? Kita mulai dengan sebuah contoh sederhana…

Contoh 1 Carilah persamaan –xy dari kurva yang melalui (-1,2) dan yang kemiringannya pada setiap titik itu sama dengan dua kali absis(koordinat -x ) titik itu Penyelesaian: Syarat yang harus berlaku di setiap titik (x,y) pada kurva itu : Kita mencari fungsi y = f(x) yang memenuhi persamaan ini dan Syarat tambahan bahwa y = 2 bilamana x = -1. Kita coba dengan dua cara penyelesaian.

Cara 1 Bilamana persamaan berbentuk dy/dx = g(x), Kita mengamati bahwa y harus berupa suatu antiturunan dari g(x), yaitu y = ∫ g(x) dx Dalam kasus ini y = ∫ 2x dx = x² + C

Cara 2 Pikirkanlah dy/dx sebagai suatu hasil bagi dua diferensial. Bilamana kedua ruas dari dy/dx = 2x dikalikan dengan dx maka diperoleh dy = 2x dx Selanjutnya kedua ruas diintegrasikan dan disederhanakan ∫ dy = ∫ 2x dx

Lanjutan cara 2 ∫ dy = ∫ 2x dx y + C₁ = x² + C₂ y = x² + C₂ - C₁ y = x² + C Metode yang kedua berhasil dalam aneka rupa masalah yang bukan berbentuk sederhana dy/dx = g(x) seperti berikut.

Dari y = x² + C dengan ketentuan melalui titik (-1 Dari y = x² + C dengan ketentuan melalui titik (-1.2) berarti ditentukan y = 2 dan x = -1 , maka 2 = (-1)² + C C = 1 Jadi y = x² + 1 Persamaan dy/dx = 2x dan dy = 2 dx disebut : persamaan diferensial

Persamaan dy/dx = 2x dan dy = 2 dx disebut : persamaan diferensial Contoh- Contoh lain persamaan diferensial dy = (x² + 1) dx

Persamaan Diferensial: Sebarang persamaandengan yang tidak diketahui berupa suatu fungsi dan yang melibatkan turunan (diferensial) dari fungsi yang tidak diketahui Fungsi seperti itu ketika disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial menghasilkan sebuah kesamaan yang disebut solusi ( penyelesaian) dari persamaan diferensial tersebut.

Jadi untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial kita mencari fungsi yang tidak diketahui. Umumnya ini adalah tugas yang sukar dan untuk itu telah banyak buku yang tebal yang telah dituliskan. Di sini hanya ditinjau kasus yang paling sederhana, yakni persamaan diferensial tingkat satu yang terpisahkan. Ini adalah persamaan yang hanya melibatkan turunan pertama dari fungsi yang tidak diketahui dan sedemikian rupa sehingga peubah-peubahnya dapat dipisahkan.

Pemisahan Peubah Persamaan diferensial Jika kedua ruas dikalikan dengan y² dx maka diperoleh y² dx = ( x + 3x² ) dx Dalam bentuk ini, persamaan diferensial mempunyai peubah-peubah yang terpisah, yakni suku-suku y berada pada suatu ruas persamaan dan suku-suku x pada ruas lainnya

Contoh 2 Selesaikan persamaan diferensial Dan carilah penyelesaian yang memenuhi y = 6 Bilamana x = 0

Solusi dari Contoh 2 y³ = y³ = y³ = y² dx = ( x + 3x² ) dx ∫y² dx = ∫ ( x + 3x² ) dx maka ……. + C₁ = + x³ + C₂ y³ = + 3x³ + (3C₂- 3C₁) y³ = y³ =

Selanjutnya menghitung C, Syarat y = 6 bilamana x 0 6 = 216 = C Jadi y =

Masalah Gerak v(t) = s´(t) = a(t) = v´(t) = = Ingatlah kembali bahwa jika s(t), v(t), dan a(t) masing-masing menyatakan posisi, kecepatan, dan percepatan pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat, maka v(t) = s´(t) = a(t) = v´(t) = =

Masalah benda jatuh Masalah benda jatuh dekat permukaan bumi, percepatan benda jatuh karena gravitasi bumi adalah 32 kaki per detik kuadrat, asalkan kita menganggap bahwa hambatan udara dapat diabaikan. Jika suatu benda dilempar ke atas dari suatu ketinggian 1000 kaki dengan kecepatan 50 kaki per detik, carilah kecepatan dan tingginya 4 detik kemudian

Penyelesaian Anggaplah bahwa tinggi s diukur secara positif ke arah atas. Maka mula-mula v = ds/dt adalah Positif ( s meningkat ke atas ketika dilempar), tetapi a =dv/dt negatif ( karena tarikan gravitasi bumi ke arah bawah jadi memperkecil kecepatan v). Sehingga titik awal kita adalah persamaan diferensial : = -32 dengan syarat bahwa v = 50 s = 1000 pada saat t = 0

= - 32 v = ∫ -32 dt = -32t + C Karena v = 50 pada t = 0 kita dapatkan C = 50 sehingga didapatkan v = 32t + 50

Sekarang v = ds/dt , sehingga kita mempunyai persamaan diferensial yang lain: = -32t + 50 Bila diintegralkan : s = ∫ (-32t + 50) dt = -16t² n+ 50t + K Karena s = 1000 pada t = 0, maka K = 1000 Sehingga s = -16t² + 50t + 1000 Akirnya pada t = 4 v = -32 (4) + 50 = -78 kaki per detik s = -16 (4)² + 50 (4) + 1000 = 944 kaki