MATA KULIAH MATEMATIKA LANJUT 1 [KODE/SKS : IT-011212 / 2 SKS] “Vektor” Ady Daryanto SP MSi E-mail : adydaryanto@yahoo.com Hp : 0813-1415-8676

DEFINISI: SKALAR DAN VEKTOR Skalar Merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak tertentu. Contoh : massa, volume, temperatur, energi. Vektor Merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak dan arah tertentu. Contoh : gaya, kecepatan, percepatan.

Besar vektor A = A = |A| (pakai tanda mutlak) PENGGAMBARAN DAN PENULISAN (NOTASI) VEKTOR A Gambar : P Q Titik P : Titik pangkal vektor Titik Q : Ujung vektor Tanda panah : Arah vektor Panjang PQ = |PQ| : Besarnya (panjang) vektor Besar vektor A = A = |A| (pakai tanda mutlak) Notasi Vektor A Huruf tebal Pakai tanda panah di atas A Huruf miring Catatan : Untuk selanjutnya notasi vektor yang digunakan huruf tebal

a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama A = B b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika : 1. Besar sama, arah berbeda B A B A 2. Besar tidak sama, arah sama A B A B 3. Besar dan arahnya berbeda A B A B

Vektor Posisi Dimensi 2 Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal pada titik asal koordinat A=(x1, y1) O =(x1, y1) vektor posisi titik A x y

Vektor Posisi Dimensi R3 z y x Vektor antara 2 titik

OPERASI MATEMATIK VEKTOR Operasi jumlah dan selisih vektor Operasi kali JUMLAH DAN SELISIH VEKTOR Metode : Jajaran Genjang Segitiga Poligon Uraian 1. Jajaran Genjang + = A B -B R = A+B S = A-B R = A + B 2. Segitiga + = A+B A B

Jika vektor A dan B searah  θ = 0o : R = A + B 3. Poligon (Segi Banyak) + = A B C D A+B+C+D Jika vektor A dan B searah  θ = 0o : R = A + B Jika vektor A dan B berlawanan arah  θ = 180o : R = A - B Jika vektor A dan B Saling tegak lurus  θ = 90o : R = 0 Catatan : Untuk Selisih (-) arah Vektor di balik

Vektor diuraikan atas komponen-komponennya (sumbu x dan sumbu y) Uraian Vektor diuraikan atas komponen-komponennya (sumbu x dan sumbu y) Y A = Ax.i + Ay.j ; B = Bx.i + By.j Ax = A cos θ ; Bx = B cos θ Ay = A sin θ ; By = B sin θ A Ay B By Ax Bx X Besar vektor A + B = |A+B| = |R| Rx = Ax + Bx Ry = Ay + By |R| = |A + B| = Arah Vektor R (terhadap sb.x positif) = tg θ = θ = arc tg

PERKALIAN VEKTOR 1. Perkalian Skalar dengan Vektor 2. Perkalian vektor dengan Vektor Perkalian Titik (Dot Product) Perkalian Silang (Cross Product) 1. Perkalian Skalar dengan Vektor Hasilnya vektor k : Skalar A : Vektor C = k A Vektor C merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan vektor A Catatan : Jika k positif arah C searah dengan A Jika k negatif arah C berlawanan dengan A k = 3, A C = 3A

2. Perkalian Vektor dengan Vektor Perkalian Titik (Dot Product) Hasilnya skalar A  B = C C = skalar Besarnya : C = |A||B| Cos θ A = |A| = besar vektor A B = |B| = besar vektor B Θ = sudut antara vektor A dan B θ A B B cos θ A cos θ 2.9

Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product) Komutatif : A  B = B  A Distributif : A  (B+C) = (A  B) + (A  C) Catatan : Jika A dan B saling tegak lurus A  B = 0 Jika A dan B searah  A  B = A  B Jika A dan B berlawanan arah  A  B = - A  B 2.10

Vektor Product (Cross Product) Dalam bentuk komponen vektor a b v Utk mengingat rumus di atas (ingat rumus determinan matrik) Sehingga: v1=a2.b3 - a3.b2 v2=a3.b1 – a1.b3 v3=a1b2 – a2.b1

Jika dua vektor A dan B dinyatakan dengan : A = 2î + 2ĵ  − 3k̂, dan B = -2î + 3ĵ  − 4k̂. Buktikanlah bahwa A x B = -B x A. A x B = -B x A ⇒ i + 14j + 10k = -(-i − 14j − 10k) ⇒ i + 14j + 10k = i + 14j + 10k (Terbukti).

Hitunglah Diketahui vektor maka Bila vektor membentuk sudut 60o maka 3. Diketahui maka 3u.... 4. Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa besar vektornya ?