Matakuliah Teori Bilangan Tuton 1 Matakuliah Teori Bilangan Oleh Dyah Paminta

Pendahuluan Materi Keterbagian Bilangan Bulat Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) Setelah mengikuti tutorial ini diharapkan Anda dapat menyelesaikan masalah-masalah tertentu yang berkaitan dengan keterbagian, FPB, dan KPK

Keterbagian Bilangan Bulat Definisi : Suatu bilangan bulat q dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat p ≠ 0 jika ada suatu bilangan bulat x sehingga q = px Notasi dibaca p membagi q, p faktor dari q, q habis dibagi p, q kelipatan dari p dibaca p tidak membagi q, p bukan faktor dari q, q tidak habis dibagi p, q bukan kelipatan dari p

Keterbagian Bilangan Bulat Contoh 6 membagi 18 terdapat bilangan bulat 3 sehingga 18 = (6).3 -4 membagi 20 terdapat bilangan bulat 5 sehingga 20 = (-4).5 6 tidak membagi 20 tidak terdapat bilangan bulat x sehingga 20 = (6).x 1,-1, 2,-2,4,-4,5,-5,10,-10,20,-20 faktor-faktor dari 20 5|20

Keterbagian Bilangan Bulat Algoritma Pembagian: Jika p, q  dan p > 0, maka ada bilangan-bilangan r, s  yang masing-masing tunggal sehingga q = rp + s dengan 0  s < p. Jika p tidak membagi q, maka 0 < s < p. r disebut hasil bagi (quotient), s disebut sisa (remainder), q disebut yang dibagi (dividend), dan p disebut pembagi (divisor). Contoh. Diketahui t = (a1a0) = a1.10 + a0 dan 3 | t Tunjukkan bahwa 3 | a1 + a0 terbukti Penyelesaian: t = a1.10 + a0 = a1 (9 + 1) + a0 = 9a1 + (a1 + a0) 3 | t 3 | 9a1 + (a1 + a0) Kita tahu bahwa 3 | 9a1 (tunjukkan!), berdasarkan Teorema 2.9 (hal. 2.6), Jika 3 | 9a1 + (a1 + a0) dan 3 | 9a1, maka 3 | a1 + a0

Keterbagian Bilangan Bulat Teorema Jika , maka setiap dapat dinyatakan secara tunggal dalam bentuk bilangan asli n yang ditulis dalam lambang bilangan basis 10, dapat diubah menjadi lambang bilangan basis q > 1

Keterbagian Bilangan Bulat Contoh Tuliskan 985 basis 10 dalam lambang bilangan basis 6 Penyelesaian: 985 = 6.164 + 1 (n = qr0 + p0, r0 = 164 , p0 = 1) 164 = 6.27 + 2 (r0= qr1 + p1, r1 = 27 , p1 = 2) 27 = 6.4 + 3 (r1= qr2 + p2, r2 = 4 , p2 = 3) 4 = 6.0 + 4 (r2= qr3 + p3, r3 = 0 , p3 = 4) 985 = 6.164 + 1 = 6(6.27 + 2) + 1 = 62.27 + 6.2 + 1 = 62(6.4 + 3) + 6.2 + 1 = 63.4 + 62.3 + 6.2 + 1 Jadi: (985)10 = (4321)6

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Definisi. Ditentukan x, y  , x dan y keduanya tidak bersama-sama bernilai 0. p  disebut faktor persekutuan dari x dan y jika p membagi x, (p  x) dan p membagi y, (p  y) p  disebut faktor persekutuan terbesar dari x dan y jika p adalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi x dan membagi y ditulis p = (x,y) Contoh Diberikan dua bilangan bulat 16 dan 24. Himpunan semua faktor dari 16: A = {-16, -8, -4, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 8, 16} Himpunan semua faktor dari 24: B = {-24, -12, -8, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Himpunan semua faktor persekutuan dari 16 dan 24 : C = = {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8} FPB: 8 8=(16,24)

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Contoh. Perhatikan bahwa: (6, 9) = 3 3 = (2) (6) + (-1) (9) (16, 40) = 8 8 = (3) (16) + (-1)(40) (60, 105)= 15 15 = (2) (60) + (-1)(105) Dari ketiga kasus di atas nampak adanya pola bahwa faktor persekutuan terbesar dari x dan y, (x,y), dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari x dan y, px + qy dengan p, q  Z Teorema Jika d = (x, y), maka d adalah bilangan bulat positif terkecil yang mempunyai bentuk px + qy untuk suatu p, q  Z, yaitu d dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari x dan y.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Teorema Algoritma Euclides Ditentukan s0, s1  , s0  s1, > 0. Jika Algoritma pembagian digunakan secara berturut-turut untuk memperoleh st = st+1 kt+1 + st+2, 0 ≤ st+2 ≤ st+1, t = 0, 1, 2, …, n – 2 dan sn+1 = 0 maka (s0, s1) = sn, sisa yang tidak nol dalam Algoritma pembagian Contoh Dengan menggunakan Algoritma Euclides, carilah (963, 657) Jawab: 963 = 1.657 + 306, 0 ≤ 306 < 657 657 = 2.306 + 45, 0 ≤ 45 < 306 306 = 6.45 + 36, 0 ≤ 36 < 45 45 = 1.36 + 9, 0 ≤ 9 < 36 36 = 4.9 + 0 Jadi: (963, 657) = 9

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) Definisi Jika x, y  , x  0, dan y  0, maka: m disebut kelipatan persekutuan dari x dan y jika x m dan y m m disebut kelipatan persekutuan terkecil dari x dan y jika m adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga x m dan y m. ditulis m = x, y Contoh. Carilah 25, 15 Jawab: Kelipatan 25 yang positif adalah 25, 50, 75, … Kelipatan 15 yang positif adalah 15, 30, 45, … Kelipatan-kelipatan persekutuan 25 dan 15 yang positif adalah 75, 150, 225, … terkecil: 75 25, 15 = 75

Selamat belajar Semoga sukses